12.5.3角平分线（2） 课件（共15张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.5.3角平分线（2） 课件（共15张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 384.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-06 17:50:25 | ||
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文档简介
(共15张PPT)
在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
A
B
C
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？
如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的性质定理
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，
∴ ∠DOP =∠BOP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，
∴ △OPD≌△OPE ( A. A. S. ). ∴PD＝PE.
D
P
A
C
B
E
O
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言描述：
∵ OC 平分∠AOB，
且 PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD = PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线性质定理的逆定理
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP =∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP（公共边），
PD = PE（已知），
证明：
作射线 OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( H. L. ).
(全等三角形的对应角相等).
∴ ∠AOP =∠BOP
B
A
D
O
P
E
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
做一做
怎样证明这个结论呢
A
B
C
P
N
M
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AO 是∠BAC 的平分线
BO 是∠ABC 的平分线
OI = OH
OG = OI
OH = OG
点 O 在∠BCA 的平分线上
A
B
C
O
F
H
D
E
I
G
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上.
A
B
C
P
N
M
典例精析
证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
垂足分别为 D、E、F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PF.
∴ 点 P 在∠A 的平分线上，
即点 P 到 AB、BC、CA 三边的
距离相等.
A
B
C
P
E
D
F
M
N
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
E
B
D
F
A
C
G
2. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，
DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么线段 BE 是∠ABC 的 ，
AE + DE = cm.
A
B
E
D
C
60
BF
角平分线
6
3. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF. 求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB，
∠C＝90°，∴ CD＝DE.
∵ 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
CD = ED，DF = DB，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB ( H. L. ).
∴ CF = EB.
C
F
A
E
D
B
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
A
B
C
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？
如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的性质定理
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，
∴ ∠DOP =∠BOP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，
∴ △OPD≌△OPE ( A. A. S. ). ∴PD＝PE.
D
P
A
C
B
E
O
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言描述：
∵ OC 平分∠AOB，
且 PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD = PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线性质定理的逆定理
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP =∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP（公共边），
PD = PE（已知），
证明：
作射线 OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( H. L. ).
(全等三角形的对应角相等).
∴ ∠AOP =∠BOP
B
A
D
O
P
E
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
做一做
怎样证明这个结论呢
A
B
C
P
N
M
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AO 是∠BAC 的平分线
BO 是∠ABC 的平分线
OI = OH
OG = OI
OH = OG
点 O 在∠BCA 的平分线上
A
B
C
O
F
H
D
E
I
G
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上.
A
B
C
P
N
M
典例精析
证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
垂足分别为 D、E、F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PF.
∴ 点 P 在∠A 的平分线上，
即点 P 到 AB、BC、CA 三边的
距离相等.
A
B
C
P
E
D
F
M
N
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
E
B
D
F
A
C
G
2. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，
DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么线段 BE 是∠ABC 的 ，
AE + DE = cm.
A
B
E
D
C
60
BF
角平分线
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3. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF. 求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB，
∠C＝90°，∴ CD＝DE.
∵ 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
CD = ED，DF = DB，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB ( H. L. ).
∴ CF = EB.
C
F
A
E
D
B
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上