12.2.3边角边 课件（共16张PPT）
文档属性
| 名称 | 12.2.3边角边 课件（共16张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 549.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-06 18:17:45 | ||
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文档简介
(共16张PPT)
上节课给大家留了这样一个思考题，你们思考好了吗？
如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？
有四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边．
问题情境
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？— — 这是本节我们要探讨的课题.
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每一种情况得到的三角形都全等吗
应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角.
“S. A. S. ”判定三角形全等
如果已知两个三角形有两边及一角对应相等时，应分为几种情形讨论？
边－角－边
边－边－角
A
A
A'
A'
B
B'
B'
C
C
C'
C'
第一种
第二种
B
如图，已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.
做一做
比一比：大家所画的三角形都全等吗？
步骤：1. 画一线段 AB，使它等于4cm；
2. 画∠MAB = 45°；
3. 在射线 AM 上截取 AC = 3cm；
4. 连结 BC. △ABC 就是所求做的三角形.
试一试，换两条线段和一个角，是否有同样的结论.
3 cm
4 cm
45°
A
B
M
C
下面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
A
B
C
D
E
F
全等
在△ABC 和△ DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (S. A. S. )．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为 S. A. S. (或边角边).
知识要点
“边角边”判定三角形全等的方法
几何语言：
AB = DE，
∠A = ∠D，
AC = DF，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
C
A
B
D
E
例1 如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE = DE，BE = CE，求证：△ABE≌△DCE.
∴ △ABE≌△DCE (S. A. S.).
证明：在△ABE 和△DCE 中，
典例精析
AE = DE (已知)，
∠AEB =∠DEC (对顶角相等)，BE = CE (已知)，
例2 如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点C，连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到点 E，使CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么
C
·
A
E
D
B
解：在△ABC 和△DEC 中，
∴△ABC≌△DEC (S. A. S.).
∴ AB = DE (全等三角形的对应边相等).
CA = CD (已知)，
∠ACB =∠DCE (对顶角相等)，
CB = CE (已知) ，
证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳
如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
做一做
F
D
E
45°
7 cm
6 cm
6 cm
7 cm
45°
A
B
C
6 cm
7 cm
45°
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行对比，所画的三角形都全等吗？
此时，符合条件的三角形有多少种？
比一比
结论：两边及其一边所对的角相等 (即“边边角”对应相等或 S. S. A. )，两个三角形不一定全等.
1.如图，AC = BD，∠CAB =∠DBA，求证：BC = AD.
A
B
C
D
证明：在 △ABC 与 △BAD 中，
AC = BD (已知)，
∠CAB =∠DBA (已知)，
AB = BA (公共边)，
∴ △ABC≌△BAD (S. A. S. ).
∴ BC = AD (全等三角形的对应边相等).
解：能. 在△EDH 和△FDH 中 ，
ED＝FD，（已知）
∠EDH＝∠FDH，（已知）
DH＝DH，（公共边）
2.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH =∠FDH，ED = FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道 EH = FH 吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
∴△EDH≌△FDH（S. A. S. ）.
∴EH＝FH(全等三角形对应边相等）.
证明：∵ ∠1＝∠2，
∴∠1 +∠DBC＝∠2 +∠DBC，即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC 和△DBE 中，
AB＝DB (已知)，
∠ABC＝∠DBE (已证)，
CB＝EB (已知)，
∴△ABC≌△DBE ( S. A. S. ).
∴∠A＝∠D (全等三角形的对应角相等).
3. 已知：如图，AB = DB，CB = EB，∠1 = ∠2，
求证：∠A=∠D.
1
A
2
C
B
D
E
∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
4.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，
AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵ AD∥BC，
∴ ∠A =∠C.
∵ AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
AD = CB (已知)，
∠A = ∠C (已证)，
AF = CE (已证)，
∴△AFD≌△CEB ( S. A. S. ).
两边及其夹角分别相等的两个三角形
三角形全等的“S. A. S. ”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
“S. S. A. ”不能判定两个三角形全等
注意：1. 已知两边，必须找“夹角”；
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
上节课给大家留了这样一个思考题，你们思考好了吗？
如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？
有四种情况：两边一角、两角一边、三角、三边．
问题情境
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？— — 这是本节我们要探讨的课题.
如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每一种情况得到的三角形都全等吗
应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角.
“S. A. S. ”判定三角形全等
如果已知两个三角形有两边及一角对应相等时，应分为几种情形讨论？
边－角－边
边－边－角
A
A
A'
A'
B
B'
B'
C
C
C'
C'
第一种
第二种
B
如图，已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.
做一做
比一比：大家所画的三角形都全等吗？
步骤：1. 画一线段 AB，使它等于4cm；
2. 画∠MAB = 45°；
3. 在射线 AM 上截取 AC = 3cm；
4. 连结 BC. △ABC 就是所求做的三角形.
试一试，换两条线段和一个角，是否有同样的结论.
3 cm
4 cm
45°
A
B
M
C
下面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
A
B
C
D
E
F
全等
在△ABC 和△ DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (S. A. S. )．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为 S. A. S. (或边角边).
知识要点
“边角边”判定三角形全等的方法
几何语言：
AB = DE，
∠A = ∠D，
AC = DF，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
C
A
B
D
E
例1 如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE = DE，BE = CE，求证：△ABE≌△DCE.
∴ △ABE≌△DCE (S. A. S.).
证明：在△ABE 和△DCE 中，
典例精析
AE = DE (已知)，
∠AEB =∠DEC (对顶角相等)，BE = CE (已知)，
例2 如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点C，连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到点 E，使CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么
C
·
A
E
D
B
解：在△ABC 和△DEC 中，
∴△ABC≌△DEC (S. A. S.).
∴ AB = DE (全等三角形的对应边相等).
CA = CD (已知)，
∠ACB =∠DCE (对顶角相等)，
CB = CE (已知) ，
证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳
如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
做一做
F
D
E
45°
7 cm
6 cm
6 cm
7 cm
45°
A
B
C
6 cm
7 cm
45°
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行对比，所画的三角形都全等吗？
此时，符合条件的三角形有多少种？
比一比
结论：两边及其一边所对的角相等 (即“边边角”对应相等或 S. S. A. )，两个三角形不一定全等.
1.如图，AC = BD，∠CAB =∠DBA，求证：BC = AD.
A
B
C
D
证明：在 △ABC 与 △BAD 中，
AC = BD (已知)，
∠CAB =∠DBA (已知)，
AB = BA (公共边)，
∴ △ABC≌△BAD (S. A. S. ).
∴ BC = AD (全等三角形的对应边相等).
解：能. 在△EDH 和△FDH 中 ，
ED＝FD，（已知）
∠EDH＝∠FDH，（已知）
DH＝DH，（公共边）
2.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH =∠FDH，ED = FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道 EH = FH 吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
∴△EDH≌△FDH（S. A. S. ）.
∴EH＝FH(全等三角形对应边相等）.
证明：∵ ∠1＝∠2，
∴∠1 +∠DBC＝∠2 +∠DBC，即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC 和△DBE 中，
AB＝DB (已知)，
∠ABC＝∠DBE (已证)，
CB＝EB (已知)，
∴△ABC≌△DBE ( S. A. S. ).
∴∠A＝∠D (全等三角形的对应角相等).
3. 已知：如图，AB = DB，CB = EB，∠1 = ∠2，
求证：∠A=∠D.
1
A
2
C
B
D
E
∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
4.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，
AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵ AD∥BC，
∴ ∠A =∠C.
∵ AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
AD = CB (已知)，
∠A = ∠C (已证)，
AF = CE (已证)，
∴△AFD≌△CEB ( S. A. S. ).
两边及其夹角分别相等的两个三角形
三角形全等的“S. A. S. ”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
“S. S. A. ”不能判定两个三角形全等
注意：1. 已知两边，必须找“夹角”；
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边