华师大版八年级数学上册 11.5.1提公因式法 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
运用前面所学的知识填空：
(1) m(a + b + c) = ；
(2) (x + 1)(x - 1) = ；
(3) (a + b)2 = .
ma + mb + mc
x2 - 1
a2 + 2ab + b2
把下列多项式写成乘积的形式
都是多项式化为几个整式的积的形式
(1) ma + mb + mc = ( )( )
(2) x2 - 1 = ( )( )
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2
m a + b + c
x + 1 x - 1
a + b
因式分解
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.
概念学习
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
这个多项式有什么特点？
因式分解之基本方法 — 提公因式法
找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：
最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
例1 如何确定一个多项式的公因式？
典例精析
知识要点
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a + b + c )
pa+ pb +pc
p
=
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
典例精析
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b + c) - 3(b + c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
= 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc).
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是 2a2b + 3b2c，
它还有公因式是 b.
（2）2a(b + c) - 3(b + c)
= (b + c)(2a - 3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算去检验.
因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
针对训练
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
小明的解法有误吗？
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
错误
注意：某项提出莫漏 1.
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
正确解：原式 = 3x · x - 6y · x + 1 · x
= x(3x - 6y + 1)
小亮的解法有误吗？
提出负号时括号里的项没变号
错误
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
小华的解法有误吗？
1. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn =_____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 =_____________；
(3) p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) =______________；
(4) -x3y3 - x2y2 - xy =_______________；
2mn(4m + 1)
3xy(4z - 3xy)
(a2 + b2)(p - q)
-xy(x2y2 + xy + 1)
(5) (x - y)2 + y(y - x) =______________.
(y - x)(2y - x)
2.分解因式：(x - y)2 + y(y - x).
解法1：(x - y)2 + y(y - x)
= (x - y)2 - y(x - y)
= (x - y)(x - y - y)
= (x - y)(x - 2y).
解法2：(x - y)2 + y(y - x)
= (y - x)2 - y(y - x)
= (y - x)(y - x + y)
= (y - x)(2y - x).
3. 简便计算：
(1) 1.992 + 1.99 × 0.01；
(2) 20222 + 2022 - 20232；
(3) (- 2)101 + (- 2)100.
(2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232
= 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023)
= - 2023．
解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98.
(3)原式= (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.
解：(1) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
(2)原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)]
= (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1) = 2(2x + 1).
4. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值；
(2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = .
将 x = 代入上式，得
原式 = 4.
因式
分解
定义
am + bm + mc = m(a + b + c)
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号