(共14张PPT)
如图所示,一个圆柱体的底面周长为 20 cm,高 AB 为 4 cm,BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.(精确到 0.01 cm)
A
B
C
分析:蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动,如果将这半个侧面展开,得到长方形 ABCD,根据“两点之间,线段最短”,所求的最短路程就是这一展开图 — — 长方形ABCD 的对角线 AC 之长.
A
B
C
A
C
B
D
解:如图,在 Rt△ABC 中,
BC = 底面周长的 一半 = 10 cm.由勾股定理,可得
答:爬行的最短路程约为 10.77 cm.
把几何体适当展开成平面图形,再利用“两点之间,线段最短”性质来解决问题.
例1 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子,蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢?(精确到 0.01 cm)
A
B
勾股定理的应用
A
B
10
10
10
B
C
A
解:最短路程即为长方形的对角线 AB,
答:爬行的最短路程约是 22.36 cm.
例2 如果盒子换成如图长为 3 cm,宽为 2 cm,高为 1 cm 的长方体,蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢?
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
分析:蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种情况?
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时,如图,最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
(2)当蚂蚁经过前面和右面时,如图,最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
(3)当蚂蚁经过左面和上面时,如图,最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
5.10>4.47>4.24
所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是4.24.
例3 一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状如图所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)?说明理由.
A
B
C
D
2米
2.3 米
MN=
MH=0.6+2.3=2.9 (米)>2.5 (米).
答:卡车能通过厂门.
解:在Rt△ONM 中,∠MNO = 90°,由勾股定理,得
A
B
D
C
O
M
┏
N
H
2 米
2.3 米
1.如图,已知 CD=6 cm,AD=8 cm, ∠ADC=90°,BC=24 cm,AB=26 cm,求阴影部分面积.
解:在 Rt△ADC 中,利用勾股定理得
AC2 = AD2 + CD2
= 82 + 62 = 100,
∴AC = 10.
∵AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262,
∴△ACB 为直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S阴影部分 = S△ACB - S△ACD = 120 - 24 = 96 (cm2).
2.如图,在△ABC 中,AB = AC,D 点在 CB 延长线上,求证:AD2 - AB2 = BD·CD
A
B
C
D
E
∴ AD2 - AB2 = (AE2 + DE2) - (AE2 + BE2) = DE2 - BE2
= (DE + BE)·( DE - BE) = (DE + CE)·( DE - BE) = BD·CD.
证明:过 A 作 AE⊥BC 于 E.
∵AB = AC,∴BE = CE.
在 Rt△ADE 中,AD2 = AE2 + DE2.
在 Rt△ABE 中,AB2 = AE2 + BE2.
勾股定理的应用
最短路程问题
勾股定理与其逆定理的应用