11.3.1两数和乘以这两数的差 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x ＋ 5)
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把
这事和邻居们－讲，大家都说：
“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你觉得张老汉是否吃亏了
情境导入
5米
5米
a米
原来
a2
(a - 5)
(a + 5)米
现在
(a + 5)(a - 5)
面积变了吗？
平方差公式
① (x + 1)( x - 1)；
② (m + 2)( m - 2)；
③ (2m + 1)(2m - 1)；
④ (5y + z)(5y - z).
算一算：看谁算得又快又准.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4
③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1
④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2
① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
= x2 - 12
= m2 - 22
= (2m)2 - 12
= (5y)2 - z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
(a + b)(a b) = a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a – b) (a + b) = a2 b2，
(b + a)( b + a ) = a2 b2.
知识要点
平方差公式：
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式.有时也简称为平方差公式.
几 何 解 释
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
(a+b)(a-b)
=
－
(a + b)(a - b)
a2
b2
b
a
a
b
b
b2
a2
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
适当交换
合理加括号
练一练：口答下列各题：
（l）(-a + b)(a + b) = _________.
（2）(a - b )(b + a) = __________.
（3）(-a - b)(-a + b) = ________.
（4）(a - b)(-a - b) = _________.
a2 - b2
a2 - b2
b2 - a2
b2 - a2
例1 填一填：
典例精析
(1 + x)(1 - x)
( - 3 + a)( - 3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)( - 1 + a)
a
b
a2 - b2
1
x
-3
a
12 - x2
( - 3)2 - a2
a
1
a2 - 12
0.3x
1
( 0.3x)2 - 12
(a - b)(a + b)
例2 计算 2018×2022.
(2020 - 2)(2020 + 2)
= 4080400 - 4
= 4080396.
解：
2018×2022 =
= 20202 - 22
例3 街心花园有一块边长为 a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长 2 米，而东西向要缩短 2 米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解:
答：改造后的长方形草坪的面积是 (a2 - 4) 平方米.
a
a
2
2
1. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 3)(x - 3) = x2 - 3；
(2) ( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a2 - 4.
不对
改正：x2 - 9
不对
改正方法①：
原式 = - [(3a + 2)(3a - 2)]
= - (9a2 - 4)
= - 9a2 + 4.
改正方法②：
原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a)
= ( - 2)2 - (3a)2
= 4 - 9a2.
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
解：原式 = (2a + 3)(2a - 3)
= (2a)2 - 32
= 4a2 - 9.
= a2 - 9b2.
解：原式 = a2 - (3b)2
(2) (3 + 2a)(-3 + 2a)；
2. 利用平方差公式计算：
(3) ( - 2x2 - y)( - 2x2 + y)；
解：原式 = ( - 2x2 )2 - y2
= 4x4 - y2.
(4) ( - 5 + 6x)( - 6x - 5).
解：原式 = ( - 5 + 6x)( - 5 - 6x)
= ( - 5)2 - (6x)2
= 25 - 36x2.
= (50 + 1)(50 - 1)
= 502 - 12
= 2500 - 1
= 2499.
= (9x2 - 16)
- (6x2 + 5x - 6)
= 3x2 - 5x - 10.
（5）51×49；
（6）(3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3) (3x - 2).
3.计算： 20212 - 2020×2022.
解：
20212 - 2020×2022
= 20212 - (2021 - 1)(2021 + 1)
= 20212
- (20212 - 12 )
= 20212
- 20212 + 12
= 1.
4.利用平方差公式计算:
（1）(a - 2)(a + 2)(a2 + 4)
解：原式 = (a2 - 4)(a2 + 4)
=a4 - 16.
（2）(x - y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4).
解：原式 = (x2 - y2)(x2 + y2)(x4 + y4)
= (x4 - y4)(x4 + y4)
= x8 - y8.
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用