专题强化练10　条件概率与全概率的综合应用--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练10　条件概率与全概率的综合应用
　　　　　　　　　　　　　
1.(2024辽宁新高考联盟月考)某市为迎接即将到来的省辩论大赛,准备在全市高中生范围内选择成员,经过第一轮比赛,9人脱颖而出,其中5名女生,4名男生,并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛,在至少有1名参加过去年比赛的学生被选中的条件下,两名去年参赛的学生都被选中的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选题)(2024江西吉安联考)已知随机事件A,B的对立事件分别为,若P(A)>0,P(B)>0,则(　　)
A.P(A|B)+P(|B)=1
B.P(B|A)+P(|A)=P(A)
C.若A,B独立,则P(A|B)=P(A)
D.若A,B互斥,则P(A|B)=P(B|A)
3.(多选题)(2025江苏开学考试)甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.记事件A1为“从甲罐取出的球是红球”,A2为“从甲罐取出的球是白球”,B为“从乙罐取出的球是红球”,则下列结论正确的是(　　)
A.A1,B为互斥事件　　　　B.P(B|A1)=
C.P(A2|B)=　　　　D.P(B)=
4.(多选题)(2024湖南长沙雅礼中学月考)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A,B存在如下关系,P(A|B)=.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6,如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果他第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则下列说法正确的是(　　)
A.他第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.他第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.若他第二天去了甲餐厅,则他第一天去乙餐厅的概率为
D.若他第二天去了乙餐厅,则他第一天去甲餐厅的概率为
5.(2024江苏高邮期初)已知随机事件A,B,且P()=0.6,P(B)=0.5,若P(A|B)=0.6,事件,A+B分别表示A不发生,B不发生,A和B至少有一个发生,则P(A|(A+B))=　　　　,P(()|(A+B))=　　　　.
6.(2024江西宜春月考)作为一种益智游戏,中国象棋具有悠久的历史,中国象棋的背后,体现的是博大精深的中华文化.为了推广中国象棋,某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.除小明以外的其他参赛选手中,50%是一类棋手,25%是二类棋手,其余的是三类棋手.小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3,0.4和0.5.
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
答案与分层梯度式解析
专题强化练10　条件概率与全概率的综合应用
1.C　设事件A=“至少有1名参加过去年比赛的学生被选中”,事件B=“两名去年参赛的学生都被选中”.
由已知得P(AB)=,
P(A)=,
则P(B|A)=,即所求概率为.
2.ACD　易得P(A|B)+P(=1,因此A正确;由A知,P(B|A)+P(|A)=1,因此B错误;因为A,B独立,所以P(AB)=P(A)P(B),则P(A|B)==P(A),因此C正确;因为A,B互斥,所以P(AB)=0,所以P(B|A)==0,所以P(B|A)=P(A|B)=0,因此D正确.
3.BD　对于A,事件A1,B可以同时发生,A错误;
对于B,当A1发生时,乙罐中有4个红球,7个白球,此时B发生的概率为,∴P(B|A1)=,B正确;
对于D,当A2发生时,乙罐中有3个红球,8个白球,此时B发生的概率为,∴P(B|A2)=,
∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=××,D正确;
对于C,P(A2|B)=,C错误.
4.AC　设事件A1为“第一天去甲餐厅”,A2为“第二天去甲餐厅”,B1为“第一天去乙餐厅”,B2为“第二天去乙餐厅”,则P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5,
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,选项A正确;
因为A2与B2互为对立事件,所以P(B2)=1-P(A2)=0.46,选项B不正确;
因为P(A2|B1)==0.5,
所以P(A2)P(B1|A2)=0.3,
所以P(B1|A2)=,选项C正确;
P(A1|B2)=,选项D不正确.
5.答案　
解析　因为P()=0.6,所以P(A)=1-P()=1-0.6=0.4,
因为P(A|B)=0.6,P(B)=0.5,所以P(AB)=P(B)·P(A|B)=0.3,
则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.3=0.6,
因为A+B表示A,B至少有一个发生,所以A (A+B),
同理,表示A,B至少有一个不发生,则有()∩(A+B)=,
则P(A|(A+B))=,
由于P(A+B)=P()+P(AB)=0.6,P(AB)=0.3,故P()=0.3,
故P((.
6.解析　(1)设事件Ai=“小明与第i(i=1,2,3)类棋手比赛”,
则P(A1)=0.5,P(A2)=0.25,P(A3)=0.25,
记事件B=“小明获胜”,则有P(B|A1)=0.3,P(B|A2)=0.4,P(B|A3)=0.5,
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5×0.3+0.25×0.4+0.25×0.5=0.375,
故小明获胜的概率为0.375.
(2)P(A1|B)==0.4,
故若小明获胜,则其对手为一类棋手的概率为0.4.
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