第一章　直线与圆 2.2　圆的一般方程--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学选择性必修第一册
2.2　圆的一般方程
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　对圆的一般方程的理解
1.(2024江苏泰州靖江高级中学期中)若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.(2025江西赣州二十四校期中)若存在点P,使得圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+2y+a=0关于点P对称,则a=(　　)
A.1　　B.-1　　C.2　　D.-2
3.(2025江西抚州四校月考)若圆x2+8x+y2-6y+m=0与x轴、y轴均有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,9]　　　　B.(-∞,16]
C.[9,25)　　　　D.[16,25)
4.(教材习题改编)(多选题)若方程x2+y2+2ax-2ay=0表示圆,则下列叙述中正确的是(　　)
A.圆心在直线y=-x上
B.圆心在x轴上
C.此圆过原点
D.半径为a
题组二　圆的一般方程的求解及应用
5.与圆x2+y2-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是(　　)
A.x2+y2-2x+4y-4=0　　　　B.x2+y2-2x+4y+4=0
C.x2+y2+2x-4y-4=0　　　　D.x2+y2+2x-4y+4=0
6.(2025江西南昌第二中学月考)已知圆C:x2+y2+4x-2ay+a2=0关于直线x-3y+8=0对称,过点D(1,0)分别作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则cos∠ACB=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
7.(教材习题改编)已知点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),D(2,a)四点共圆,则a=　　　　.
8.(2025河南许昌期中)若方程x2+y2-2(m-1)x+my+m2-2=0表示圆M,点A(1,-2),B(-1,4)在圆N上.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求出圆M的圆心坐标和半径,并求当m=1时圆M的方程;
(3)求过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆N的方程.
题组三　与圆有关的动点的轨迹问题
9.(2025江西上饶广丰一中月考)已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上的动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程为　(　　)
A.x2+(y-1)2=1　　　　B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=4　　　　D.(x-1)2+y2=4
10.(2024江苏连云港赣榆智贤中学学情检测)已知圆O:x2+y2=4,直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0.若l过定点P,点M,N在圆O上,且PM⊥PN,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　圆的方程及其应用
1.(2024山东适应性联考,)方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆,当其半径r最小时,方程为(　　)
A.x2+=1　　　　B.x2+(y-1)2=2
C.x2+=　　　　D.x2+=
2.(多选题)(2025江苏徐州第三中学等校期中联考)已知圆C:x2+y2+kx-2y+k2=0,k∈R,则(　　)
A.当k=0时,圆C的面积是π
B.实数k的取值范围是
C.点(1,0)在圆C内
D.当圆C的周长最大时,圆心坐标是(0,-1)
3.(2025河北名校联合体期中)已知圆C:x2+y2-x-y+=0,点P(a,b)在圆C上,则的最大值为(　　)
A.　　B.-　　C.+　　D.-
4.(2025江西上饶弋阳第一中学月考)已知圆C1:x2+y2-10x+4y+25=0与圆C2:x2+y2-6x+8=0,点A,B分别是C1,C2上的动点,M为直线y=x+1上的动点,则|MA|+|MB|的最小值为(　　)
A.2+3　　B.3-2　　C.6-3　　D.6+3
5.(2024江西部分名校期中,)已知点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,与点C关于x轴对称,若过A,B,C三点的圆与x轴和直线x+y-1=0交于四点,则以这四个点为顶点的四边形的面积为(　　)
A.6　　B.　　C.2　　D.5
6.(2025江西抚州南城一中月考,)平面内到两定点的距离的比值等于定值(不为0,1)的动点轨迹为圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足|PA|=|PB|,若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,则+的最小值是(　　)
A.10　　B.20　　C.30　　D.40
7.(2024江西吉安泰和中学期中,)已知圆O:x2+y2=16,过点P(8,0)的动直线l与圆O相交于A,B两点,线段AB的中点为M,则M的轨迹的长度为(　　)
A.8　　B.　　C.　　D.
8.(2025重庆实验外国语学校期中,)已知圆O:x2+y2=4上有一动点P,记点P到直线l:x-y-4=0的距离为d0,平面上有一定点A(-2,2),则|PA|+d0的最小值为　　　　.
9.(2025江苏盐城七校联考,)已知某圆的圆心在直线y=x上,且该圆过点(-2,2),半径为2,直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y-3m=0.
(1)求此圆的方程;
(2)若直线l过定点A,点B,C在此圆上,且AB⊥AC,求|BC|的取值范围.
答案与分层梯度式解析
2.2　圆的一般方程
基础过关练
1.C　当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2又a∈,所以a∈.
2.A　由题意知两圆半径相等,所以=2,解得a=1.
3.A　因为x2+8x+y2-6y+m=0表示圆,所以64+36-4m>0,解得m<25,
令y=0,得x2+8x+m=0,则Δ1=64-4m≥0,解得m≤16,
令x=0,得y2-6y+m=0,则Δ2=36-4m≥0,解得m≤9,
综上,m≤9.
4.AC　因为方程x2+y2+2ax-2ay=0表示圆,所以(2a)2+(-2a)2>0,所以a≠0.
将圆的一般方程化为标准方程为(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0),
所以圆心坐标为(-a,a),半径为|a|,A正确,D错误;
因为a≠0,所以圆心不可能在x轴上,B错误;
因为(0+a)2+(0-a)2=2a2,所以该圆过原点,C正确.
5.B　设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4,
所以所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+4=0.
解题技法　与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0,其中D2+E2-4λ>0,λ≠F.
6.D　方程x2+y2+4x-2ay+a2=0可化为(x+2)2+(y-a)2=4,所以该圆的圆心C(-2,a),半径r=2,
因为圆C关于直线x-3y+8=0对称,所以直线x-3y+8=0过圆心,则-2-3a+8=0,解得a=2,所以C(-2,2),
易知|CD|=,又|CA|=2,故cos∠ACD=cos∠BCD=,
所以cos∠ACB=cos2∠ACD=2cos2∠ACD-1=-.
7.答案　1
解析　设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则解得
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0,又点D在此圆上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1.
解题技法　若已知圆上三个点的坐标时,常用待定系数法求圆的一般方程,设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),根据条件列出方程组,进而求出D,E,F的值.
8.解析　(1)由方程表示圆,得4(m-1)2+m2-4(m2-2)>0,
整理得m2-8m+12>0,解得m<2或m>6,
所以实数m的取值范围是(-∞,2)∪(6,+∞).
(2)圆M的圆心坐标为,半径r=·=,
当m=1时,圆M的方程为x2+y2+y-1=0.
(3)线段AB的中点为(0,1),直线AB的斜率kAB==-3,
则线段AB的中垂线的方程为y=x+1,
由解得因此圆N的圆心为N(3,2),半径为|AN|==2,
所以圆N的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
9.A　设M(x,y),则A(2x-3,2y),因为A是圆C上的动点,所以(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-8y+9=0,化简得x2+(y-1)2=1,故点M的轨迹方程为x2+(y-1)2=1.
解题技法　破解此类动点轨迹问题的方法是“相关点法”,当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与该动点的坐标间的关系,并将用要求的点的坐标表示后的该动点的坐标代入该动点的轨迹方程来得解.
10.答案　+=
解析　直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即x-y+m·(2x+y-3)=0,
令解得即点P(1,1).
∵PM⊥PN,Q为MN的中点,∴MQ=PQ.
设Q(x,y),易知OQ⊥MN.
所以OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,
即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得+=,即点Q的轨迹方程为+=.
能力提升练
1.D　由题意得a=0,则方程为x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0,即x2+=1+b2+,则r2=1+b2+=b2-b+,令函数f(b)=b2-b+,可知其图象的开口向上,对称轴为直线b=,所以当b=时,f(b)取得最小值,为f=×-+=,即r2的最小值为,此时圆的方程为x2+=.
2.AB　对于A,当k=0时,圆C:x2+y2-2y=0,整理可得x2+(y-1)2=1,方程表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆,其面积为π·12=π,故A正确;
对于B,因为方程x2+y2+kx-2y+k2=0表示圆,所以k2+(-2)2-4k2>0,解得-对于C,将x2+y2+kx-2y+k2=0变形为+(y-1)2=1-k2,可知圆心C,半径r=,
点(1,0)到圆心C的距离d==,
当k=0时,d=>r=1,此时点(1,0)在圆C外,故C错误;
对于D,当圆C的周长最大时,半径r=最大,易知当k=0时,半径r取得最大值1,此时圆心C(0,1),故D错误.
3.C　==+=+·,
由于点P(a,b)在圆C上,故可将看作圆C上任意一点P(a,b)与点A连线的斜率,由图知,当直线PA与圆C相切于第一象限时,直线PA的斜率最大,
此时|AC|=-=1,|CP|=,
因为AC∥x轴,所以kAP=tan∠PAC==,
故的最大值为+×=+.
4.C　圆C1的标准方程为(x-5)2+(y+2)2=4,圆心C1(5,-2),半径r1=2,
圆C2的标准方程为(x-3)2+y2=1,圆心C2(3,0),半径r2=1,
所以直线C1C2的斜率k==-1,又直线y=x+1的斜率为1,故直线C1C2与直线y=x+1垂直.
由图可知,当M与C1,C2共线时,|MA|+|MB|取得最小值,为|MC1|-r1+|MC2|-r2,
由点到直线的距离公式得|MC1|==4,|MC2|==2,
所以|MA|+|MB|的最小值为4-2+2-1=6-3.
5.D　解法一:设B(x,y),则解得故B(2,2),
∵点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,∴C(-1,1),
设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则解得
因此圆的方程为x2+y2-2x-4=0,即(x-1)2+y2=5.
由题意易知四边形为矩形(直径所对的圆周角为直角),由解得y=±,
故该四边形的面积为×2××2=5.
解法二:因为点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,
所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线x+y-1=0上.
因为点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,
所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线y=0上.
由得所以圆心坐标为(1,0),设为P,则圆的半径为|AP|==,
故圆的方程为(x-1)2+y2=5,
下同解法一.
6.B　设点P的坐标为(x,y),因为|PA|=|PB|,所以|PA|2=2|PB|2,即(x+1)2+y2=2[(x-2)2+(y-1)2],
所以点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20,
因为P点的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,
所以圆心(5,2)在此直线上,即5m+2n=2,
所以+=(5m+2n)=≥10+×2=20,
当且仅当=,即m=,n=时,等号成立,
所以+的最小值是20.
7.B　圆O的圆心为O(0,0),半径为4,设M(x,y),由线段AB的中点为M,可得OM⊥MP,即有·=(x,y)·(8-x,-y)=x(8-x)-y·y=0,即(x-4)2+y2=16,由题知点M在圆O内,所以点M的轨迹是以C(4,0)为圆心,4为半径的圆在圆x2+y2=16内部的部分.
如图,EF垂直平分OC于D,=,所以∠ECD=60°,∠ECF=120°,所以M的轨迹的长度为×2π×4=.
8.答案　2+1
解析　如图,连接OP,分别取线段AO,AP的中点M,N,连接MN,则|MN|=|OP|=1,
因为A(-2,2),所以M(-,),
所以点N的轨迹是以M为圆心,1为半径的圆,
其方程为(x+)2+(y-)2=1,
设点M到直线l:x-y-4=0的距离为d,
则d==2+2,
则|PA|+d0=|PN|+d0的最小值为d-1=2+2-1=2+1.
9.解析　(1)∵圆心在直线y=x上,∴设圆心为(a,a),
又圆过点(-2,2),半径为2,
∴=2,∴a=0,
∴圆的方程为x2+y2=8.
(2)(m+1)x+(2m-1)y-3m=0即(x+2y-3)m+(x-y)=0,
令解得∴直线l过定点A(1,1),
设线段BC的中点为D(x,y),原点为O,
∵AB⊥AC,D为BC的中点,∴|BD|=|AD|,|BC|=2|AD|,又|OB|2=|OD|2+|BD|2,∴8=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,
化简得+=,即D的轨迹是以为圆心,为半径的圆,记M,
又|AM|=<,∴|AD|的取值范围为,
∴|BC|的取值范围为[-,+].
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)