11.3.2两数和（差）的平方 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = .
p2 + 2p + 1
(2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = .
m2 + 4m + 4
(3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = .
p2－2p + 1
(4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = .
m2－4m + 4
根据上面的规律，你能直接写出下面式子的答案吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
两数和（或差）平方公式
知识要点
两数和（或差）平方公式
(a + b)2 = ；
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
文字叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍. 这两个公式叫做两数和(或差)平方公式(也称完全平方公式).
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式.
a2
b2
ab
ab
a
b
a + b
a
b
a2
ab
ab
(a + b)2
=
+
2ab
+
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2
b2
a + b
b2
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a2
b2
ab
ab
a
b
a + b
a
b
a2
ab
ab
b2
(a + b)2
=
+
2ab
+
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2
b2
a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
y2
(1) ( y + )2；
= y2
+ y
+
+
+ 2 y
解：( y + )2 =
典例精析
例1 运用两数和（或差）平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
= 4x2
(2) (2x－3)2.
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－ 12x
+ 9.
试一试
推导两数差的平方公式 (a - b)2
注意到 a - b = a + (- b)，也可以利用两数和的平方公式来计算
这样就得到了两数差的平方公式：
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 2 倍.
例2 计算：
（1）(3x - 2y)2；
解：(1)(3x - 2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y + (2y)2
= 9x2 - 12xy + 4y2.
例3 运用两数和（或差）平方公式计算：
解： (4m + n)2 =
= 16m2
（1）(4m + n)2；
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
(4m)2
+ 2 (4m) n
+ n2
+ 8mn
+ n2.
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
（2）(y - )2.
= y2
- y
+
解：( y - )2 =
+
- 2 · y ·
思考：
(a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗
(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗
(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗
为什么
(-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2.
(b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等.
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
(1) 1022；
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
(2) 992.
解：原式 = (100－1)2
= 10000 － 200 + 1
= 9801.
1.运用两数和（或差）平方公式计算：
解题小结：利用两数和(或差)平方公式计算:
1.先选择公式；
3.化简.
2.准确代入公式；
2. 运用乘法公式计算:
（1）(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)；
原式 = [x + (2y - 3)][x - (2y - 3)]
= x2 - (2y - 3)2
= x2 - (4y2 - 12y + 9)
= x2 - 4y2 + 12y - 9.
解：
（2）(a + b + c)2
原式 = [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
解：
解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照两数和(或差)平方公式进行计算.
(1) (6a + 5b)2；
= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x - 3y)2 ；
= 16x2 - 24xy + 9y2.
(3) (2m - 1)2 ；
= 4m2 - 4m + 1.
(4)( - 2m - 1)2 .
= 4m2 + 4m + 1.
3.运用两数和（或差）平方公式计算：
4. 若 a + b = 5，ab = - 6，求 a2 + b2，a2 - ab + b2.
5. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x - y.
解：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 52 - 2×(-6) = 37，
a2 - ab + b2 = a2 + b2 - ab = 37 - (-6) = 43.
解：因为 x + y = 4，所以 (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16 ①.
又 x2 + y2 = 8 ②，将 ① - ② 得 2xy = 8 ③.
②－③ 得 x2 + y2 - 2xy = 0，即 (x - y)2 = 0.
解题时常用结论：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab；
4ab = (a＋b)2 - (a - b)2.
故 x - y = 0.
两数和(或差)平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3. 常用公式变形式：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab；
4ab = (a＋b)2 - (a - b)2