12.3.1等腰三角形的性质（1） 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的定义
等腰三角形的性质
等边三角形的定义及性质
知1－讲
知识点
等腰三角形的定义
1
1.定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 .
几何语言： 如图 13.3-1，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∴△ ABC 为等腰三角形 .
知1－讲
特别解读
1. 确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.
2. 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角 .
2. 相关概念 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 .
知1－讲
知1－练
若某个等腰三角形的两边长分别为 4 和 6，求这个等腰三角形的周长 .
例1
知1－练
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算 .
知1－练
解： ∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，
∴需分两种情况讨论 .
第一种情况：当 4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4、 4、 6，
∵ 4+4>6，满足三角形的三边关系，
∴周长 =4+4+6=14；
知1－练
第二种情况：当 6 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4、 6、 6，
∵ 4+6>6，满足三角形的三边关系，
∴周长 =6+6+4=16.
综上可知，这个等腰三角形的周长为 14 或 16.
知1－练
特别提醒 ：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系 .
知1－练
1-1.已知等腰三角形的一边长为 5，周长为20，则该等腰三角形的腰长为 ___________.
7.5
知1－练
1-2.已知三角形的三边长 a、 b、 c 满足( a－b) ·( b － c ) ( a － c ) =0，则三角形的形状是___________ .
等腰三角形
知2－讲
知识点
等腰三角形的性质
2
1.性质 1
等腰三角形的两底角相等 . (简写成“等边对等角” )
几何语言： 如图 13.3-2，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C.
知2－讲
特别提醒
●适用条件：必须在同一个三角形中 .
●“等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
知2－讲
2. 性质 2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合 . (简称“三线合一” )
几何语言： 如图 13.3-2，在△ ABC 中，
(1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC 于 D，
∴ AD 平分∠ BAC(或 BD=CD)；
知2－讲
特别解读
●适用条件：
1.必须是等腰三角形；
2. 必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才互相重合 .
●作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直的重要依据 .
知2－讲
(2)∵ AB=AC， BD=DC，
∴ AD ⊥ BC(或 AD 平分∠ BAC)；
(3)∵ AB=AC， AD 平分∠ BAC，
∴ BD=DC(或 AD ⊥ BC)．
知2－讲
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
知2－练
如图 13.3-3，在△ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC.
(1)求∠ ADB 的度数；
(2)若∠ BAC=100°，求∠ B、∠ C 的度数；
(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长 .
例2
知2－练
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答 .
解：(1)∵ AB=AC， AD 平分∠ BAC，
∴ AD ⊥ BC. ∴∠ ADB=90° .
知2－练
知2－练
2-1. [ 中考· 淄博 ] 某城市几条道路的位置关系如图所示， 道路 AB ∥ CD， 道路 AB与 AE 的夹角∠ BAE ＝50°．城市规划部门想新修一条道路 CE，要求CF ＝ EF，则∠ E 的度数为( )
A. 23° B. 25°
C. 27° D. 30°
B
知2－练
如图 13.3-4，已知 AB=AC， AD=AE.
求证： BD=CE.
例3
知2－练
解题秘方：证明线段相等，可证明其所在的三角形全等；条件中出现两个等腰三角形，也可利用等腰三角形的性质证明 .
知2－练
证明： 方法一 ∵ AB=AC ， AD=AE，
∴∠ B= ∠ C，∠ ADE= ∠ AED. ∴∠ BAD= ∠ CAE.
∴△ ABD ≌△ ACE ( A.S.A. ) . ∴ BD=CE.
方法二 如图 13.3-4，过点 A 作 AF ⊥ DE，垂足为 F.
∵ AD=AE，∴ DF=EF.
又∵ AB=AC，∴ BF=CF.
∴ BF － DF=CF － EF，即 BD=CE.
知2－练
3-1. [ 中考· 淄博 ] 如图，△ ABC 是等腰三角形， 点 D， E 分别在腰AC， AB 上， 且 BE ＝CD，连结 BD， CE．求证： BD ＝ CE．
知2－练
知3－讲
知识点
等边三角形的定义及性质
3
1.定义 三条边都相等的三角形是等边三角形 .
知3－讲
2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等 .
(2)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60° .
(3)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线 .
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 .
知3－讲
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
任意两边都可以作为腰；
任意一个角都可以作为顶角 .
知3－练
如图 13.3-5，△ ABC 是等边三角形， D、 E、 F 分别是三边 AB、 AC、 BC 上 的 点， 且 DE ⊥ AC， EF ⊥ BC，DF ⊥ AB，请计算△ DEF 各个内角的度数 .
例4
知3－练
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于 60° 求解 .
知3－练
解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ A= ∠ B= ∠ C=60° .
∵ DE ⊥ AC， EF ⊥ BC， DF ⊥ AB，
∴∠ AED= ∠ EFC= ∠ FDB=90° .
∴∠ ADE=90°－∠ A=90°－60° =30° .
∴∠ EDF=180° －30°－90° =60°，
同理可得∠ DEF= ∠ EFD=60°，
∴△ DEF 各个内角的度数都是 60° .
知3－练
4-1. [ 中考· 鞍山 ] 如图， 直线 a ∥ b， 等边三角形 ABC 的顶点 C 在直线 b 上，∠ 2=40° ，则∠ 1 的度数为( )
A.80° B.70°
C.60° D.50°
A
知3－练
如图 13.3-6，等边三角形 ABC 的边长为 3， D 是 AC的中点，点 E 在 BC 的延长线上 . 若 DE=DB，求 CE 的长 .
例5
知3－练
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化 .
知3－练
知3－练
知3－练
5-1.如图，△ ABC 为等边三角形， AD ⊥ BC， AE=AD，则∠ ADE=_________ ° .
75
知3－练
如图 13.3-7，已知△ ABC 为等边三角形，点 D、 E分别在 BC、 AC 边上，且 AE=CD， AD 与 BE 相交于点 F.
例6
知3－练
解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为 60°的性质进行解答 .
知3－练
(1)求证：△ ABE ≌△ CAD；
知3－练
解： ∵△ ABE ≌△ CAD，
∴∠ ABE= ∠ CAD.
∵∠ BFD= ∠ ABE+ ∠ BAF，
∴∠ BFD= ∠ DAC+ ∠ BAF= ∠ BAC=60° .
(2)求∠ BFD 的度数 .
知3－练
6-1.如图， △ ABC 为等边三角形， D 为边BA 延长线上一点， 连结 CD， 以 CD 为 边 作等边三角形 CDE，连结AE， 判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由 .
知5－练
解：AE∥BC.理由如下：
∵△ABC与△CDE都为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE.
∴△BCD≌△ACE(S.A.S.)．∴∠B＝∠EAC.
又∵∠B＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.
等腰三角形的性质
特殊
两边相等
等腰
三角形
等边三角形
三线合一
性质
特性
三边相等，三个内角相等
等边对等角
都具有