专题强化练5　与圆锥曲线有关的轨迹问题--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练5　与圆锥曲线有关的轨迹问题
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025浙江温州十校联合体联考)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),M是平面内的一个动点,则下列说法错误的是(　　)
A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线
D.若·=2,则点M的轨迹是圆
2.(2024重庆巴蜀中学期中)已知M(-2,0),圆C:x2-4x+y2=0,动圆P经过点M且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)
A.x2-=1(x≥1)　　　　B.-y2=1(x≥)
C.x2-=1　　　　D.-y2=1
3.(多选题)(2025湖南永州第一中学期中)已知O为坐标原点,圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内的一个定点,P是圆O上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列判断正确的是(　　)
A.当点A在圆O内(不与圆心O重合)时,点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.点Q的轨迹不可能是圆
D.当点A在圆O外时,点Q的轨迹是双曲线
4.(多选题)(2025河南焦作期中)已知直线l:x=-1,点M(1,0),P是动点.记点P到直线l的距离为d1,点P到点M的距离为d2,则下列说法正确的是(　　)
A.若d2=d1,则点P的轨迹是椭圆
B.若d2=d1,则点P的轨迹是双曲线
C.若d1+d2=2,则点P的轨迹是抛物线
D.若d2-d1=1,则点P的轨迹是双曲线的一部分
5.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于点A,B,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是　　　　　 　　.
6.(2024贵州贵阳期中)圆O:x2+y2=4与x轴的负半轴和正半轴分别交于点A,B,MN是圆O中与x轴垂直但非直径的弦,直线AM与直线BN交于点P,记动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)在平面直角坐标系中,倾斜角确定的直线称为定向直线.是否存在不过点A的定向直线l,满足直线l与轨迹E交于C,D两点时,AC⊥AD 若存在,求直线l的一个方向向量;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　与圆锥曲线有关的轨迹问题
1.B　因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.
对于A,|||-|||=1<|AB|,则点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,故A中说法正确;
对于B,||+||=2=|AB|,则点M的轨迹为线段AB,故B中说法错误;
对于C,||=||,则点M的轨迹是一条直线(线段AB的垂直平分线),故C中说法正确;
对于D,设M(x,y),则·=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,故D中说法正确.
2.C　圆C:x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4,其圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆P的半径为R.
若动圆P与圆C相内切,则圆C在圆P内,
所以|PM|=R,|PC|=R-2,
所以|PM|-|PC|=2<|MC|=4,
所以动圆圆心P的轨迹是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=2,
所以b==,
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≥1);
若动圆P与圆C相外切,则|PM|=R,|PC|=R+2,
所以|PC|-|PM|=2<|MC|=4,
所以动圆圆心P的轨迹是以M(-2,0),C(2,0)为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=2,
所以b==,
所以动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1(x≤-1).
综上所述,动圆圆心P的轨迹方程是x2-=1.
3.ABD　对于A,连接QA,由已知得|QA|=|QP|,则|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r,
又点A在圆内,所以|OA|<|OP|,由椭圆的定义知点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆,A正确;
对于B,当点A在圆上时,点Q与圆心O重合,轨迹为定点,B正确;
对于D,连接QA,由已知得|QA|=|QP|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=|OP|=r,
又点A在圆外,所以|OA|>|OP|,由双曲线的定义知点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线,D正确;
对于C,当点A与点O重合时,线段AP的垂直平分线l与直线OP的交点即为线段OP的中点,
则|OQ|=,即点Q的轨迹是以O为圆心,为半径的圆,C错误.
4.AB　设P(x,y),则d1=|x+1|,d2=.
对于A,由题意得=|x+1|,化简得+=1,该方程表示椭圆,故A正确;
对于B,同上化简得-=1,该方程表示双曲线,故B正确;
对于C,由题意得点P的轨迹是x轴上位于[-1,1]之间的线段,故C错误;
对于D,由题意得-|x+1|=1,即=|x+1|+1,
①当x+1≥0,即x≥-1时,=x+2,化简得y2=6x+3,该方程表示抛物线;
②当x+1<0,即x<-1时,=-x,化简得y2=2x-1<0,没有意义,
由①②得点P的轨迹是抛物线,故D错误.
5.答案　x2+3y2=1(x>0,y>0)
解析　由点Q与点P(x,y)关于y轴对称,得点Q(-x,y),设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,
则=(x,y-b),=(a-x,-y),
∵=2,∴a=x,b=3y,∴x>0,y>0,
又∵=(-a,b)=,=(-x,y),·=1,
∴·(-x)+3y·y=1,
即x2+3y2=1(x>0,y>0).
故点P的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).
6.解析　(1)由题意得A(-2,0),B(2,0),
设M(m,n),m≠0,m≠±2,则N(m,-n),m2+n2=4,
直线PA的方程为y=(x+2),①
直线PB的方程为y=-(x-2),②
①×②,得y2=(x2-4)=(x2-4)=x2-4,
所以E的方程为x2-y2=4(x≠±2).
(2)当定向直线l的倾斜角为90°时,设直线l:x=t(|t|>2),
由解得或
不妨设C(t,),D(t,-),
由(1)知A(-2,0),
由AC⊥AD得·=0,即(t+2,)·(t+2,-)=(t+2)(t+2)-×=0,
解得t=-2,矛盾.
当定向直线l的倾斜角不为90°时,假设存在定向直线l:y=kx+b,
由消去y,得(1-k2)x2-2kbx-b2-4=0,
当1-k2≠0,Δ=4(b2-4k2+4)>0时,
设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
由(1)知A(-2,0),
由AC⊥AD得·=0,即(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+(kx1+b)(kx2+b)=0,
即(1+k2)x1x2+(2+kb)(x1+x2)+b2+4=0,
故(1+k2)+(2+kb)+b2+4=0,
化简得k(b-2k)=0,
所以k=0或b=2k,
当k=0时,经验证,满足条件;
当b=2k时,l:y=kx+2k=k(x+2)过点A,不符合题意.
综上所述,当k=0,即直线l的一个方向向量为(1,0)时,AC⊥AD.
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