第一章　直线与圆 2.4　圆与圆的位置关系--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
2.4　圆与圆的位置关系
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2024江西九江同文中学月考)已知圆C1的方程为(x-a)2+y2=1,圆C2的方程为(x-a-1)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R.那么这两个圆的位置关系不可能为(　　)
A.外离　　B.外切　　C.内含　　D.内切
2.(2024江苏无锡江阴四校期中)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3条公切线,则a=(　　)
A.-3　　B.3　　C.3或-3　　D.5
3.(2025湖南张家界期中)已知圆C1:x2+(y-1)2=1和圆C2:(x-a)2+(y-1)2=16,其中a>0,使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是(　　)
A.24.(2025江西上饶第二中学月考)在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2-4y+3=0,若直线y=kx-1上存在点P,使以点P为圆心,1为半径的圆P与圆C有公共点,则实数k的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
5.(2024浙江绍兴第一中学期中)已知点A(0,0),B(2,0),圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点Pi(i=1,2)满足·=3,则r的取值范围是　　　　.
题组二　两圆的公共弦与公切线
6.(2025河北张家口期中)已知圆C1:x2+y2-2x=0,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0,若圆C2平分圆C1的周长,则m+n=(　　)
A.2　　B.-2　　C.1　　D.-1
7.(2025安徽黄山八校联盟期中)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+10-m=0截x轴所得的弦长为2,圆C2:x2+y2+8y-30=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为(　　)
A.x-7y-12=0　　　　B.x-7y+8=0
C.x-7y+12=0　　　　D.x-7y-18=0
8.(易错题)(多选题)(2024江西景德镇一中期中)已知两圆C1:x2+y2=4与C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法不正确的是(　　)
A.若两圆相切,则r=3
B.若两圆的公共弦所在的直线方程为3x-4y-2=0,则r=5
C.若两圆的公共弦长为2,则r=
D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=4
9.(2025福建龙岩连城一中月考)已知圆C1:x2+y2-4x-16=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0,则圆C1与圆C2的公切线方程是　　　 　　.
10.(2025江苏宿迁期中)设a为实数,圆M的方程为x2+y2+2x-6y+a=0.
(1)若圆O:x2+y2=9和圆M的公共弦长为,求a的值;
(2)若过点B(4,-1)的圆N与圆M相切,切点为A(1,2),求圆N的标准方程.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　圆与圆的位置关系的综合应用
1.(2025江苏苏州张家港期中调研)已知圆C的圆心在直线x-y-5=0上,并且圆C经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点,则圆C的圆心是(　　)
A.B.C.(4,-1)D.(1,-4)
2.(2025云南昆明第一中学联考,)已知曲线Γ的方程为(x2+y2+2x+2y)(x2+y2-2x-2y)=0,若经过点A(-4,-2)的直线l与Γ有四个交点,则l的斜率的取值范围是(　　)
A.∪　　　　B.∪
C.　　　　D.
3.(2025江西抚州八校协作体联考,)已知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1与圆C2:(x+1)2+y2=4交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.线段AB的中垂线方程为x+y+1=0
B.直线AB的方程为4x-4y-7=0
C.|AB|=
D.若点P是圆C1上的一点,则|+|的最大值是+2
4.(2025江苏无锡期中,)“晚旁”徽标是借助两个圆设计而成的,其形状如月(如图阴影部分).已知圆C1:x2+y2-2ax+4y+1=0,圆C2:x2+y2-3ax+(4+)y+4+2=0,其中05.()已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)证明圆C1与圆C2外切,并求过两圆切点的公切线的方程;
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
6.(2025江西上进联考,)已知圆C1:(x+a)2+y2=(a>0)与圆C2:+(y-3)2=相外切.
(1)求圆C1的标准方程;
(2)若n=m-2,求+的最小值;
(3)已知A(-2,0),P为圆C1上任意一点,在x轴上是否存在定点B(异于点A),使得为定值 若存在,求点B的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.4　圆与圆的位置关系
基础过关练
1.C　根据题意,知圆C1的圆心为C1(a,0),半径r=1,圆C2的圆心为C2(a+1,b),半径R=2,所以r+R=3,R-r=1,因为|C1C2|=≥1,所以|C1C2|≥R-r,故两圆的位置关系不可能是内含.
2.C　圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心C2(4,a),半径r2=4,因为两圆有3条公切线,所以两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,即=5,解得a=±3.
规律总结
圆与圆的位置关系与公切线条数
位置关系 内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数 0 1 2 3 4
3.B　由题意知圆C1的圆心为C1(0,1),半径R1=1,圆C2的圆心为C2(a,1),半径R2=4,所以|C1C2|=a,要使两圆相交,只需R2-R1<|C1C2|4.B　将圆C的方程化为标准形式,为x2+(y-2)2=1,所以圆心C(0,2),半径r=1.
解法一:设P(x0,kx0-1),由圆P与圆C有公共点,得关于x0的不等式1-1≤≤1+1有解,即(k2+1)·-6kx0+5≤0有解,
所以Δ=(-6k)2-20(k2+1)≥0,解得k≤-或k≥.
解法二:原问题可转化为圆C':x2+(y-2)2=4与直线y=kx-1有公共点,
则≤2,解得k≤-或k≥.
5.答案　(3,7)
解析　设P(x,y),则·=(-x,-y)·(2-x,-y)=x2-2x+y2=3,变形得(x-1)2+y2=4,
故点P在以点(1,0)为圆心,2为半径的圆上,
要使圆M上恰有两点Pi(i=1,2)满足·=3,
则圆(x-1)2+y2=4与圆M有两个交点,故|r-2|<6.B　圆C1与圆C2的方程作差,可得两圆的公共弦所在的直线方程为(m+2)x-4y+n=0,
圆C1的标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆心C1(1,0),
因为圆C2平分圆C1的周长,所以公共弦所在直线过点C1(1,0),
因此m+2+n=0,所以m+n=-2.
7.C　易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=,设圆C1截x轴所得的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),对于圆C1的方程,令y=0,则x2+2x+10-m=0,则x1+x2=-2,x1x2=10-m,所以|AB|=|x1-x2|===2,解得m=16,故圆C1:x2+y2+2x-6y-6=0,
圆C1与圆C2的方程作差,可得两圆公共弦所在的直线方程为x-7y+12=0.
8.ACD　由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径为r,则|C1C2|=5.
对于A,当两圆外切时,|C1C2|=r1+r,即5=2+r,解得r=3;当两圆内切时,|C1C2|=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故两圆相切时,r=3或r=7,故A中说法错误.
对于B,两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为6x-8y+r2-29=0,
又因为公共弦所在的直线方程为3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中说法正确.
对于C,圆心C1(0,0)到直线6x-8y+r2-29=0的距离d==,
因为两圆的公共弦长为2,所以2=2,所以d=1,
即=1,解得r2=19或r2=39,即r=或r=,故C中说法错误.
对于D,若两圆在交点处的切线互相垂直,则满足r2+=|C1C2|2,即r2+4=25,所以r=,故D中说法错误.
易错警示　本题A选项容易出错,当已知两圆相切时,要分内切和外切两种情况讨论.
9.答案　2x+y+6=0
解析　圆C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圆心为C1(2,0),半径r1=2,
圆C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圆心为C2(0,-1),半径r2=.
因为圆心距|C1C2|==r1-r2,所以两圆内切.
联立所以所以两圆切点的坐标为(-2,-2),
又==,所以公切线的斜率为-2,
所以公切线的方程为y-(-2)=-2(x+2),即2x+y+6=0.
解题模板　当两圆外切时,有一条内公切线,且垂直于两圆的连心线;当两圆内切时,有一条外公切线,且垂直于两圆的连心线.求切线方程时,可先联立两圆方程求出切点坐标,再利用垂直关系求出公切线的斜率,进而得到方程.
10.解析　(1)圆O:x2+y2=9的圆心为O(0,0),半径为3.
由题知两圆相交,将圆M与圆O的方程相减可得两圆公共弦所在的直线方程为2x-6y+a+9=0,
圆O的圆心O到直线2x-6y+a+9=0的距离d==,
所以32=+,解得a=1或a=-19,所以实数a的值为1或-19.
(2)将点A(1,2)的坐标代入圆M的方程,可得a=5,
所以圆M的方程为x2+y2+2x-6y+5=0,即(x+1)2+(y-3)2=5,
故圆心M(-1,3),半径为.
设圆N的标准方程为(x-m)2+(y-n)2=r2(r>0),
因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M、N三点共线,
直线AM的方程为y-2=(x-1),即x+2y-5=0,
将点N(m,n)的坐标代入,得m=5-2n①,
因为点B(4,-1)在圆N上,所以|BN|=|AN|=r,即==r②,
由①②两式解得m=3,n=1,r=,
所以圆N的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
能力提升练
1.D　联立解得或
不妨记A(-1,3),B(-6,-2),则AB的中点为,kAB==1,
故线段AB的垂直平分线方程为y-=-,即x+y+3=0,可知圆C的圆心也在直线x+y+3=0上,
联立解得所以圆心坐标为(1,-4).
2.A　如图,曲线Γ表示分别以M(-1,-1),N(1,1)为圆心,为半径的两个圆,
由|MN|=2知两圆外切.
设过点A且与圆N相切的直线方程为y=k(x+4)-2,即kx-y+4k-2=0,则点N到切线的距离d==,解得k=1或k=,即kAC=1,kAD=,又易知kAO=,直线AC也为圆M的一条切线,
所以l的斜率的取值范围为∪.
3.ABD　圆C1的圆心C1(1,-2),半径r1=1,圆C2的圆心C2(-1,0),半径r2=2.
对于A,由圆的对称性知直线C1C2是线段AB的中垂线,
∵==-1,∴直线AB的中垂线方程为y=-(x+1),即x+y+1=0,A正确;
对于B,两圆方程作差可得直线AB的方程,为4x-4y-7=0,B正确;
对于C,∵C1到直线AB的距离d===,∴|AB|=2=2=,C错误;
对于D,记M为AB的中点,则|+|=2||,
∵||max=d+r1=+1,∴|+|max=+2,D正确.
4.答案　
解析　易知圆C1的圆心为C1(a,-2),半径r1=,
圆C2的圆心为C2,半径r2=.
两圆方程相减可得公共弦AB所在的直线方程为ax-·y-3-2=0,
由弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧可知∠AC1B=120°,
因此圆心C1(a,-2)到直线ax-y-3-2=0的距离为r1,即=,
又0此时C2在公共弦AB所在的直线上,所以AB为圆C2的直径,
易知r1=2,r2=,
所以弦AB截得的圆C2的弧长为πr2=π,截得的圆C1的较大的弧长为πr1=π,
故组成“晚旁”的两段弧长的比值为==.
5.解析　(1)圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0可化为(x+2)2+(y-2)2=13,
圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0可化为(x-4)2+(y+2)2=13,
因此两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(4,-2),
两圆的半径r1=r2=,
因为|C1C2|==2=r1+r2,所以两圆外切.
联立化简整理得3x-2y-3=0,故过两圆切点的公切线的方程为3x-2y-3=0.
(2)易知直线C1C2经过切点,且直线C1C2的方程为=,即2x+3y-2=0.
由得故切点为(1,0),设为M.
与两圆相切于点M(1,0)的圆的圆心必在两已知圆的圆心连线C1C2:2x+3y-2=0上,
设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,
则解得
所以r2=|PM|2=,
故所求圆的方程为(x+4)2+=.
6.解析　(1)圆C1的圆心C1(-a,0),半径r1=,圆C2的圆心C2,半径r2=,
因为圆C1与圆C2相外切,所以|C1C2|=r1+r2,
即=+,解得a=或a=-(舍去),
故圆C1的标准方程为+y2=.
(2)设Q(m,n),因为m,n满足n=m-2,所以点Q(m,n)在直线x-y-2=0(记为l)上,
+表示点Q(m,n)到圆心C1与圆心C2的距离之和,
设C1关于直线l:x-y-2=0的对称点为C3(x0,y0),如图,连接C2C3,
则解得
则点C3,
由数形结合知Q(m,n)到圆心C1与圆心C2的距离之和的最小值等于|C2C3|,即=.
(3)假设存在定点B,使得为定值,
设B(c,0)(c≠-2),P(x,y),
则y2=-=-x2-x-4,
===,
当c2-4=0,即c=2(c=-2舍)时,=,为定值,
故存在定点B(2,0),使得为定值.
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