13.2勾股定理的应用（1）课件（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.2勾股定理的应用（1）课件（共28张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-06 19:05:14 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
确定几何体表面上两点间的最短路线长
勾股定理的应用
知1－讲
知识点
确定几何体表面上两点间的最短路线长
1
1.求长方体表面上两点间的最短路线长的方法
(1)将长方体的表面展开成平面图形，展开时要考虑各
种可能的情况；
(2) 在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连结成线段；
(3)利用勾股定理分别求每种情况中线段的长度；
(4)对各线段长度进行比较，长度最短的线段为最短路线 .
知1－讲
知1－讲
示例 长方体表面上A、 B两点间的最短距离
知1－讲
特别解读
1. 在平面上寻找两点之间的最短路线的依据：
(1)两点之间线段最短；
(2)直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短 .
2. 在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短路线长不一定是两点间的线段长 .
3. 确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出最短路线 .
2. 求圆柱体侧面上两点间的最短路线长的方法
(1)将圆柱体的侧面展开，确定两点的位置，连结两点的线段即为最短路线；
(2)构造直角三角形，利用勾股定理求其长度 .
知1－讲
知1－练
如图 14.2-1，圆柱体的高为 40 cm，底面周长为 60 cm，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱体的侧面爬到点 B，然后另找一条路线爬回点 A，求蚂蚁爬行的最短路线的长度 .
例1
知1－练
解题秘方：先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求路线长.
知1－练
知1－练
B
知2－讲
知识点
勾股定理的应用
2
1.勾股定理的应用范围
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 .
知2－讲
2. 勾股定理应用的常见类型
(1) 已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2) 已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 .
知2－讲
特别提醒
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1. 从实际问题中抽象出几何图形 .
2. 确定要求的线段所在的直角三角形 .
3. 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系 .
4. 求得结果 .
知2－练
如图 14.2 － 3 ，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=3， BC=4， CD ⊥ AB，垂足为 D，求 CD 的长 .
例2
知2－练
解题秘方：紧扣“直角三角形的面积的两种表示法”求解 .
知2－练
知2－练
2-1.如图，在△ ABC中，∠ B=40° ， EF ∥ AB，∠ 1=50 ° ， CE=3， EF比 CF 大 1，则 EF 的长为( )
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
A
知2－练
如图 14.2 － 4，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AM 是中线， MN ⊥ AB，垂足为 N.
求证： AN2－BN2=AC2.
例3
知2－练
解题秘方：将要证明的线段归结到不同的直角三角形中，结合等式的性质证明 .
知2－练
证明： ∵ MN ⊥ AB，
∴在 Rt △ AMN 中， AN2+MN2=AM2，
在 Rt △ BMN 中， BN2+MN2=MB2.
∴ AN2－BN2=AM2－MB2.
在 Rt △ AMC 中，∵∠ C=90°，∴ AM2－MC2=AC2.
∵ AM 是中线，∴ MC=MB.
∴ AM2－MB2=AC2. ∴ AN2－BN2=AC2.
知2－练
3-1.如图，在 Rt △ ABC中， ∠ C=90 ° ， AM=CM， MP ⊥ AB 于点 P.求证： BP2=BC2+AP2.
知2－练
证明：连结BM. ∵MP⊥AB，
∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2，
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.
知2－练
一架长 5 m 的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯子的底端距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动( )
A.0 m B.1 m C.2 m D.3 m
例4
知2－练
解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角三角形的问题求解 .
知2－练
答案： B
知2－练
4-1.古诗赞美荷花“竹色 溪下绿， 荷花镜里香” . 平静的湖面上 ，一朵荷花亭亭玉立，露出水面 10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地 40 cm(如图) . 请问： 水深多少？
知2－练
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm，
即CD＝(x＋10) cm.
在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2，
解得x＝75.
答：水深75 cm.
勾股定理的应用
解决问题
建模
勾股定理
实际问题
数学问题
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
确定几何体表面上两点间的最短路线长
勾股定理的应用
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知识点
确定几何体表面上两点间的最短路线长
1
1.求长方体表面上两点间的最短路线长的方法
(1)将长方体的表面展开成平面图形，展开时要考虑各
种可能的情况；
(2) 在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连结成线段；
(3)利用勾股定理分别求每种情况中线段的长度；
(4)对各线段长度进行比较，长度最短的线段为最短路线 .
知1－讲
知1－讲
示例 长方体表面上A、 B两点间的最短距离
知1－讲
特别解读
1. 在平面上寻找两点之间的最短路线的依据：
(1)两点之间线段最短；
(2)直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短 .
2. 在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短路线长不一定是两点间的线段长 .
3. 确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出最短路线 .
2. 求圆柱体侧面上两点间的最短路线长的方法
(1)将圆柱体的侧面展开，确定两点的位置，连结两点的线段即为最短路线；
(2)构造直角三角形，利用勾股定理求其长度 .
知1－讲
知1－练
如图 14.2-1，圆柱体的高为 40 cm，底面周长为 60 cm，一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱体的侧面爬到点 B，然后另找一条路线爬回点 A，求蚂蚁爬行的最短路线的长度 .
例1
知1－练
解题秘方：先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求路线长.
知1－练
知1－练
B
知2－讲
知识点
勾股定理的应用
2
1.勾股定理的应用范围
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 .
知2－讲
2. 勾股定理应用的常见类型
(1) 已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2) 已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 .
知2－讲
特别提醒
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1. 从实际问题中抽象出几何图形 .
2. 确定要求的线段所在的直角三角形 .
3. 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系 .
4. 求得结果 .
知2－练
如图 14.2 － 3 ，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=3， BC=4， CD ⊥ AB，垂足为 D，求 CD 的长 .
例2
知2－练
解题秘方：紧扣“直角三角形的面积的两种表示法”求解 .
知2－练
知2－练
2-1.如图，在△ ABC中，∠ B=40° ， EF ∥ AB，∠ 1=50 ° ， CE=3， EF比 CF 大 1，则 EF 的长为( )
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
A
知2－练
如图 14.2 － 4，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AM 是中线， MN ⊥ AB，垂足为 N.
求证： AN2－BN2=AC2.
例3
知2－练
解题秘方：将要证明的线段归结到不同的直角三角形中，结合等式的性质证明 .
知2－练
证明： ∵ MN ⊥ AB，
∴在 Rt △ AMN 中， AN2+MN2=AM2，
在 Rt △ BMN 中， BN2+MN2=MB2.
∴ AN2－BN2=AM2－MB2.
在 Rt △ AMC 中，∵∠ C=90°，∴ AM2－MC2=AC2.
∵ AM 是中线，∴ MC=MB.
∴ AM2－MB2=AC2. ∴ AN2－BN2=AC2.
知2－练
3-1.如图，在 Rt △ ABC中， ∠ C=90 ° ， AM=CM， MP ⊥ AB 于点 P.求证： BP2=BC2+AP2.
知2－练
证明：连结BM. ∵MP⊥AB，
∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2，
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.
知2－练
一架长 5 m 的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯子的底端距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动( )
A.0 m B.1 m C.2 m D.3 m
例4
知2－练
解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角三角形的问题求解 .
知2－练
答案： B
知2－练
4-1.古诗赞美荷花“竹色 溪下绿， 荷花镜里香” . 平静的湖面上 ，一朵荷花亭亭玉立，露出水面 10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地 40 cm(如图) . 请问： 水深多少？
知2－练
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm，
即CD＝(x＋10) cm.
在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2，
解得x＝75.
答：水深75 cm.
勾股定理的应用
解决问题
建模
勾股定理
实际问题
数学问题