第一章　直线与圆 2.3　直线与圆的位置关系--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
2.3　直线与圆的位置关系
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与圆的位置关系
1.(2024福建福州第一中学期中)设m∈R,则直线l:mx+y-2m-1=0与圆x2+y2=5的位置关系为(　　)
A.相离　　　　B.相切
C.相交或相切　　　　D.相交
2.(2025江西南昌第十九中学期中)设a,b为实数,若直线ax+by=2与圆x2+y2=1相切,则点P(a,b)与圆的位置关系为(　　)
A.在圆上　　B.在圆外　　C.在圆内　　D.不能确定
3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是(　　)
4.(2025江西部分高中联考)已知A(2,0),B(10,0),若直线tx-4y+2=0上存在点P,使得·=0,则t的取值范围为(　　)
A.　　　　B.∪[3,+∞)
C.　　　　D.(-∞,-7]∪
题组二　直线与圆的相切问题
5.(教材习题改编)圆A:x2+y2-4x=0在点P(1,-)处的切线l的方程为(　　)
A.x+y+2=0　　　　B.x+y-4=0
C.x-y+4=0　　　　D.x-y+2=0
6.(2024江西南昌十中期中)已知直线l:x+y-4=0上有一动点P,过点P向圆x2+y2=1引切线,则切线长的最小值是(　　)
A.　　B.　　C.2-1　　D.2
7.(2025江西上饶第二中学月考)过点P(4,2)向圆A:x2-2x+y2-2y+1=0引两条切线,则两切线夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.
8.(2025江西八校协作体联考)已知圆C:(x+1)2+y2=12,P(1,-2),M(0,3),A,B是圆C上的动点,且∠APB=,点N是线段AB的中点,则当∠PMN取得最大值时,|MN|的值为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.2
9.(2025江苏连云港赣榆期中)平面直角坐标系中,圆C经过直线x+3y-2=0与3x-2y-6=0的交点,圆心C位于第一象限,且　　　　.在①②两个条件中任选一个,补充在横线上.
①圆C经过点O(0,0),圆心在直线y=2x+1上;
②圆心C(1,b),半径为.
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(1,-7)作圆C的切线,求切线的方程.
题组三　圆的相交弦问题
10.(2025河南郑州期中)若直线x+y-=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则∠AOB=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=16,直线l过点P(2,3),且与圆C交于A,B两点,若点P为线段AB的中点,则直线l的方程为(　　)
A.x+3y-11=0　　　　B.3x+y-9=0
C.x-3y+7=0　　　　D.3x-y-3=0
12.(2025江苏连云港灌南期中)已知动直线y=kx-1+k(k∈R)与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0交于A,B两点,则弦AB最短时,△ABC的面积为　(　　)
A.2　　B.4　　C.　　D.2
13.(2025江西华东师范大学上饶实验中学检测)已知点A、B在圆O:x2+y2=16上,且AB的中点M在圆C:(x-2)2+y2=1上,则弦长|AB|的最小值为(　　)
A.2　　B.2　　C.4　　D.2
14.(2024山东普高期中联考)已知定点A(1,-3),点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点.
(1)求AB的中点C的轨迹方程;
(2)若过定点P的直线l与C的轨迹交于M,N两点,且|MN|=,求直线l的方程.
15.(2025安徽A10联盟期中)已知过点P(1,0)的直线l与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点.
(1)若弦AB的长为,求l的方程;
(2)在x轴正半轴上是否存在定点Q,使得无论l如何运动,x轴都平分∠AQB 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与圆的位置关系
1.(2025江西南昌第十九中学期中)若圆C:(x-1)2+(y-3)2=8上存在两个点到直线l:x+y+m=0的距离为,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-6,-2)
B.(-10,-2)
C.(-10,-6)∪(-2,2)
D.(-∞,-6)∪(-2,+∞)
2.(2025江西九江外国语学校月考)曲线x=+1(-3≤y≤3)与直线y=kx-4k+5有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.∪
3.(2025湖南长沙长郡中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=kx+与圆O:x2+y2=1交于A,B两点,则△AOB的面积的最大值为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
4.(2025浙江余姚中学期中)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
题组二　圆的切线与弦长问题
5.(2025重庆实验外国语学校期中,)已知圆C:x2+(y-2)2=16,直线l:x-my-4=0与圆C交于M,N两点,点A在圆C上,且CA∥MN,若|MN|=4,则·=(　　)
A.6　　B.8　　C.3　　D.4
6.(2025江西南昌第二中学月考,)已知线段MN是圆C:(x-1)2+y2=8的一条动弦,且|MN|=2,若点P为直线2x-y+6=0上的任意一点,则|+|的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(多选题)(2024黑龙江牡丹江第二高级中学月考,)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,P(5,1)为圆外一点,过P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则(　　)
A.|PA|=|PB|=2
B.P,A,C,B四点共圆
C.∠APB=30°
D.直线AB的方程为x=2
8.(多选题)(2025陕西榆林期中联考,)已知点P(x0,y0),直线l:x0x+y0y=1及圆C:x2+y2=1,则下列结论正确的是　(　　)
A.若点P在圆C上,则l与圆C相切
B.若点P在圆x2+y2=4上,则l被圆C截得的弦长为
C.若点P在圆C外,过点P作圆C的切线,则l为过两切点的直线
D.若点P在圆C内,过点P的直线与圆C交于M,N两点,则圆C在M,N处的切线的交点在l上
9.(2025河南洛阳期中,)已知圆C的圆心在y轴上,点P在圆C上,当点P的坐标为时,点P到直线3x+4y+12=0的距离最大.
(1)求直线4x-3y+8=0被圆C截得的弦长;
(2)经过原点,且斜率为k(k≠0)的直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
①求证:+为定值;
②已知Q(1,2),若|QA|2+|QB|2=22,求l的方程.
题组三　直线与圆的位置关系的综合应用
10.(多选题)(2024河北师大附中模拟,)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是(　　)
A.y-x的最大值为-2
B.x2+y2的最大值为7+4
C.的最大值为
D.x+y的最大值为2+
11.(2024广东广州育才中学期中)设m∈R,圆M:x2+y2-2x-6y=0,若动直线l1:x+my-2-m=0与圆M交于A,C两点,动直线l2:mx-y-2m+1=0与圆M交于B,D两点,则|AC|+|BD|的最大值是　　　　.
12.(创新题·新情境)(2025江苏南京东山高级中学月考)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛30千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的一般方程;
(2)在圆C区域内有未知暗礁,现有一艘船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东60°方向行驶,若不改变方向,那么该船有没有触礁的危险
13.(创新题)(2025江西赣州二十四校期中联考)若集合A是由满足一定条件的全体直线组成的集合,定义:若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线,且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线,则称该圆为集合A的包络圆.
(1)若圆E:x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+by=2}的包络圆.
(i)求a,b满足的关系式;
(ii)若3a+4b+t=0,求t的取值范围;
(2)若集合A={(x,y)|xcosθ+(y+6)sinθ+6=0,θ∈R}的包络圆为圆C,P是圆C上任意一点,判断y轴上是否存在定点M,N,使得=,若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.3　直线与圆的位置关系
基础过关练
1.C　直线l的方程可化为m(x-2)+y-1=0,
由可得所以直线l恒过点(2,1),设为A.
又22+12=5,即点A在圆x2+y2=5上,
所以过点A的直线l与圆相交或相切.
2.B　因为直线与圆相切,所以=1,即a2+b2=4.
则P(a,b)到圆心的距离为=2>1,则P(a,b)在圆外.
3.AD　由题知a≠0,圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|.圆心(-a,0)到直线ax-y+a=0的距离d=.
不妨令<|a|,可得<1,即1-2a+a2<1+a2,
当a>0时,不等式恒成立,说明直线与圆相交,圆心在x轴负半轴上且直线的斜率为正数;
当a<0时,不等式不成立,说明直线与圆相离,圆心在x轴正半轴上且直线的斜率为负数.所以A,D可能,B,C不可能.
4.C　设P(x,y),则=(2-x,-y),=(10-x,-y),
因为·=0,所以(2-x)·(10-x)+(-y)2=0,
即(x-6)2+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心,4为半径的圆上,
又点P在直线tx-4y+2=0上,
所以直线tx-4y+2=0与圆(x-6)2+y2=16有公共点,
则≤4,解得-≤t≤3.
5.A　解法一:易知切线斜率存在,设切线l的方程为y+=k(x-1).易知圆心A(2,0),半径r=2,
所以A到l的距离d==r=2,
所以k=-,即切线l的方程为x+y+2=0.
解法二:将圆A的方程化为标准形式,为(x-2)2+y2=4,
易知点P(1,-)在圆A上,则圆在点P处的切线l的方程为(x-2)(1-2)-y=4,化简得x+y+2=0.
二级结论　本题解法二用到以下结论:若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则圆在点P处的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.这个结论在解小题时可以直接应用.
6.A　设坐标原点为O,圆x2+y2=1的半径为r.根据切线的性质可得切线长为=,要使切线长最小,则|OP|最小,易知当OP⊥l时,满足要求,此时|OP|==2,∴切线长的最小值为=.
7.C　由x2-2x+y2-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆心为A(1,1),半径r=1,设切点分别为B,C,连接PA,
则∠BPC为两切线的夹角,在Rt△ABP中,|AB|=1,|PA|==,
所以sin∠APB==,
由二倍角公式可得cos∠BPC=1-2sin2∠APB=1-2×=.
8.C　连接CN,CA,PN,因为点N是线段AB的中点,∠APB=,所以|PN|=|AB|=|AN|,CN⊥AB.
在Rt△ACN中,由勾股定理得|AN|2+|CN|2=|AC|2,
即|PN|2+|CN|2=12.
设N(x,y),则(x-1)2+(y+2)2+(x+1)2+y2=12,即x2+(y+1)2=4,
所以点N在圆x2+(y+1)2=4上,设此圆圆心为Q,半径为r,
所以当直线MN与圆x2+(y+1)2=4相切时,∠PMN取得最大值,此时|MN|===2.
9.解析　(1)由解得
所以圆C过点(2,0).
若选①,设圆心C(a,2a+1),a>0,则(a-2)2+(2a+1)2=a2+(2a+1)2,解得a=1,
所以圆心为C(1,3),半径为,
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
若选②,由题意得(1-2)2+(b-0)2=10,解得b=3(负值舍去),
所以圆心为C(1,3),则圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
(2)当切线的斜率不存在时,不合题意;
当切线的斜率存在时,设切线方程为y+7=k(x-1),即kx-y-k-7=0,
因为圆心C(1,3)到切线的距离等于半径,即==,所以k=±3,
所以切线方程为3x-y-3-7=0或-3x-y+3-7=0,即3x-y-10=0或3x+y+4=0.
易错分析　在求过一定点的圆的切线方程时,应先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条(此时一定要注意斜率不存在的情况);若点在圆内,则切线不存在.
10.B　圆O的圆心为O(0,0),半径r=1,
圆心O(0,0)到直线x+y-=0的距离d==,则|AB|=2=1,
则△AOB为等边三角形,所以∠AOB=.
11.B　解法一:由已知得C(-1,2),所以kCP==.
因为P(2,3)为弦AB的中点,所以CP⊥AB,所以kAB=-3,
所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则(x1+1)2+(y1-2)2=16①,
(x2+1)2+(y2-2)2=16②,
因为P(2,3)为弦AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=6,
①-②,整理得=-=-=-3,
所以直线l的斜率为-3,
所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.
12.D　圆C的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,其圆心为C(1,-2),半径r=3,
动直线y=kx-1+k即y+1=k(x+1),恒过点P(-1,-1),
由(-1-1)2+(-1+2)2<9知点P(-1,-1)在圆C的内部,
当P为AB的中点,即CP⊥AB时,弦AB最短,
又|CP|=,|AB|=2=4,
所以△ABC的面积S=|CP||AB|=××4=2.
13.B　圆O的圆心为O(0,0),半径R=4,
因为点A、B在圆O上,AB的中点为M,
所以|AB|=2=2,
因为圆C的圆心C(2,0),半径r=1,点M在圆C上,
所以|OC|-1≤|OM|≤|OC|+1,即1≤|OM|≤3,
所以当|OM|=3时,|AB|取得最小值,为2=2.
14.解析　(1)设点C的坐标为(x,y),则点B的坐标为(2x-1,2y+3),
∵点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点,
∴(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4,即x2+(y+2)2=1,
∴AB的中点C的轨迹方程为x2+(y+2)2=1.
(2)由(1)知点C的轨迹为圆,且该圆的圆心为(0,-2),半径r=1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,此时|MN|=,满足条件;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k,k≠0,
∵r=1,|MN|=,∴圆心(0,-2)到直线l的距离d=,即d==,解得k=,
∴直线l的方程为y+1=,即6x-8y-11=0.
综上,直线l的方程为x=或6x-8y-11=0.
15.解析　(1)由题可知圆O的圆心O(0,0),半径r=2.
当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,
对于x2+y2=4,令x=1,得y=±,
不妨设A(1,),B(1,-),则|AB|=2,与题意不符,舍去;
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
由勾股定理得,圆心O到直线l的距离d===,
所以=,解得k=±,
故直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.
(2)当l的斜率不存在时,l的方程为x=1,对于x2+y2=4,令x=1,得y=±,不妨设A(1,),B(1,-),由Q在x轴正半轴上知,此时x轴平分∠AQB.
当l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1),Q(t,0)(t>0),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,Δ=12k2+16>0,
所以x1+x2=,x1x2=.
若x轴平分∠AQB,则kAQ=-kBQ,即=-,
即+=0,则2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,即-+2t=0,解得t=4.
综上,当点Q的坐标为(4,0)时,能使得无论l如何运动,x轴平分∠AQB恒成立.
能力提升练
1.C　由已知得圆C的圆心坐标为(1,3),半径为2.
因为圆C上存在两个点到直线l:x+y+m=0的距离为,所以<<3,解得-102.C　直线方程可变形为y-5=k(x-4),可知直线过定点A(4,5),
将x-1=(-3≤y≤3)两边平方得(x-1)2+y2=9(1≤x≤4),
则曲线是以(1,0)为圆心,3为半径,且位于直线x=1右侧,包括(1,3)和(1,-3)两点的半圆,如图,
当直线过点(1,-3)时,直线与曲线有两个不同的交点,
此时k==,
当直线的斜率不存在时,直线与曲线相切,此时直线与曲线有一个交点,
因此k≥.
3.D　在y=kx+中,令x=0,得y=,
即直线l恒过点E,
因为02+<1,所以点E在圆x2+y2=1内.
易得圆O的圆心为O(0,0),半径r=1,
作OD⊥l于点D,如图所示:
则|OD|≤|OE|=,
所以cos∠DOB=≤,
又∠DOB∈,所以∠DOB∈,
故∠AOB=2∠DOB∈,
所以S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB≤×1×1×sin=.
4.A　由题可得圆的圆心Q(2,2),半径R=3,
若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,
则圆心Q(2,2)到l:ax+by=0的距离d≤,
当b=0时,l的斜率不存在,倾斜角为,此时圆心Q(2,2)到l:ax+by=0的距离d=2>,不符合题意;
当b≠0时,l的斜率为-,此时d==,令-=k,则d=≤,
整理得k2-4k+1≤0,解得2-≤k≤2+,
因为tan=tan=2-,tan=tan=2+,
所以l的倾斜角的取值范围是.
5.B　圆C的圆心C(0,2),半径r=4.
取MN的中点H,则|MH|=|NH|=2,
圆心C到直线l的距离d=|CH|===2.
因为CA∥MN,所以CH⊥CA,
则·=(-)·(-)
=·+||2-·(+)
=·+||2-·2=·+||2
=·+16=(+)·(+)+16
=||2+·(+)+·+16
=||2+·0-||2+16=||2-||2+16
=22-(2)2+16=8.
6.A　圆C的圆心C(1,0),半径r=2,
令动弦MN的中点为Q,连接CQ,则CQ⊥MN,所以|CQ|==,
即点Q的轨迹是以点C为圆心,为半径的圆,
因为点C(1,0)到直线2x-y+6=0的距离d==>,
所以直线2x-y+6=0与点Q的轨迹相离.
连接PQ,又|+|=|2|=2||,||min=d-=,
所以|+|的最小值为.
7.ABD　将圆C的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心C(1,1),半径r=2.如图.
对于A,因为|PC|=4,
所以|PA|=|PB|===2,故A正确;对于C,D,在Rt△BCP中,|PC|=4,|BC|=2,则sin∠CPB=,即∠CPB=30°,则∠APB=2∠CPB=60°,∠BCP=∠ACP=60°,所以线段CA,CB在直线PC上的投影长均为2×cos60°=1,则点A,B的横坐标均为2,所以直线AB的方程为x=2,故C错误,D正确;对于B,直线PC与圆C的一个交点为D(3,1),可知D为CP的中点,又∠CBP=∠CAP=90°,所以|DC|=|DB|=|DP|=|DA|=2,故P,A,C,B四点共圆,故B正确.
8.ACD　对于A,点P在圆C上,则+=1,圆心C(0,0)到l的距离d==1,故l与圆C相切,A正确;
对于B,点P在圆x2+y2=4上,则+=4,又圆C的圆心C(0,0)到l的距离d==,所以l被圆C截得的弦长为2=,B错误;
对于C,设两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则圆C在点A,B处的切线方程分别为x1x+y1y=1,x2x+y2y=1,
因为点P在两切线上,所以x1x0+y1y0=1,x2x0+y2y0=1,
所以点A,B都在直线x0x+y0y=1上,C正确;
对于D,由C可设圆C在M,N处的切线的交点为(x'0,y'0),则直线MN的方程为x'0x+y'0y=1,因为点P在该直线上,所以x0x'0+y0y'0=1,
所以点(x'0,y'0)在直线x0x+y0y=1上,D正确.
9.解析　(1)设圆心C(0,a),则当P的坐标为时,kPC==,由题意可得·=-1,
∴a=1,∴C(0,1),∴|PC|=3,即半径为3,
∴圆C的标准方程为x2+(y-1)2=9.
圆心C到直线4x-3y+8=0的距离为=1,∴所求弦长为2=4.
(2)由题知l的方程为y=kx(k≠0),与圆的方程联立,得y2-2y-8=0,显然Δ>0,
∴y1+y2==,y1y2=-=-.
①证明:+==-,为定值.
②∵|QA|2+|QB|2
=(x1-1)2+(y1-2)2+(x2-1)2+(y2-2)2
=(+)-2(x1+x2)+(+)-4(y1+y2)+10
=(+)-(y1+y2)+10
=(y1+y2)2-(y1+y2)-2y1y2+10
=-+26=22,
∴k=1,∴l的方程为y=x.
10.CD　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.令y-x=a,=k,x+y=b,则这三条直线都与该圆有公共点,所以≤,≤,≤,解得--2≤a≤-2,-≤k≤,2-≤b≤2+,所以y-x的最大值为-2,的最大值为,x+y的最大值为2+,A中说法正确,C、D中说法错误;x2+y2表示圆上的点与坐标原点间距离的平方,易知圆上的点到原点的距离的范围为[2-,2+],即2-≤≤2+,故7-4≤x2+y2≤7+4,所以x2+y2的最大值为7+4,B中说法正确.
方法总结　若P(x,y)是定圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一动点,则mx+ny,,x2+y2的最值一般都采用几何法求解,具体求法如下:
①mx+ny的最值:设mx+ny=t,则圆心C(a,b)到直线mx+ny=t的距离d=,由d≤r可得t的取值范围,即可得t的最大值和最小值.
②的最值:即点P与原点连线的斜率,通过数形结合可求得斜率的最大值和最小值.
③x2+y2的最值:x2+y2可视为点P到原点的距离d的平方,可通过圆心到原点的距离加上或者减去半径得到d的最大值或最小值,然后平方即可.(只考虑原点在圆C外的情况)
11.答案　2
解析　圆M:x2+y2-2x-6y=0可化为(x-1)2+(y-3)2=10,所以其圆心为M(1,3),半径r=.
由直线l1:x+my-2-m=0,即x-2+m(y-1)=0,可知l1过定点(2,1),记E(2,1),
由直线l2:mx-y-2m+1=0,即m(x-2)-y+1=0,可知l2过定点E(2,1).
易知l1⊥l2,如图,设线段AC和BD的中点分别为F,G,则四边形EFMG为矩形,
设|MF|=d,0≤d≤|ME|=,则|MG|===,
则|AC|+|BD|=2+2=2(+)≤2=2,
当且仅当10-d2=5+d2,即d=时取等号.
12.解析　(1)依题意知A(30,30),B(20,0),
设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则有解得D=-20,E=-40,F=0,
所以圆C的方程为x2+y2-20x-40y=0.
(2)由(1)知,圆C的圆心C(10,20),半径r=10,
该船初始位置为点D(-20,-20),且该船航线所在直线l的斜率为,
则该船航线所在直线l的方程为y+20=(x+20),即x-y-40=0,
圆心C到直线l的距离d==15+10>10=r,则直线l与圆C相离,
所以该船没有触礁的危险.
13.解析　(1)(i)因为圆E:x2+y2=4是集合A={(x,y)|ax+by=2}的包络圆,
所以圆心E(0,0)到直线ax+by=2的距离为2,
即=2,化简得a2+b2=1,
即a,b满足的关系式为a2+b2=1.
(ii)由a2+b2=1及3a+4b+t=0,可得圆x2+y2=1与直线3x+4y+t=0有公共点,
所以≤1,解得-5≤t≤5,故t的取值范围是[-5,5].
(2)设C(m,n),由题意可知点C到直线xcosθ+(y+6)·sinθ+6=0的距离d为与θ无关的定值,即d=为与θ无关的定值,
所以m=0,n+6=0,故C(0,-6),此时d=6,
所以圆C的方程为x2+(y+6)2=72.
设P(x,y),则x2+(y+6)2=72,即x2+y2=36-12y,
假设y轴上存在定点M,N,使得=,设M(0,y1),N(0,y2),
则==
==,
所以解得或
所以y轴上存在定点M(0,2),N(0,3)或M(0,-14),N(0,-15),使得=.
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