第一章　直线与圆 复习提升--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略直线的斜率与倾斜角的变化关系致错
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025山东德州月考)直线l过不同的两点A(cosθ,sin2θ),B(0,1),则l的倾斜角的取值范围为(　　)
A.
B.∪
C.∪∪
D.∪
2.(2024福建厦门外国语学校月考)已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若l与连接A(1,-2),B(2,1)两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.∪
易错点2　忽略直线斜率不存在的情况致错
3.已知圆C:x2+y2-4y+3=0.
(1)求过点(3,1)且与圆C相切的直线方程;
(2)过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A,B,求线段AB的中点M的轨迹方程.
易错点3　忽视题中的隐含条件致错
4.(多选题)(2025江西赣州中学检测)以下四个命题为真命题的是(　　)
A.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线方程为y=-x+
B.直线xcosθ+y+2=0(θ∈R)的倾斜角的范围是∪
C.直线x+y-1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离是
D.若直线l1:(3+a)x+4y=5-4a与l2:2x+(5+a)y=9平行,则a=-7
5.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为坐标原点.
(1)试写出圆C的标准方程;
(2)求证:△OAB的面积为定值;
(3)设直线y=-2x+4与圆C交于M,N两点,若|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.
思想方法练
一、函数与方程思想在直线与圆中的应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025江西南昌进贤第一中学联考)已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动,且B,C的中点为D(1,0),若点P的坐标为(5,0),则|++|的最大值为(　　)
A.11　　B.13　　C.15　　D.17
2.(2024北京工业大学附属中学期中)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　.
二、分类讨论思想在直线与圆中的应用
3.(2025广东珠海第一中学阶段考试)已知点P(3,4)到直线l的距离为5,且直线l在两坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线共有(　　)
A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.4条
4.已知圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和圆C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,圆C2均相切,P是△MC1C2的内心,且+=3,则a=(　　)
A.9或11　　　　B.11
C.17或19　　　　D.19
三、数形结合思想在直线与圆中的应用
5.(2025重庆渝东九校联盟期中)已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=9,若Q为直线m:2x-y+5=0上的动点,M是圆C上的动点,定点N(2,4),则|QM|+|QN|的最小值为(　　)
A.+3　　B.+3　　C.-3　　D.-3
6.(2024福建福州格致中学期中)已知点P是圆M:(x-2)2+(y-2)2=2上的动点,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2,则|+|的最大值是(　　)
A.3　　B.8　　C.5　　D.8+2
7.(2025安徽A10联盟期中)已知实数x,y满足y=+1,则的取值范围为　　　　.
四、转化与化归思想在直线与圆中的应用
8.(2024安徽怀宁新安中学期中)设直线l:3x+2y-6=0,P(m,n)为直线l上的动点,则m2+n2-2n的最小值为(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.
9.(2025江西南昌师范大学附属中学期中)若实数x,y满足(x-2)2+y2=1,则下列结论错误的是(　　)
A.2x+y≤4+　　　　B.(x-2)y≤
C.-≤≤　　　　D.2x-y≤5
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,4)与直线l:y=x-1,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.
(1)若点P(2,2)在圆C上,求圆C的方程;
(2)若圆C上存在点M,使3|MO|=|MA|,求圆心C的横坐标的取值范围.
案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　设l的倾斜角为α,则α∈[0,π),因为A,B是不同的两点,所以cosθ≠0,
则l的斜率k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1],
即tanα∈[-1,0)∪(0,1],可得0<α≤或≤α<π(易错点),所以l的倾斜角的取值范围为∪.
2.D　直线l的方程变形得2x-y-1+m(x+y+1)=0.令解得则l过定点(0,-1),又l与线段AB总有公共点,所以l的斜率一定存在.设P(0,-1),l的斜率为k,倾斜角为α,则0≤α<π,
易得kPA==-1,kPB==1,
则-1≤k≤1,即-1≤tanα≤1,
又k==-1+≠-1,所以-1因此0≤α≤或<α<π,
所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.
易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意以下三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是若斜率不存在的直线不符合题意,则倾斜角的取值范围会分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的取值范围分成两个部分.
3.解析　(1)由已知得圆心C(0,2),半径为1,
易知过点(3,1)且与圆C相切的直线斜率存在,
设直线方程为y=k1(x-3)+1,即k1x-y-3k1+1=0,
则=1,解得k1=0或k1=-,
故所求的直线方程为y=1或y=-(x-3)+1,即y=1或3x+4y-13=0.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),
联立消去y得(1+k2)x2-4kx+3=0,
则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)=,
因为直线l与圆C交于不同的两点A,B,所以Δ=16k2-12(1+k2)>0,所以k2>3,
由消去k得x2+y2-2y=0,
因为k2>3,所以y===∈;
当直线l的斜率不存在时(易错点),线段AB的中点为(0,2),符合x2+y2-2y=0.
故线段AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-2y=0,y∈.
易错警示　在直线与圆的位置关系中,求直线方程时,通常设直线方程为点斜式,点斜式使用的前提是斜率存在,不要默认直线斜率存在而忽略了斜率不存在的情况;而对于圆的方程的求解,要注意结合图形对求得的结论进行检验,要注意一些特殊情况是否符合.
4.BD　对于A,当直线过原点时,(易错点)直线方程为y=-x,
当直线不过原点时,设直线方程为+=1,把(-10,10)代入得+=1,解得a=,则直线方程为y=-x+,故满足条件的直线方程为y=-x或y=-x+,故A错误;
对于B,直线的斜率k=-,因为-1≤cosθ≤1,所以-≤k≤,则直线的倾斜角的范围是∪,故B正确;
对于C,直线x+y-1=0即直线2x+2y-2=0(易错点),与直线2x+2y+1=0之间的距离d==,故C错误;
对于D,若l1∥l2,则(a+3)(a+5)-8=0,解得a=-7或a=-1,当a=-1时,两直线重合(易错点),舍去,故a=-7,故D正确.
易错警示　在求解与直线相关的问题时要注意隐含条件,常见的隐含条件有:若题目中出现截距相等、互为相反数,或在一坐标轴上的截距是其在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)等条件时要考虑截距为0的情形;求距离时要注意公式的使用条件;已知两直线的位置关系求参时要记得对结果进行检验等.
5.解析　(1)设圆C的半径为r(r>0),则圆C:(x-t)2+=r2,又圆C过原点,所以t2+=r2,所以圆C的标准方程为(x-t)2+=t2+(t∈R,t≠0).
(2)证明:由(1)知,圆C的标准方程为(x-t)2+=t2+,令x=0,得yB=,令y=0,得xA=2t,
则S△OAB==4,所以△OAB的面积为定值.
(3)由|OM|=|ON|可知MN的垂直平分线过原点,
又弦的垂直平分线必过圆心,故直线OC与直线y=-2x+4垂直,则有kOC·(-2)=-1,即·(-2)=-1,解得t=±2,所以圆心C(2,1)或C(-2,-1),
则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
当圆C的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,圆心到直线2x+y-4=0的距离d==>,直线与圆不相交,故舍去(易错点).
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
易错警示　审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下研究其他问题.
思想方法练
1.C　由点在圆上设出点A的坐标(用三角函数表示),结合三角函数的性质求解.
因为点A在圆x2+y2=4上,所以可设A(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π),
则=(-4,0),=(2cosθ-5,2sinθ),
又+=2=(-8,0),
所以++=(2cosθ-13,2sinθ),
所以|++|==,
所以当cosθ=-1,即θ=π时,|++|取得最大值,为=15.
2.答案　
解析　联立
两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得.
得x=③,把③代入①,解得y=,所以两直线的交点坐标为,因为两直线的交点位于第一象限,所以>0且>0,解得k>1,设直线l的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),则tanθ>1,所以θ∈.
思想方法　在本章中,方程思想主要体现在求两条直线的交点坐标、利用待定系数法求直线或圆的方程、相关公式的运用等方面;函数思想主要体现在求最值(范围)问题中(如借助圆的方程实现坐标代换或三角换元),把所求问题转化为相关函数(二次函数,三角函数等),利用函数性质求解.
3.C　①当直线l经过原点时,设直线l:y=kx(k≠0),
则点P(3,4)到直线l的距离为=5,化简得(4k+3)2=0,解得k=-(二重根);
②当直线l不经过原点时,设直线l:+=1,即x+y-a=0,
则点P(3,4)到直线l的距离为=5,解得a=7±5.
综上所述,符合条件的直线有3条.
4.C　圆C1的圆心C1(-3,0),半径R1=a,圆C2的圆心C2(3,0),半径R2=1,因为a>7,所以圆心距|C1C2|=6设△MC1C2内切圆的半径为r0,因为P为△MC1C2的内心,且+=3,所以|C1M|r0+|C2M|r0=3×|C1C2|r0,得|C1M|+|C2M|=3|C1C2|.
设圆M的半径为r,
题目中没有说明动圆M与圆C1,圆C2相切的类型,所以需要分情况讨论.
当动圆M内切于圆C1,且与圆C2外切(r有|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=R2+r=1+r,所以|C1M|+|C2M|=a+1,所以3|C1C2|=18=a+1,得a=17;
当动圆M内切于圆C1,圆C2内切于动圆M时,
有|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=r-R2=r-1,所以|C1M|+|C2M|=a-1,所以3|C1C2|=18=a-1,得a=19.
综上可得,a=17或a=19.
思想方法　分类讨论又称逻辑划分,分类讨论的关键是逻辑划分标准的确定,以便对问题依次分类求解(或证明).本章中,求直线方程时常需要对直线斜率是否存在进行分类讨论,在圆与圆的位置关系的判断中常需要对圆心距和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论.
5.C　作对称点,通过数形结合来分析最值与动点、定点之间的关系.
圆C的圆心为C(2,-1),半径为3.
设点N(2,4)关于直线m的对称点为N'(a,b),
则解得所以N'(-2,6),
则|QM|+|QN|=|QM|+|QN'|≥|MN'|≥|CN'|-3=-3=-3,
当且仅当C,M,Q,N'四点共线(点M在点C,N'之间)时取等号,
所以|QM|+|QN|的最小值为-3.
6.D　圆M的圆心为M(2,2),半径为,圆C的圆心为C(-1,-1),半径为2,
如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,
易知D为AB的中点,∴|BD|=,且+=2,则问题转化为求||的最大值.
利用向量知识求||的最值,思路不容易找到,而利用点D的轨迹,作出图形辅助求解比较简单,体现了数形结合思想.
∵|CB|=2,∴|CD|===1,∴点D的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=1,
则||max=|CM|++1=++1=4+1,
故|+|的最大值为2×(4+1)=8+2.
7.答案　
解析　因为y=+1,所以x2+(y-1)2=4(y≥1),其表示圆x2+(y-1)2=4的上半部分(包含点(-2,1)和(2,1)).
设半圆上一动点P(x,y),
则表示点P与点A(-4,-1)连线的斜率.如图,
数形结合,找出临界位置.
当直线AP和半圆相切时,直线AP的斜率取得最大值,
设此时直线AP的方程为y+1=k(x+4)(k≠0),即kx-y+4k-1=0,
则=2,解得k=或k=0(舍去),
则直线AP的斜率的最大值为;
当点P为(2,1)时,直线AP的斜率取得最小值,为=.
综上,的取值范围为.
思想方法　数形结合思想在本章中的应用主要体现在两个方面:一方面是在遇到求代数式的取值范围时,通常赋予其几何意义,通过斜率公式、距离公式等把代数式的取值转化为点与点连线的斜率或点到点(直线)的距离,再结合相关知识解决问题;另一方面是确定点的轨迹是圆时,利用圆的知识解决问题.
8.B　m2+n2-2n=m2+(n-1)2-1,其中m2+(n-1)2的几何意义为点(m,n)与点(0,1)之间的距离的平方,
根据几何意义,将求代数式的最值问题转化为求两点间的距离问题.
因为点(0,1)到直线l:3x+2y-6=0的距离d==,
进一步转化为点到直线的距离问题.
所以m2+(n-1)2的最小值为,
则m2+n2-2n的最小值为-1=.
9.D　(x-2)2+y2=1表示以(2,0)为圆心,1为半径的圆.
对于A,设2x+y=t,则直线2x+y-t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点,
所以≤1,解得4-≤t≤4+,所以2x+y≤4+,故A中结论正确;
将求2x+y的取值范围转化为求直线2x+y=t与圆有公共点时t的取值范围.
对于B,由(x-2)2+y2≥2(x-2)y知(x-2)y≤,
当且仅当x=2+,y=或x=2-,y=-时取“=”,故B中结论正确;
对于C,表示圆(x-2)2+y2=1上一点与坐标原点连线的斜率,如图,
由图知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是,
故tan≤≤tan,即-≤≤,故C中结论正确;
赋予几何意义,转化为圆上的点与坐标原点连线的斜
率问题.
对于D,取x=3,y=0,满足(x-2)2+y2=1,但2x-y=6>5,故D中结论错误.
10.解析　设圆心C(a,a-1),则圆C的方程为(x-a)2+(y-a+1)2=1.
(1)因为点P(2,2)在圆C上,所以(2-a)2+(2-a+1)2=1,解得a=2或a=3,
故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-2)2=1.
(2)设M(x0,y0),则(x0-a)2+(y0-a+1)2=1,
由于3|MO|=|MA|,A(0,4),
利用坐标将长度关系转化为点与圆的位置关系,从而将问题转化为两圆的位置关系问题,体现了转化与化归思想.
所以3=,
化简得+=,
从而M(x0,y0)在以(记为N)为圆心,为半径的圆上,
故M(x0,y0)为圆N:x2+=与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1的公共点,
即圆N:x2+=与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1相交或相切,
从而≤|NC|≤,即≤≤,
解得-≤a≤0或≤a≤2,
故圆心C的横坐标的取值范围为∪.
思想方法　本章中转化与化归思想的应用主要体现在将一般点或一般图形问题转化为特殊点或特殊图形问题,将具有特殊结构的代数式、函数、方程等,通过其几何意义转化为与圆的方程、距离公式、斜率公式等有关的问题进行解决.
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