专题强化练2　对称问题及其应用--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练2　对称问题及其应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024湖南常德部分学校联考)若直线l1:2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2,则l2的方程为(　　)
A.2x+y+1=0　　　　B.x+2y-1=0
C.x+y=0　　　 　D.x-2y+3=0
2.(2025福建三明月考)已知(m,n)为直线x+y-1=0上的一点,则+的最小值为(　　)
A.　　B.2　　C.4　　D.3
3.入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为(　　)
A.x-2y+3=0　　　　B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0　　　　D.2x-y+6=0
4.(2025安徽蚌埠月考)已知直线3x+2y-6=0分别与x轴、y轴交于点A,B,若直线x+y-1=0上存在一点C,使|CA|+|CB|最小,则点C的坐标为(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
5.(2025江苏盐城期中)已知A(0,4),B(0,-4),C(4,0),E(0,1),F(0,-1),一束光线从F点射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD斜率的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.(2025安徽阜阳太和中学期中)某市举办青少年机器人大赛,组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)如图所示,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,在场地ABCD中设置了一个半径为米的圆H,圆H与直线AB相切于点E.比赛中,机器人从F点出发,经过线段AG上一点,然后到达圆H,则机器人走过的最短路程是(　　)
A.米　　　　B.米
C.米　　　　D.米
7.(2024江西景德镇一中期中)在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(-4,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x-y+1=0,∠B的平分线所在直线的方程为2x+y-2=0,则直线BC的方程为　　　　　　.
8.(2023山东淄博一中质检)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(1,1),直线l:x+y+1=0.
(1)在直线l上找一点C,使得|AC|+|BC|最小,并求这个最小值和点C的坐标;
(2)在直线l上找一点D,使得||AD|-|BD||最大,并求这个最大值和点D的坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　对称问题及其应用
1.D　联立解得即l1与l的交点为(-1,1).
在直线l1上任取一点A(0,3),设点A关于l的对称点为A'(a,b),
则解得即A'(1,2),
所以l2的方程为=,即x-2y+3=0.
2.A　+为点P(m,n)到原点O和到点A(-2,0)的距离之和,即|PO|+|PA|,如图,
设点O(0,0)关于直线x+y-1=0的对称点为B(a,b),
则解得即B(1,1).
所以|PO|+|PA|=|PB|+|PA|≥|AB|==,当A,P,B三点共线时,等号成立.故+的最小值为.
3.B　设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1,点B关于x轴的对称点B1(0,3),且A1,B1在直线l3上,故l3的方程为+=1,即2x-y+3=0.
4.A　对于方程3x+2y-6=0,令x=0,得y=3,令y=0,得x=2,则A(2,0),B(0,3),设点B关于直线x+y-1=0的对称点为D(m,n),则解得
即D(-2,1),设直线AD与直线x+y-1=0交于点E,则当点C与点E重合时,|CA|+|CB|取得最小值,而直线AD:=,即y=-x+,由解得即E,所以当点C的坐标为时,|CA|+|CB|取得最小值.
5.D　已知A(0,4),B(0,-4),C(4,0),则直线BC的方程为x-y-4=0,直线AC的方程为x+y-4=0.
如图,作F(0,-1)关于直线BC的对称点P,设P(a,b),
则解得故P(3,-4),
作P(3,-4)关于直线AC的对称点M,设M(t,s),
则解得故M(8,1),
连接MA,ME,记ME交AC于点N,则直线ME的方程为y=1,得N(3,1),
连接PN,PA,分别交BC于点G,H,
则直线PN的方程为x=3,得G(3,-1),
直线PA的斜率kPA=,则直线PA的方程为y=-x+4,联立解得故H,
则线段GH(不含端点)即为点D的轨迹.
连接FG,FH,则直线FG的方程为y=-1,斜率为0,
直线FH的斜率为=-,
所以直线FD斜率的取值范围为.
6.A　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,
则F(8,4),G(4,8),A(0,0),H,
设直线AG的方程为y=kx,将G(4,8)的坐标代入,得k=2,故直线AG的方程为y=2x,
设点F关于直线AG的对称点为M(m,n),
则解得故M,
连接MH,与AG交于点W,与圆H交于点N,
则|MN|=|MW|+|WN|=|FW|+|WN|,
所以|MN|即为机器人走过的最短路程,
又|MH|==,
故|MN|=|MH|-=.
7.答案　18x-y-38=0
解析　设B(a,b),则AB的中点M,
把M的坐标代入直线CM的方程,得-+1=0,即a-b-4=0,①
又点B在直线2x+y-2=0上,所以2a+b-2=0,②
由①②得所以B(2,-2),
设点A(-4,2)关于直线2x+y-2=0的对称点为A'(m,n),则A'在直线BC上,(关键点)
则解得
所以A',
所以直线BC的方程为y+2=(x-2),即18x-y-38=0.
8.解析　(1)由题知A,B在直线l的同侧,设点A(2,3)关于直线l:x+y+1=0的对称点为A'(x,y),
则解得即A'(-4,-3).
所以直线A'B的方程为=,即4x-5y+1=0.
当点C为直线4x-5y+1=0与直线x+y+1=0的交点时,|AC|+|BC|取得最小值.
联立解得所以C,
|AC|+|BC|的最小值为|A'B|==.
(2)由题意知直线AB的方程为=,即2x-y-1=0,当点D为直线2x-y-1=0与直线x+y+1=0的交点时,||AD|-|BD||取得最大值,
联立解得所以D(0,-1),
||AD|-|BD||的最大值为|AB|==.
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