12.5.2线段垂直平分线（1） 课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.5.2线段垂直平分线（1） 课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-06 17:42:38 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的判定定理
知1－讲
知识点
线段垂直平分线的性质定理
1
1.性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 .
条件： 点在线段的垂直平分线上 .
结论： 这个点到线段两端的距离相等 .
知1－讲
特别解读
用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法 .
2. 几何语言 如图 13.5-2，
∵ AD ⊥ BC， BD=CD，∴ AB=AC.
知1－讲
知1－练
如图 13.5-3，在△ ABC 中， AB=5 cm， BC 的垂直平分线分别交 AB、 BC 于点 D、 E，△ ACD 的周长为 8 cm. 求线段 AC 的长 .
例1
知1－练
解：∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD.
∴ △ ACD 的周长为 AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=
8 cm.
∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化 .
知1－练
1-1.如图， AB 所在直线是CD的垂直平分线，若 AC=2.3 cm， BD=1.6 cm，则四边形 ACBD的周长是 __________.
7.8 cm
知2－讲
知识点
线段垂直平分线的判定定理
2
1. 判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 .
条件： 点到线段两端的距离相等 .
结论： 点在线段的垂直平分线上 .
知2－讲
2. 几何语言 如图 13.5-4，∵ AB=AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 .
知2－讲
特别解读
1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上的两种思路：一是作垂直，证平分；二是取中点证垂直 .
2 . 证明线段的垂直平分线，需证明两个点在垂直平分线上.
知2－练
如图 13.5-5， AD 为∠ BAC 的平分线，交 BC 于点D， AE=AF，请判断线段 AD 所在的直线是否为线段 EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由 .
例2
知2－练
解题秘方：紧扣线段垂直平分线的判定证明直线 AD 上的点 A 和点 D 到线段 EF 的两端的距离相等即可 .
知2－练
知2－练
∴△ AED ≌△ AFD( S.A.S. ) . ∴ DE=DF.
∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上 .
∵ AE=AF，∴ 点 A 在线段 EF 的垂直平分线上 .
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
切忌只证明一个点在直线上，就说过
该点的直线是线段的垂直平分线 .
知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC，点 E 是 AC 上一点 . 求证：(1) BE=DE；
(2)∠ ABE= ∠ ADE.
知2－练
证明：连结BD.(1)∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
又∵BC＝DC,
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线．
∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.
知2－练
(2)易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的轴对称图形，∴∠ABE＝∠ADE.
知2－练
如图 13.5-6， OE、 OF 所在直线分别是△ ABC 中AB、 AC 边的垂直平分线，∠ OBC、∠ OCB 的平分线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予证明 .
例3
知2－练
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点” “三个内角的平分线也相交于一点” 这两条性质进行证明 .
三角形三个内角的平分线交于一点，这条性质下一节学习 .
知2－练
解： OI ⊥ BC. 证明如下：如图 13.5-6，
延长 OI 交 BC 于点 M.
∵ OE 垂直平分 AB， OF 垂直平分 AC，
∴ O 点在 BC 的垂直平分线上 . ∴ OB=OC.
∵ BI 平分∠ OBC， CI 平分∠ OCB，
∴ OI 平分∠ BOC，即∠ BOI= ∠ COI.
知2－练
知2－练
3-1.锐角三角形 ABC 内有一点P，满足PA=PB=PC，则点 P 是△ ABC( )
A. 三条角平分线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
D
知2－练
3-2.如图，点P为△ ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=20°，∠PCB=30° .
(1)求∠ PAB 的度数；
(2)直接写出 ∠ APB与 ∠ ACB 的数量关系 .
知2－练
(2) ∠APB＝2∠ACB
线段垂直平分线
拓展
三角形
三边的
垂直平
分线
线段垂直平分线
性质
判定
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的判定定理
知1－讲
知识点
线段垂直平分线的性质定理
1
1.性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 .
条件： 点在线段的垂直平分线上 .
结论： 这个点到线段两端的距离相等 .
知1－讲
特别解读
用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法 .
2. 几何语言 如图 13.5-2，
∵ AD ⊥ BC， BD=CD，∴ AB=AC.
知1－讲
知1－练
如图 13.5-3，在△ ABC 中， AB=5 cm， BC 的垂直平分线分别交 AB、 BC 于点 D、 E，△ ACD 的周长为 8 cm. 求线段 AC 的长 .
例1
知1－练
解：∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD.
∴ △ ACD 的周长为 AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=
8 cm.
∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.
解题秘方：利用线段垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化 .
知1－练
1-1.如图， AB 所在直线是CD的垂直平分线，若 AC=2.3 cm， BD=1.6 cm，则四边形 ACBD的周长是 __________.
7.8 cm
知2－讲
知识点
线段垂直平分线的判定定理
2
1. 判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 .
条件： 点到线段两端的距离相等 .
结论： 点在线段的垂直平分线上 .
知2－讲
2. 几何语言 如图 13.5-4，∵ AB=AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 .
知2－讲
特别解读
1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上的两种思路：一是作垂直，证平分；二是取中点证垂直 .
2 . 证明线段的垂直平分线，需证明两个点在垂直平分线上.
知2－练
如图 13.5-5， AD 为∠ BAC 的平分线，交 BC 于点D， AE=AF，请判断线段 AD 所在的直线是否为线段 EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由 .
例2
知2－练
解题秘方：紧扣线段垂直平分线的判定证明直线 AD 上的点 A 和点 D 到线段 EF 的两端的距离相等即可 .
知2－练
知2－练
∴△ AED ≌△ AFD( S.A.S. ) . ∴ DE=DF.
∴ 点 D 在线段 EF 的垂直平分线上 .
∵ AE=AF，∴ 点 A 在线段 EF 的垂直平分线上 .
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
切忌只证明一个点在直线上，就说过
该点的直线是线段的垂直平分线 .
知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC，点 E 是 AC 上一点 . 求证：(1) BE=DE；
(2)∠ ABE= ∠ ADE.
知2－练
证明：连结BD.(1)∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
又∵BC＝DC,
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线．
∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.
知2－练
(2)易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的轴对称图形，∴∠ABE＝∠ADE.
知2－练
如图 13.5-6， OE、 OF 所在直线分别是△ ABC 中AB、 AC 边的垂直平分线，∠ OBC、∠ OCB 的平分线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予证明 .
例3
知2－练
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点” “三个内角的平分线也相交于一点” 这两条性质进行证明 .
三角形三个内角的平分线交于一点，这条性质下一节学习 .
知2－练
解： OI ⊥ BC. 证明如下：如图 13.5-6，
延长 OI 交 BC 于点 M.
∵ OE 垂直平分 AB， OF 垂直平分 AC，
∴ O 点在 BC 的垂直平分线上 . ∴ OB=OC.
∵ BI 平分∠ OBC， CI 平分∠ OCB，
∴ OI 平分∠ BOC，即∠ BOI= ∠ COI.
知2－练
知2－练
3-1.锐角三角形 ABC 内有一点P，满足PA=PB=PC，则点 P 是△ ABC( )
A. 三条角平分线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
D
知2－练
3-2.如图，点P为△ ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=20°，∠PCB=30° .
(1)求∠ PAB 的度数；
(2)直接写出 ∠ APB与 ∠ ACB 的数量关系 .
知2－练
(2) ∠APB＝2∠ACB
线段垂直平分线
拓展
三角形
三边的
垂直平
分线
线段垂直平分线
性质
判定