12.4尺规作图 课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
课时讲解
1
尺规作图
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作已知角的平分线
经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时流程
2
知1－讲
知识点
尺规作图
1
1.尺规作图的定义 我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图 .
知1－讲
特别解读
●直尺的作用：(1)过两点画一条直线；(2)将线段向两端无限延长.
●圆规的作用：以定点为圆心、定长为半径画圆或画弧 .
●作图时，也可以使用带有刻度的直尺，但是不能使用它的度量功能 .
●几何作图问题一般都是由若干个基本作图组合而成的 .
2. 最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图 .
常见的五种基本作图 (1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作已知角的平分线；
(4)经过一已知点作已知直线的垂线；
(5)作已知线段的垂直平分线 .
知1－讲
知1－练
下列属于尺规作图的是( )
A. 用量角器画出∠ AOB 的平分线 OC
B. 已知线段 a，求作线段 AB，使 AB=2a
C. 作线段 AC=3 cm
D. 平移法作线段 AB 的平行线 CD
例1
知1－练
解：选项 A 中，用量角器作角平分线，不是尺规作图；
选项 C 中，需要用刻度尺测量，不是尺规作图；选项 D 中，
需要用到的工具是直尺和三角板，也不是尺规作图；选项 B 中，可以通过使用圆规和没有刻度的直尺来完成，故属于尺规作图.
解题秘方：紧扣尺规作图的工具及常见的五种基本作图类型进行识别 .
答案：B
知1－练
1-1.在下列各项中，属于尺规作图的是( )
A. 利用三角尺画 45°角
B. 用直尺和三角尺画平行线
C. 用直尺画一工件边缘的垂线
D. 用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
D
知2－讲
知识点
作一条线段等于已知线段
2
步骤 已知：线段 a. 求作：线段 AB，使 AB=a. 作法：(1)作射线 AP； (2)在射线AP上截取AB=a，则线段AB就是要求作的线段.
图示
知2－讲
特别解读
作一条线段等于已知线段，也可以用度量方法截取，但由于度量时会有误差，故选择尺规作图更精确 .
知2－练
如图 13.4-1，已知线段 a、 b ( a>b ) ，求作一条线段 AB，使 AB=2 ( a － b ) .
例2
知2－练
解题秘方：灵活运用线段的和、差来转化线段之间的数量关系 .
解：如图 13.4-2，线段 AB 即为所求 .
作法： (1)作射线 OP；
(2)在射线 OP 上顺次截取 OM=MB=a；
(3)在线段 OB 上顺次截取 ON=NA=b，则线段 AB 就是所求作的线段 .
知2－练
2-1.如图，已知线段 a和 b( a ＞ b) .
求作：线段 c，使 c=a－b.
知2－练
解：如图，线段BC即为所求．
作法：(1)作射线AM；
(2)在射线AM上截取线段AB＝a；
(3)在线段AB上截取AC＝b，则线段BC就是所求作的线段c.
知3－讲
知识点
作一个角等于已知角
3
作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图 13.4-3 ①)，求作
∠ A′ O′ B′，使∠ A′O′B′ = ∠ AOB.
知3－讲
特别解读
作一个角等于已知角，是利用尺规作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是 “S.S.S.”，然后利用三角形全等的性质——对应角相等，说明作出的角等于已知角 .
知3－讲
作法：(1)以点 O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA、 OB 于点 C、 D(如图 13.4-3 ①)；
(2)画一条射线 O′ A′，以点 O′为圆心、 OC 长为半径画弧，交 O′ A′于点 C′；
(3)以点 C′为圆心、 CD 长为半径画弧，交前弧于点 D′；
(4) 过点 D′画射线 O′ B′，则∠ A′O′B′即为所求作的角(如图 13.4-3 ②) .
知3－练
如图 13.4-4，过点 C 作直线 DE，使 DE ∥ AB.
例3
知3－练
解题秘方：通过作一对内错角相等来作已知直线的平行线 .
解：作法如下：
(1)过点 C 作直线 MN 与 AB 相交，交点为 F； (2)在直线 MN 的右侧作∠ FCE，使∠ FCE= ∠ AFC； (3)反向延长 CE 得到 CD，则直线 DE 即为所求(如图13.4-5) .
知3－练
3-1.如图，已知∠α ，求作 ∠ AOB， 使 ∠ AOB=3 ∠α . (写出作法)
知3－练
解：如图所示．
作法：(1)作射线OA，分别以∠α的顶点和点O为圆心，以相等的任意长为半径作弧，分别交∠α的两边于点M、N，交OA于点E；
(2)以点E为圆心，以线段MN的长为半径作弧，两弧交于点F；
知3－练
(3)过点F作射线OC，则∠AOC＝∠α；
(4)同理，以OC为一边，在∠AOC 的外部，作∠COD＝∠α，再以OD为一边，在∠AOD的外部，作∠BOD ＝ ∠α，则∠AOB＝3∠α.
∠AOB就是所求作的角．
知4－讲
知识点
作已知角的平分线
4
尺规作图步骤与图示
已知： ∠ AOB(如图 13.4-6) .
求作： ∠ AOB 的平分线 .
作法： (1)以点 O 为圆心、 适当长为半径画弧，交 OA于点 M，交 OB 于点 N.
知4－讲
2
知4－讲
知4－讲
●“画射线 OC”不能叙述为“连结 OC”，因为角平分线是射线而不是线段 .
●连结 MC、NC， 依据作图可知 △ OMC ≌△ ONC（S.S.S.），所以OC 平分∠ AOB.
知4－练
例4
知4－练
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分.
知4－练
(3)画射线 OC；
(4)同理，作∠ AOC 的平分线 OM. 则∠ AOM 即为所求作的角(如图 13.4-7 ) .
知4－练
4-1.已知：∠ AOB(如图) .
求作：∠ AOB 的补角的平分线 .
知4－练
解：如图，射线OD即为所求．
作法：(1)反向延长射线OB得到射线OC，则∠AOC就是∠AOB的补角；
(2)以点O为圆心，适当长为半径画孤，分别交OC、OA于E、F两点；
知4－练
知5－讲
知识点
经过一已知点作已知直线的垂线
5
1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线
知5－讲
步骤
图示
知5－讲
2. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线
步骤
图示
知5－讲
特别解读
1. 过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并反向延长.
2. 过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质是作等腰三角形顶角的平分线 .
知5－练
如图 13.4-8，已知直角三角形 ABC，∠C=90° ，试利用尺规作图作出斜边 AB 上的高 .
例5
知5－练
解题秘方：紧扣“经过已知直线外一点作已知直线的垂线” 的步骤，将作高转化为作垂线 .
知5－练
知5－练
5-1.如图，已知：点 P和直线 l，求作：点 P 关于直线 l 的对称点 P′ .
知5－练
解：如图所示．
作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为O；
(2)在直线PO上截取线段OP′＝OP，则点P′就是点P关于直线l的对称点．
知6－讲
知识点
作已知线段的垂直平分线
6
步骤
图示
知6－讲
特别解读
1. 作线段的垂直平分线时，一定要注意两点：
一是画弧的半径要大于线段的一半长；
二是线段的垂直平分线是一条直线 .
2. 作已知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定定理“S.S.S.”.
知6－练
如图 13.4-10，已知线段 AB 和直线 l，试在 l 上找一点 P，使得点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 .
例6
知6－练
解题秘方：利用作线段的垂直平分线的步骤找线段的垂直平分线与直线 l 的交点 .
知6－练
6-1.如图， △ ABC 是等腰直角三角形， 且∠ C=90° . 作 AB 边的垂直平分线 DE，其与 AB边交于点 D，并写出图中的相等线段 .
知6－练
尺规作图
工具
没有刻度的
直尺、圆规
作角
三角形全等
尺规作图
作线段
作角的平分线
依据
作垂线
作线段的
垂直平分线