湖北省黄冈市蕲春县实验高级中学2025届高三下学期第五次模拟考试数学试卷（PDF版，含答案）

蕲春实高 2025 届高三第五次模拟考试
数 学
本试卷共 19 题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求.
1
1. 已知集合 = { | ≤ 1} , = { | 2 3 + 2 ≥ 0}，则 ∩ =（ ）
1
A．( ∞, 1) ∪ (2, +∞) B．(1,2) C．( ∞, 1) ∪ [2, +∞) D．( ∞, 1] ∪ [2, +∞)
→
2. 若平面向量→ = ( 1, 1)与 = ( , 2)平行，则4 + 2 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．2√2 D．4√2
3. 给出条件 : Δ 的三边既成等差数列又成等比数列； : Δ 为正三角形；则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知圆( 1)2 + ( 1)2 = 9上的点 到直线3 4 + 7 = 0的距离为1，则满足条件的点 的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 甲、乙、丙、丁、戊5 名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件 A， “甲不站在两端”为
事件B,则P(B|A)=（ ）
1 1 1 3
A. B. C. D.
6 4 2 4
1
6.已知锐角三角形 ABC，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 = √3，√3 + = ．则 的2
取值范围为（ ）
1 1
A. ( , 2) B. ( , +∞) C. (0,2) D. (√3, +∞)
2 2

7.定义余切函数 = ，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，顶点 在底面

内的射影 在正方形 的内部（不在边上），且 = ， 为常数，设侧面 , , , 与
底面 所成的二面角依次为 1, 2, 3, 4,则下列各式为常数的是（ ）
① 1 + 2 ； ② 1 + 3 ； ③ 2 + 3 ； ④ 2 + 4
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
8.已知 ( )是定义在 上的函数且 (1) = 1， ∈ , ( + 5) ≥ ( ) + 5, ( + 1) ≤ ( ) + 1，若
( ) = ( ) + 1 ，则 (2025) =（ ）
A．1 B．2 C．2025 D．2026
二．多选题:本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
1
9.若圆锥曲线 : 2 + 2 = 1的离心率为 ，则实数 与 的关系为 （ ）
2
A．4 = 3 B． = 4 C． 4 = 3 D． = 4
10.已知复数 1, 2 ≠ 0，下列等式恒成立的是（ )
A． 1 2 = 1 2 B． | 1 ± 2| = | 1| ± | 2|
C． | ± |2 = | |2 ± 2| | + | |2
| |
1 2 1 1 2 2 D． |
1| = 1
2 | 2|
11.已知函数 ( ) = | | + | |，下列说法正确的是（ ）
A． ( )是偶函数 B． ( )的最小正周期为
3
C． ( )在(0, )上单调递增 D． = √ + √ 的值域为[1, 24]
4
三．填空题：本题共 3小题，每题 5分，共 15分.

12.已知 ( ) = ( + 2) + 2 为奇函数，则实数 的值是______．
1
13.设点 是抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点，过抛物线上一点 作其准线的垂线，垂足为 ，已知直
线 交 轴于点 (0,2)，且△ 的面积为 8，则该抛物线的方程为
14．将标号为1 10的 10 个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有 种不同的
装法；当两个盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复
上述操作，直至取完，则所有积之和的最小值为 .
三．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2 2 2 2
15.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)与双曲线 = 1有相同的渐近线，且双曲线 的实轴 4 2
长为2.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 + = 0与曲线 交于不同的两点 , ，且线段 的中点在圆 2 + 2 = 20上，求
实数 的值.
1 1
16.已知正项数列{ }的前 n 项和为 ，且满足 = ( + )， 2
1 1 1 1
(1)求 (2)求 + + + + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 + +1
17.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛
活动，并从 中抽取了 200 份试卷进行调查，这 200 份试卷的成绩（卷面共 100 分）频率分布直方
图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N( ， 2) （用样本平均数和标准差 s 分别作为
、 的近似值），已知样本标准差 s 7.36 ，如有 84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均
分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间 80，90 ) 和 90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10 份试卷，再从这 10 份样本
中随机抽测 3份试卷，若已知抽测的 3份试卷来自于不同区间，求抽测 3份试卷有 2份来自区间 80，
90 ) 的概率．
参考数据：若 X ~N( ， 2) ，则 P( X + ) 0.68 ，P( 2 X + 2 ) 0.95 ， P(
3 X + 3 ) 0.99 .
1
18．如图，在四棱锥P ABCD中， ⊥底面 , // , = ,四面体 的体积为
2
4
,△ 的面积为2√2.
3
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 = 且平面PBC ⊥平面 ，证明:BC⊥平面
(3)在（2）的条件下，棱 上是否存在一点 N，使平面 与平面 的夹角为60 ，若存在，求 NC
的长.若不存在，说明理由
19.已知函数 ( ) = 3( ∈ ).
2
(1)当 ≥ 0时，若不等式 ( ) ≥ 2恒成立，求 的取值范围；
2
(2)若 ( )有两个零点 1， 2，且 1 < 2.
（i）求 的取值范围；
（ii）证明：3 1 + 2 > 3 .
蕲春县实验高中 2025 届高三第五次模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求.

1. 1已知集合 A x 1 , B x x2 3x 2 0 ，则 A B （ C ）
x 1
A． ,1 2, B． 1,2 C． ,1 2,
D． ,1 2,
2. 若平面向量 a x 1, 1 与b y,2 平行，则 4x 2 y 的最小值为（ B ）
A．2 B． 4 C． 2 2 D． 4 2
3. 给出条件 p : ABC的三边既成等差数列又成等比数列； q : ABC为正三角形；则 p 是 q的
（ C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 甲、乙、丙、丁、戊5 名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件 A， “甲不站在两端”为事件B,
则P(B|A)= (D)
1 1 1 3
A. 6 B. 4 C. 2 D. 4
5．已知圆 (x 1)2 ( y 1)2 9 上的点 P 到直线3x 4y 7 0的距离为1，则满足条件的点 P 的个数为（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
a c 3 cos B 1 b c b6.已知锐角三角形 ABC，角A 、 B 、C 所对的边分别为 、b 、 ，且 a 3， ．则 的取值范围2 c
为（ A）
A . (1 ,2) B.(1 , ) C .(0,2) D.( 3, )
2 2
7.定义余切函数 cot cos ，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是边长为 a的正方形，顶点 S 在底
sin
面内的射影O在正方形 ABCD的内部（不在边上），且 SO a ， 为常数，设侧面 SAB, SBC, SCD, SDA
与底面 ABCD所成的二面角依次为 1, 2 , 3 , 4 ,则下列各式为常数的是（ B ）
① cot 1 cot 2 ； ② cot 1 cot 3 ； ③ cot 2 cot 3 ； ④ cot 2 cot 4
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
8. 已 知 f x 是 定 义 在 R 上 的 函 数 且 f 1 1， x R, f x 5 f x 5, f x 1 f x 1， 若
g x f x 1 x ，则 g 2025 （ A ）
A．1 B．2 C．2025 D．2026
二．多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 1若圆锥曲线C : mx2 ny2 1的离心率为 ，则实数m与n 的关系为 （ AC ）
2
A． 4m 3n B．m 4n C． 4n 3m D． n 4m
10.已知复数 z1, z2 0 ，下列等式恒成立的是（ AD )
A． z1 z2 z1 z2 B． z1 z2 z1 z2
C z z 2 2 2
z
． 1 2 z1 2 z1 z2 z2 D．
z1 1
z2 z2
11.已知函数 f x sin x cos x ，下列说法正确的是（ ACD ）
A． f x 是偶函数 B． f x 的最小正周期为
C f x 0,
3
． 在 上单调递增 D． y sin x cos x 的值域为 1,24
4
三．填空题：本题共 3小题，每题 5分，共 15分.
12.已知 f x ln m 2 2x 为奇函数，则实数m 的值是____4___．
x 1
13. 2设点F 是抛物线 y 2 px p > 0 的焦点，过抛物线上一点 P 作其准线的垂线，垂足为Q，已知直线FQ交 y 轴于
点 A 0,2 ，且△PQF 的面积为 8，则该抛物线的方程为 y2 8x
14．将标号为1 :10的 10 个小球装入两个不同的盒子，使得每个盒子都有球，有 1022 种不同的装法；当两个
盒子的球数相等时，从两个盒子中不放回地各取一球，记下两球球号之积，重复上述操作，直至取完，则所有
积之和的最小值为 110 .
.
【详解】将标号为 1 10 的 10 个小球装入两个不同的盒子，每个小球都有 2 种放法，所以总共有 210 1024种.排
除 10 个小球都放入同一个盒子的情况，有 2 种.所以，使得每个盒子都有球，有1024 2 1022 种不同的装法.
当两个盒子的球数相等时，每个盒子有 5 个球，设两个盒子中的球号分别为 a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 和b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 ，且令
a1 < a2 < a3 < a4 < a5 ，b1 < b2 < b3 < b4 < b5，
根据排序不等式可知，反序和最小.
所以，所有积之和的最小值为 a1b5 a2b4 a3b3 a4b2 a5b1 ，即1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 110 .
故答案为：1022；110.
三．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2 2 2 2
15. 已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)与双曲线 4 = 1有相同的渐近线，且双曲线 的实轴长为2. 2
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 + = 0与曲线 交于不同的两点 , ，且线段 的中点在圆 2 + 2 = 20上，求实数 的值.
(1) 2
2
【答案】 = 1 (2) ± 2
2
2 2 2 2
【详解】（1）解：因为双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)与双曲线 4 = 1有相同的渐近线， 2
2
2 2 2
可设双曲线 的方程为 2 = ( > 0)

，即2 = 1，4 4
1
又因为双曲线 的实轴长为2，即2 = 2，即 = 1，可得2 = 1，解得 = 2，
2
所以双曲线 的方程为 2 = 1.
2
+ = 0
（2）解：联立方程组 2 2 = 1 ，整理得 2 +4 + 2 2 2 = 0，
2
设 ( 1, 1), ( 2 22, 2)，则Δ = (4 ) 4(2 2) > 0，且 1 + 2 = 4 ，
所以 1 + 2 = 1 + 2 +2 = 2 ，
1+ 2
可得 2 = 2 ,
1+ 2 = ，即 的中点坐标为( 2 , )，
2
因为段 的中点在圆 2 + 2 = 20上，可得( 2 )2 + ( )2 = 20，解得 =± 2，
所以实数 的值为 ± 2.
1 1 Sn an
16. a 已知正项数列 n 的前 n 项和为 Sn 2 a，且满足 n ，
1 1 1 1

(1)求 Sn (2)求 S1 S2 S2 S3 S3 S4 Sn Sn 1
【答案】(1) Sn n ；(2) n 1 1
.

S a 1 a 1


【详解】（1）根据题意可得 an > 0
1 1 2 1 a
，当 n 1时， 1 ，解得 a1 1，
1 Sn Sn S
1
a S S 2 n 1

由 n n n 1 n 2 S S， 代入得 n n 1 ，整理后得
S 1n Sn 1 S S S 2 S 2 1 S 2n n 1 ，即 n n 1 ，根据等差数列的定义可知，数列 n
2
是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则 Sn 1 (n 1) 1 n，\ Sn n
1 1 1 1

（2）由(1)可知 Sn n ， S1 S2 S2 S3 S3 S4 Sn Sn 1
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 n n 1 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 1 1，
1 1 1 1
n 1 1
\ S1 S2 S2 S3 S3 S4 Sn Sn 1
17.为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽
取了 200 份试卷进行调查，这 200 份试卷的成绩（卷面共 100 分）频率分布直方图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N ， 2 （用样本平均数和标准差 s 分别作为 、 的近似
值），已知样本标准差 s 7.36 ，如有 84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多
少？（结果取整数）
(3)从得分区间 80，90 和 90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10 份试卷，再从这 10 份样本中随机抽测 3 份
试卷，若已知抽测的 3 份试卷来自于不同区间，求抽测 3 份试卷有 2 份来自区间 80，90 的概率．
参考数据：若 X ~N ， 2 ，则 P < X 0.68 ，P 2 < X 2 0.95 ， P 3 < X 3
0.99 .
【解析】（1）由频率分布直方图可知，
平均分 (65 0.01 75 0.04 85 0.035 95 0.015) 10 80.5；
2 2（ ）由（1）可知 X ~ N 80.5,7.36
设学校期望的平均分约为 m，则P(X m) 0.84，
因为P( < X o) 0.68，P( < X ) 0.34，
所以P(X > ) 0.84，即P X > 73.14 0.84，
所以学校期望的平均分约为 73 分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在 80,90 和 90,100 的频率分别为 0.35 和 0.15，
0.35
那么按照分层抽样，抽取 10 人，其中分数在 80,90 ，应抽取10 7 人，
0.35 0.15
分数在 90,100 应抽取10 0.15 3人，
0.35 0.15
记事件A ：抽测的 3 份试卷来自于不同区间；事件 B:取出的试卷有 2 份来自区间 80，90 ，
C3 3 3 2 1P A 10 C7 C3 7 P AB C7C3 21则 3 ， 3 ，C10 10 C10 40
21
P B | A P AB 40 3则 7 ．P(A) 4
10
3
所以抽测 3 份试卷有 2 份来自区间 80，90 的概率为 .
4
1 4
18．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ^底面 ABCD , BC / / AD , BC AD , 四面体P ABC 的体积为 ,VPBC 的
2 3
面积为 2 2 .
(1)求点D到平面PBC 的距离；
(2)若 AP AB ，平面PBC ^平面 ABP ，证明:BC⊥平面 ABP
(3)在（2）的条件下，在棱PC 上是否存在一点 N，使平面 ABN 与平面BNC 夹角为60o时，若存在，求 NC 的长.若
不存在，说明理由
4 1 1 4
（1）设点A 到平面PBC 的距离为 h ，由四面体P ABC 的体积为 ,VPBC 的面积为 2 2 ，得 SVPBC h 2 2 h ，3 3 3 3
解得h 2 ，
而 AD / /BC, BC 平面PBC, AD 平面PBC ，则 AD / / 平面PBC ，
所以点D到平面PBC 的距离为 2 .
（2）取 PB的中点F ，连接 AF ，由 AP AB ，得 AF ^ PB，由平面PBC ^平面 ABP ，
平面PBC 平面 ABP PB, AF 平面 ABP ，得 AF ^平面PBC ，即 AF h 2 ，
则 AP AB 2, BP 2 2 ，由 AF ^平面PBC, BC 平面PBC ，得 AF ^ BC ，
又PA ^平面 ABCD, BC 平面 ABCD，则PA ^ BC ，而PA AF A, PA, AF 平面 ABP ，
因此BC ^平面 ABP ，
（3）存在： NC 3
由（2）知，又 AB, PB 平面 ABP ，则 AB ^ BC, PB ^ BC ，
而△PBC 的面积为 2 2 ，BP 2 2 ，则BC 2, AD 4，PC 2 3 ，
由 AD / /BC ，得 AD ^ AB，以A 为原点，直线 AB, AD, AP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
uuur uuur
则 A 0,0,0 , B 2,0,0 ,C 2,2,0 , P 0,0,2 ，设CN CP 0 1 ，
uuur uuur uuur
则 N 2 2 , 2 2 , 2 , BC 0,2,0 , PB 2,0, 2 , AB 2,0,0 ，
uuur r
AN 2 2 , 2 2 , 2 ，设平面BNC 的法向量为 n x1, y1, z1 ，
uuur
PB n
r
2x1 2z1 0 r r
则 uuur r ，取 z1 1，得 n (1,0,1) ，设平面 ABN 的法向量为m (x2 , y2 , z2 )，
BC n 2y1 0
uuur
AB m
r
2x 0 r
则 uuur 2r ，取 y2 2 ，得m 0,2 , 2 2 ，
AN m (2 2 )x2 (2 2 )y2 2 z2 0
cosámr , nr 2 2
2 ，由平面 ABN 与平面BNC 的夹角为60
o，
2 2 2 2 1
1 1
得 2 2 ，解得
1
，即 N 为PC 的中点，
2 2 2 1 2
所以 NC 3 .
x
19.已知函数 f x e ax 3 a R .
2
(1)当 x 0 x时，若不等式 f x 2 恒成立，求 a的取值范围；
2
(2)若 f x 有两个零点x1， x2，且 x1 < x2 .
（i）求 a的取值范围；
（ii）证明：3ex1 ex2 > 3a .
2 2
（1）设 p x f x x 2 x ex 1 ax x 0 ，
2 2
则 p x ex a x x 0 ，令 q x p x ，则 q x ex 1 0，
所以 p x 在 0, 上单调递增，从而 p x p 0 1 a .
①当1 a 0，即a 1时， p x 0，则 p x 在 0, 上单调递增，从而 p x p 0 0，符合题意；
② 当1 a < 0，即 a >1时， p 0 < 0，则一定存在 x0 ，使得当0 < x < x0 时， p x < 0，则 p x 在 0, x0 上单调递
减，从而 p x < p 0 0，合题意．
综上所述， a的取值范围为 ,1 ．
x
（2）（i）由题意知， f x 的定义域为R, f x e a．
当 a 0时， f x > 0，所以 f x 在R 上单调递增，
从而 f x 在R 上至多有一个零点．7 分当 a > 0时，令 f x 0，得 x lna．
当 x < lna时， f x < 0, f x 在 , lna 上单调递减；
当 x > lna时， f x > 0, f x 在 lna, 上单调递增．
所以 x lna是 f x 的极小值点，也是最小值点，
即 f (x)min f lna a 3 alna． g a a 3 alna(a > 0)，则 g a lna．
所以当0 < a <1时， g a > 0, g a 在 0,1 上单调递增；
当 a >1时， g a < 0, g a 在 1, 上单调递减，
所以 a 1是 g a 的极大值点，也是 g a 的最大值点．
即 g(a)max g 1 2 < 0，从而 f lna < 0．
x2
一方面，由（1）可知，取 a 1，当 x 0 时， ex 1 x 1 x，即 e x 1 x ，
2
即 x ln 1 x ，易知当 x > 1时， x ln 1 x 也成立．
1 1 1 3
所以当 x > 0时， x 1 lnx ．所以 ln 1，即 lnx 1 1 ，从而 lna 1 > ．
x x x a a
f 3
3
3 3 3
因为 e a a 3 e a > 0

，所以 f x 在 , lna 内有一个零点x .
a a a 1
2
另一方面，由（1）知， ex 1 x x x 0 ．
2
又 ln a < a < 2a 3 ln a a 1< a < 2a 3 ，
2
所以 f 2a 3 e2a 3 a 2a (2a 3) 3 3 >1 2a 3 a 2a 3 3
2
5a 11 > 0，
2
所以 f x 在区间 lna, 2a 3 内有一个零点 x2．
综上所述， a的取值范围是 0, ．
（ii x）证明：由 f x1 f x 0，得 e 12 ax1 3,ex2 ax2 3，
x2 x1
x x
所以 e 2 e 1 a x2 x1 ，即 a
e e
．
x2 x1
3 ex2 ex1
要证3ex1 ex2 > 3a 成立，只需证3ex1 ex2 > ，
x2 x1
3ex1 ex2 3 ex2 x1 3 3 t
即证 x x > ，即证 x x > ．令 x x t(t > 0)
e 3 3
，则 > ．e 2 e 1 x x e 2 12 1 1 x2 x
2 1
1 et 1 t
et t 3
即证 tet 3t > 3et 3 ，即证 3 > 0 * ．
t 1
t
e t 3
et (t 1)2
设 h t 3(t > 0)，则 h t 0，
t 1 (t 1)2
所以 h t 在区间 0, 上单调递增，所以 h t > h 0 0，即 * 式成立．
所以不等式3ex1 ex2 > 3a 成立.