2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第1讲《全等三角形》自主学习单(含答案)

文档属性

名称 2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第1讲《全等三角形》自主学习单(含答案)
格式 zip
文件大小 802.9KB
资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-06-05 17:53:27

文档简介

自主学习单
环节一 考点总结复习
全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形的性质:
(1)对应边 ,对应角 ;
(2)对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等;
(3)周长 ,面积 ;
全等三角形的判定方法: , , , , .
常考全等模型复习
常考模型 模型图示 常用方法
旋转模型 遇到共夹角,则应用角的和差转化成一组相等的角
三垂直模型 有三个直角,利用同角的余角相等找等角
半角模型 通过翻折或旋转,将角的倍分关系转化为角的相等关系
环节二 例题研习
例1.如图,点E在△ABC的外部,点D在边BC上,DE交AC于点F,∠1=∠2=∠3,AC=AE.求证:△ABC≌△ADE.
例2. 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线PQ是过点A的任意一条直线,BD⊥PQ于点D,CE⊥PQ于点E.
★(1)求证:△ABD≌△CAE;
★★ (2)猜想BD,DE,CE三条线段之间的数量关系;(不写证明)
★★★ (3)在图②中,将图①中的直线PQ绕点A逆时针旋转任意角度,经过三角形的内部(不与AB,AC重合)时,上述三条线段之间又有怎样的数量关系?请写出结论,并画出图形.
例3. 在正方形ABCD中,E,F分别在AD,CD边上,∠EBF=45°.求证:AE+CF=EF.
环节三 真题演练
★1.(2024·四川成都·中考真题)如图,,若,,则的度数为 .
第1题图 第2题图
★2. (2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题节选)综合与实践:如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,受这幅图的启发,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在中,,将线段绕点顺时针旋转得到线段,作交的延长线于点.
(1)【观察感知】如图2,通过观察,线段与的数量关系是 .
★3.(2023 深圳节选)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,
①若BE=BC,过C作CF⊥BE交BE于点F,求证:△ABE≌△FCB;
★★4.(2024·湖北武汉·中考真题) 如图,点A的坐标是,将线段绕点O顺时针旋转,点A的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
第4题图 第5题图 第7题图 第8题图
★★5.(2024·广东广州·中考真题)如图,在中,,,为边的中点,点,分别在边,上,,则四边形的面积为( )
A.18 B. C.9 D.
★★6.(2022 深圳节选)(1)发现:如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交CD边于G点.求证:△BFG≌△BCG;
★★★7.(2021 深圳节选)如图,已知反比例函数的图象过A,B两点,A点坐标(2,3),直线AB经过原点,将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则C点坐标为 .
★★★8.如图,已知E、H分别为正方形ABCD的边AD和DC上的一点,连接AH,BE交于点F,且AE=DH,请直接写出线段AH与BE的关系 .
★★★9.(2024·四川乐山·中考真题节选)如图,已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E在BC上,且∠DAE=45°,点D在点E的左侧,探究线段BD、DE、EC之间的数量关系.自主学习单 答案
环节一 考点总结复习
全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形的性质:
(1)对应边 相等 ,对应角 相等 ;
(2)对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等;
(3)周长 相等 ,面积 相等 ;
全等三角形的判定方法: SSS , SAS , ASA , AAS , HL .
常考全等模型复习
常考模型 模型图示 常用方法
旋转模型 遇到共夹角,则应用角的和差转化成一组相等的角
三垂直模型 有三个直角,利用同角的余角相等找等角
半角模型 通过翻折或旋转,将角的倍分关系转化为角的相等关系
环节二 例题研习
例1 .如图,点E在△ABC的外部,点D在边BC上,DE交AC于点F,∠1=∠2=∠3,AC=AE.求证:△ABC≌△ADE.
【答案】
证明:∵∠1=∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
∠C=180°-∠3-∠DFC,∠E=180°-∠2-∠AFE,
∴∠BAC=∠DAE,∠C=∠E.
∴△ABC≌△ADE(ASA).
例2. 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线PQ是过点A的任意一条直线,BD⊥PQ于点D,CE⊥PQ于点E.
★(1)求证:△ABD≌△CAE;
★★ (2)猜想BD,DE,CE三条线段之间的数量关系;(不写证明)
★★★ (3)在图②中,将图①中的直线PQ绕点A逆时针旋转任意角度,经过三角形的内部(不与AB,AC重合)时,上述三条线段之间又有怎样的数量关系?请写出结论,并画出图形.
【答案】
解:(1)证明:∵BD⊥PQ,CE⊥PQ,∠BAC=90°,
∴∠BDA=∠AEC=90°, ∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3.
∴△ABD≌△CAE(AAS);
(2)DE=BD+CE;
(3)结论:DE=BD-CE或DE=CE-BD.
理由:设PQ与BC交于点M.
当点M离点C近时,结论为DE=BD-CE;
当点M离点B近时,结论为DE=CE-BD.
(注:当M为BC中点时,D,E两点重合,线段DE不存在)
①当点M离点C近时,如答图①,
同(1)可证明△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE.∵DE=AE-AD,∴DE=BD-CE;
②当点M离点B近时,如答图②,同理可得DE=CE-BD.
例3 . 在正方形ABCD中,E,F分别在AD,CD边上,∠EBF=45°.求证:AE+CF=EF.
【答案】
解:证明:如图,将△BCF绕点B逆时针旋转90 得到△BAH,
∵四边形ABCD为正方形, 由旋转得∠1=∠2,BH=BF, HA=FC,
∠HAB=∠C=∠BAE=90°,H,A,E三点共线,
∴∠1+∠3=∠3+∠2=∠ABC-∠EBF
∴∠ABC=90°,又∠EBF=45°,
∴∠HBE=∠EBF=45°
∴△HBE≌△EBF (SAS),
∴HE=EF
又∵HE=HA+AE=CF+AE,
∴AE+CF=EF
环节三 真题演练
★1.(2024·四川成都·中考真题)如图,,若,,则的度数为 .
【答案】/100度
★2. (2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题节选)综合与实践:如图1,这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,受这幅图的启发,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在中,,将线段绕点顺时针旋转得到线段,作交的延长线于点.
【观察感知】如图2,通过观察,线段与的数量关系是 .
【答案】 AB=DE
★3.(2023 深圳节选)(1)如图1,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,
①若BE=BC,过C作CF⊥BE交BE于点F,求证:△ABE≌△FCB;
【解答】
证明:∵四边形ABCD是矩形,则∠A=∠ABC=90°
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
又∵CF⊥BC,∴∠CFB=90°,
∴△ABE≌△FCB (AAS).
★★4.(2024·湖北武汉·中考真题) 如图,点A的坐标是,将线段绕点O顺时针旋转,点A的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转,全等三角形的判定和性质,熟知图形旋转的性质是解题的关键.
根据题意画出旋转后的图形,再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.
【详解】解:如图所示,
分别过点和点作轴的垂线,垂足分别为和,
由旋转可知,
,,


在和中,


,.
点坐标为,
,,
点的坐标为.
故选:B.
★★5.(2024·广东广州·中考真题)如图,在中,,,为边的中点,点,分别在边,上,,则四边形的面积为( )
A.18 B. C.9 D.
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定,掌握相关的线段与角度的转化是解题关键.连接,根据等腰直角三角形的性质以及得出,将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解.
【详解】解:连接,如图:
∵,,点D是中点,

∴,

又∵

故选:C
★★6.(2022 深圳节选)(1)发现:如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交CD边于G点.求证:△BFG≌△BCG;
【解答】
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,
∴BF=AB=BC,∠BFE=∠A=∠C=90°,
∴∠BFG=∠C,
∴Rt△BFG≌Rt△BCG (HL).
★★★7.(2021 深圳)如图,已知反比例函数的图象过A,B两点,A点坐标(2,3),直线AB经过原点,将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则C点坐标为 .
【答案】(4,﹣7).
【解答】解:∵A点坐标(2,3),直线AB经过原点,
∴B(﹣2,﹣3)
过点B作x轴的平行线l过点A,点C作l的垂线,分别交于D,E两点,则D(2,﹣3),
∵∠ABD+∠CBE=90°,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠CBE=∠BAD,
在△ABD与△BCE 中,

∴△ABD≌△BCE(AAS),
∴BE=AD=6,CE=BD=4,
∴C(4,﹣7),
故答案为(4,﹣7).
★★★8.如图,已知E、H分别为正方形ABCD的边AD和DC上的一点,连接AH,BE交于点F,且AE=DH,请直接写出线段AH与BE的关系 .
【答案】AH与BE相等且互相垂直
★★★9.(2024·四川乐山·中考真题节选)如图,已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E在BC上,且∠DAE=45°,点D在点E的左侧,探究线段BD、DE、EC之间的数量关系..
【答案】BD2+EC2=DE2
解:BD2+EC2=DE2 ,探究如下:
△ABD饶点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED’.
由旋转的特征得∠1=∠2,AD=AD', BD=CD',∠5=∠B=∠4=45°.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠1+∠3=45°
∴∠2+∠3=45°,∴∠DAE=∠EAD'.
∴△AED≌△AED' (SAS).
∴DE=ED'
∵∠ECD'=∠4+∠5=90°
∴Rt△ECD'中,由勾股定理得 CD'2+EC2= ED'2
∴ BD2+EC2=DE2
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