12.5.3角平分线（1） 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
三角形的角平分线的性质(拓展点)
知1－讲
知识点
角平分线的性质定理
1
1. 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 .
角平分线的性质的两个必要条件：
(1)点在角平分线上；
(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 . 两者缺一不可 .
知1－讲
特别提醒
1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).
2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
2. 几何语言 如图 13.5-13，∵ OP 平分∠ AOB，
PD ⊥ OA 于点 D， PE ⊥ OB 于点 E，
∴ PD=PE.
知1－讲
知1－练
如图 13.5-14， OD 平分∠ EOF，在 OE、 OF 上分别取点 A、 B， 使 OA=OB， P 为 OD 上 一 点， PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为 M、 N.
求证： PM=PN.
例1
知1－练
解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质的模型，利用角平分线的性质证线段相等 .
知1－练
知1－练
1-1. 如图， AD是∠ BAC的平分线， DE ⊥ AB，交 AB 的延长线于点 E，DF ⊥ AC 于点 F， 且DB=DC. 求证： BE=CF.
知1－练
知1－练
如图 13.5-15，在△ ABC 中，∠ C=90° ， AC=BC，AD 平分 ∠ CAB， 交 BC 于 点 D， DE ⊥ AB， 垂足为 E. 若AB=10 cm，求△ DEB 的周长 .
例2
知1－练
解题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB 的周长转化为线段 AB 的长 .
知1－练
知1－练
解法提醒：求三角形的周长时，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量替换，而角平分线的性质能起到等量替换的作用，使三角形的周长等于一条线段长，从而整体求出 .
知1－练
2-1.如图， 在 △ ABC中， ∠ C=90 ° ， AD 平分 ∠ BAC， DE ⊥ AB于点 E.
有下列结论：① CD=ED；② AC+BE=AB；
③∠ BDE= ∠ BAC；④ DA 平分∠ CDE.
其中正确的结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
知1－练
如图 13.5-16， BD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AB于点 E， S △ ABC=90 cm2， AB=18 cm， BC=12 cm，求 DE 的长 .
例3
知1－练
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解 .
知1－练
3-1. [ 中考·北京 ] 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC， DE ⊥ AB. 若AC=2， DE=1，则
S△ ACD=____________.
1
知2－讲
知识点
角平分线的判定定理
2
1.判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 .
知2－讲
2. 几何语言 如图 13.5-17 所示 .
∵ 点 P 为 ∠ AOB 内 一 点， PD ⊥ OA，
PE ⊥ OB，垂足分别为 D、 E，且 PD=PE，
∴点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上 .
知2－讲
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部 .
2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).
3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷 .
知2－讲
知2－练
如图 13.5-18， BE=CF， BF ⊥ AC 于点 F， CE ⊥ AB于点 E， BF 和 CE 交于点 D.
求证： AD 平分∠ BAC.
例4
知2－练
解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明 .
知2－练
知2－练
方法点拨：证明角平分线的方法思路：
1. 从数量上证明被角平分线分成的两个角相等 .
2. 从形状上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想 .
知2－练
4-1.如图，在△ ABC中，BD ⊥ AC 于 D， CE ⊥AB 于 E， 且 BO=CO.
求证： AO 平分∠ BAC.
知2－练
知2－练
4-2.如图， D、 E、 F 分别是 △ ABC 三边上的点， CE=BF，△ DCE 和△ DBF 的面积相等 .
求证： AD 平分∠ BAC.
知2－练
知3－讲
知识点
三角形的角平分线的性质（拓展点）
3
1.性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 . 这一点叫三角形的内心 .
知3－讲
2. 几何语言 如图 13.5-19， 在 △ ABC 中，
AD、 BM、 CN 分别是 ∠ BAC、 ∠ ABC、
∠ ACB 的平分线， AD、 BM、 CN 交于一点 O，
且点 O 到三边 BC、 AB、 AC 的距离( OE、
OG、 OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
知3－讲
要点解读
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等 . 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 .
知3－练
如图 13.5-20， 在 △ ABC 中， 点 O 是 ∠ ABC，∠ ACB 的平分线的交点， AB+BC+AC=20. 过 O 作 OD ⊥ BC于点 D，且 OD=3，求△ ABC 的面积 .
例5
知3－练
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等解题 .
知3－练
知3－练
5-1.如图 . 有一块三角形的空地 ABC，其三边长 AB、 AC、 BC 分别为30m、 40 m、 50 m. 现要把它分成面积比为 3∶ 4∶ 5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由 .
知3－练
解：方案如图所示．(方案不唯一)
分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连结AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地．
理由：易知P为△ABC的三个内角平分线的交点，∴点P到AB、AC、BC的距离均相等．
∴△ABP、△ACP、△BCP的面积
比即为它们的底边AB、AC、BC的长度的比．
即△ABP、△ACP、△BCP的面积比为3∶4∶5.
角平分线
三角形的
角平分线
角平
分线
性质
判定