专题强化练12　独立性检验与统计、概率的综合应用--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练12　独立性检验与统计、概率的综合应用
　　　　　　　　　　　　　
1.某乒乓球教练决定检验运动员某项技能水平,随机选取100名运动员进行测试,并根据该项技能的评价指标,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1);
(2)根据频率分布直方图求样本评价指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),若平均数与中位数之差的绝对值小于1,则认为该项技能水平有显著稳定性,否则不认为有显著稳定性,请依据数据给出答案;
(3)在选取的100名运动员中,训练时间不少于1年的(记为A队)与少于1年的(记为B队)人数相同,若规定评价指标不低于80为优秀,低于80为良好,经统计,训练时间不少于1年的有40名运动员评价指标为优秀,请列出2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
2.(2025河南省实验中学开学考试)某学校举办了一次主题为“科技兴国,强国有我”的知识竞赛,并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人,统计他们的竞赛成绩(满分100分,每名参赛学生至少得60分),并将成绩分成4组:[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](单位:分),得到如下的频率分布直方图.
(1)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”,成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”.把随机抽取的参赛学生数据统计如下,将下列2×2列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关;
科技知识达人 非科技知识达人 合计
男生 15
女生
合计
(2)将频率视为概率,从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈,记这3人中是“科技知识达人”的人数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.
附:χ2=(其中n=a+b+c+d).
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
3.(2025黑龙江哈尔滨期中)为了了解高中学生课后自主学习数学的时间x(单位:分钟/天)和他们的数学成绩y(单位:分)的关系,某实验小组做了调查,得到一些数据(表一).
表一:
编号 1 2 3 4 5
学习时间x 30 40 50 60 70
数学成绩y 65 78 85 99 108
(1)请用相关系数说明该组数据中变量y与变量x之间的关系可以用线性回归模型拟合(结果精确到0.001);
(2)求y关于x的线性回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学的时间为100分钟时的数学成绩;
(3)基于上述调查,某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后,抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步进行统计,得到2×2列联表(表二).依据表中数据分析周六在校自主学习与成绩进步是否有关.
表二:
没有进步 有进步 合计
参与周六在校自主学习 35 130 165
未参与周六在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
(参考数据:yi=435,xi的方差为200,yi的方差为230.8,≈1074)
附:r=,
,
χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4.(2024广西桂林模拟)某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”,种植的都是黄桃,黄桃根据品相和质量分为优级果、一级果和残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克,并得到如下数据:“生态农场”的优级果和一级果共95千克,两个农场的残次果共20千克,“生态农场”的优级果有20千克,“亲子农场”的优级果有25千克.(1)根据所提供的数据分析残次果率与农场是否有关;
(2)种植黄桃的成本为5元/千克,且黄桃价格如表:
等级 优级果 一级果 残次果
价格/ (元/千克) 10 8 -0.5 (无害化处理费用)
①以样本的频率作为概率,请分别计算两个农场每千克黄桃的平均利润;
②由于农场主精力有限,决定卖掉其中的一个农场,请你根据以上数据帮他进行决策.(假设两个农场的产量相同)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
答案与分层梯度式解析
专题强化练12　独立性检验与统计、概率的综合应用
1.解析　(1)由题图可知,(0.008+0.016+0.02+a+0.044+0.04+0.028+0.008)×5=1,解得a=0.036.
因为(0.008+0.016+0.02+0.036)×5=0.4<0.5,
(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)×5=0.62>0.5,
所以该项技能的评价指标的中位数在[80,85)内.
设该项技能的评价指标的中位数为m,则(m-80)×0.044+0.4=0.5,解得m≈82.3.
故该项技能的评价指标的中位数约为82.3.
(2)评价指标的平均数为(62.5×0.008+67.5×0.016+72.5×0.02+77.5×0.036+82.5×0.044+87.5×0.04+92.5×0.028+97.5×0.008)×5=81.6,
所以平均数与中位数之差的绝对值为|81.6-82.3|=0.7<1,所以认为该项技能水平有显著稳定性.
(3)评价指标不低于80的频率为(0.044+0.04+0.028+0.008)×5=0.6,
所以评价指标不低于80的运动员有100×0.6=60(名).
2×2列联表如下:
优秀 良好 总计
A队 40 10 50
B队 20 30 50
总计 60 40 100
则χ2=≈16.667>6.635.
所以有99%的把握认为“评价指标是否优秀与训练时间有关”.
2.解析　(1)2×2列联表补充完整如下:
科技知识达人 非科技知识达人 合计
男生 15 35 50
女生 5 45 50
合计 20 80 100
则χ2==6.25>3.841,
所以有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关.
(2)从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率为,
由题意可知ξ~B,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
Eξ=3×.
3.解析　(1)=50,
=87,
r=
=
=≈≈0.996.
故变量y与变量x之间的关系可以用线性回归模型拟合.
(2)=1.07,
=87-1.07×50=33.5,
故y关于x的线性回归方程为=1.07x+33.5,
当x=100时,=140.5,
故预测每天课后自主学习数学的时间为100分钟时的数学成绩为140.5分.
(3)χ2=≈12.222,
因为12.222>10.828,所以有99.9%的把握认为周六在校自主学习与成绩进步有关.
4.解析　(1)由题中相关数据可作出2×2列联表如下:
非残次果 残次果 总计
生态农场 95 5 100
亲子农场 85 15 100
总计 180 20 200
计算得χ2=≈5.556,
因为5.556>3.841,所以有95%的把握认为残次果率与农场有关.
(2)①对于“生态农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频率为=0.2,每千克盈利为3元的频率为=0.75,每千克盈利为-5.5元的频率为=0.05,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.2+3×0.75+(-5.5)×0.05=2.975(元);
对于“亲子农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频率为=0.25,每千克盈利为3元的频率为=0.6,每千克盈利为-5.5元的频率为=0.15,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.25+3×0.6+(-5.5)×0.15=2.225(元).
②因为两个农场的产量相同,且“生态农场”每千克黄桃的平均利润更大,盈利能力更大,所以应该卖掉“亲子农场”.
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