《一线三等角相似》自主学习单参考答案
模块一：模型直接应用——已知共线三等角，易得相似求解题
（一）典例精讲
例 1．如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若 BD=3，CE=2，求△ABC的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）∵AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；
∵△ABD∽△DCE，
AB BD
∴ ，
CD CE
AB 3
∴ ，
AB 3 2
解得 AB=9．
例 2.（2024·齐齐哈尔中考）综合与实践
综合与实践：如图 1，这个图案是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽
弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图 2，在 ABC中， A 90 ，将线段
BC绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BD，作DE AB交 AB的延长线于点 E．
1
（1）【观察感知】如图 2，通过观察，线段 AB与DE的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图 3，连接CD并延长交 AB的延长线于点 F，若 AB 2 ， AC 6，求 BDF的面积；
BN
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交 BD于点 N，则 ______；
BC
【答案】(1) AB DE
(2)10
9
(3)
13
【详解】（1）解：∵将线段BC绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BD，作DE AB交 AB的延长线于点 E．
CBD 90 ，
ABC DBE 90 ，
A 90 ，
ABC ACB 90，
DBE ACB，
又 A DEB 90 且CB BD
ABC≌ EDB AAS ，
DE AB；
（2）解： CBD 90 ，
ABC DBE 90 ，
A 90 ，
2
ABC ACB 90，
DBE ACB，
又 A DEB 90 且CB BD，
ABC≌ EDB AAS ，
DE AB ，BE AC
AB 2， AC 6
DE 2，BE 6
AE AB BE 2 6 8，
DEB A 180
DE∥ AC，
DEF∽ CAF，
DE EF
AC FA
2 EF
6 EF 8
EF 4 ，
BF BE EF 6 4 10 ，
S 1 BDF 10 2 10；2
（3）解：如图所示，过点 N作 NM AF于点M ，
∵ A BMN 90 ， ACB 90 ABC NBM
∴ ABC∽ MNB
BN BM MN
∴ ，
BC AC AB
BN BM MN
即 ，即MN
1
BM ，
BC 6 2 3
又∵MN∥AC
∴ EMN∽ ECA
3
ME MN
∴ ，
AE AC
设 BM x，则ME BE BM 6 x，
1
6 x x
3
8 6
54
解得： x
13
54
∴ BN BM 13 9 ；
BC AC 6 13
（二）跟进练习
1.在△ABC 中， ACB 90 ， AC BC，直线MN经过点C，且 AD MN 于D， BE MN于 E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图 1 位置时，求证：DE AD BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图 2 位置时，试问：DE、 AD、 BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关
系，并加以证明；
（3）当直线MN绕点C旋转到图 3 位置时，DE、 AD、 BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需
证明）．
【答案】(1)见解析
(2) AD BE DE，证明见解析
(3)BE AD DE
【详解】（1）证明：由题意知， BCA 90 ， ADC BEC 90 ，
∴ ACD BCE 90 ， BCE CBE 90 ，
∴ ACD CBE，
在△ADC和 CEB中，
ADC CEB 90
∵ ACD CBE ，
AC BC
4
∴△ADC≌△CEB AAS ，
∴ AD CE， BE CD，
∴DE DC CE BE AD，
∴DE AD BE．
（2）解： AD BE DE．
证明：∵ AD MN ， BE MN，
∴ ADC BEC 90 ，
∴ ACD BCE 90 ， BCE CBE 90 ，
∴ ACD CBE，
在△ABD和△ACE中，
ADC CEB
∵ ACD CBE ，
AC BC
∴ ACD≌ CBE AAS ，
∴ AD CE， BE CD，
又∵CE = CD + DE = BE + DE ,
∴ AD BE DE．
（3）解：BE AD DE．
证明：∵ AD MN 于D， BE MN于 E，
∴ ADC BEC 90 ，
∴ BCE EBC 90 ， ACD BCE 90 ，
∴∠ACD＝∠EBC，
在 ACD和△CBE中，
ADC CEB
∵ ACD CBE，
AC BC
∴ ACD≌ CBE AAS ，
∴ AD CE， BE CD，
又∵CD CE DE AD DE，
5
∴BE AD DE．
模块二：模型半构造——已知两角等值，补全第三角定模型
（一）典例精讲
例 3.如图,在 Rt△ABC 中,，∠C=90°∠AEB=135°，BE=3 2 ，DE⊥BE 交 AB 于点 D ，若 DE= 2 ，则
AE 的长为___.
【答案】3
【详解】过点 D作 DH⊥AC,
∵∠AEB=135°,∠DEB=90°,
∴∠DEH=45°,
∵DE= 2
∴在 Rt△DHE 中，由勾股定理得 DH=EH=1
同理可得 CE=CB=3
∵∠A 为公共角，∠AHD=∠ACB=90°,
∴△AHD∽△ACB
∴ AH DH
AC BC
即 AH 1
AH 4 3
解得 AH=2
∴AE=AH+HE=2+1=3
例 4.如图，在矩形 ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点 E在边 CD上，且∠BEF＝90° EF
1
， ＝ 2 BE，
3
DF＝ 5 ，则 BE＝ ．
4
6
73
【答案】
2
【详解】解：如图所示，过 F作 FG⊥CD，交 CD的延长线于 G，则∠G＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
FG GE EF FG GE 1
∴ ，即 ，
EC CB BE EC 4 2
∴FG 1＝ 2 EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设 EC 1＝x，则 DG＝x，FG＝ 2 x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
1 3
∴（ 2 x）
2+x2＝（ 5 ）2，
4
9
解得 x2＝ ，
4
即 CE2
9
＝ ，
4
∴Rt△BCE中，BE 9 73＝ CE 2 BC 2 16 ．
4 2
73
故答案为： ．
2
7
（二）跟进练习
1.综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：
（1）如图 1，在等边△ABC 中，D为 BC边上一点，E为 AC边上一点， ADE 60 ， AB 6，BD 2，则
CE ______．
问题解决：
（2）如图 2，△ABC是等边三角形，D是 BC的中点，射线DE，DF分别交 AB，AC于点 E，F，且 EDF 120 ，
求证：DE DF．
（3）如图 3， BAC 90 ， AB 6， AC 8，D是 BC的中点，射线DE，DF分别交 AB， AC于点 E，
DE
F，且 EDF 90 ，求 的值．
DF
4 4
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
3 3
【详解】解：（1）∵在等边△ABC 中， AB BC 6， BD 2， B C 60 ，
∴CD BC BD 4，
∵ ADE 60 ， ADC ADE CDE B BAD，
∴ CDE BAD，
∴△ABD∽△DCE，
AB BD 6 2
∴ ，即 ，
CD CE 4 CE
∴CE
4
；
3
（2）如图，连接 AD，过 D作DM AB于 M，作DN AC于 N，
8
∵△ABC 是等边三角形，D为 BC的中点，
∴ AD是 BAC的平分线， BAC B C 60 ，
∴ DM DN ， MDN 120 ，
又∵ EDF 120 ，
∴ MDN EDF，
∴ MDE NDF ，
∴在 MDE与 NDF中，
MDE＝ NDF
DM DN ，
DME＝ DNF
∴ MDE NDF，
∴DE DF；
（3）过点D分别作DM AB于M ，DN AC于N，
在△ABC 中， BC AB2 AC2 10，
D是 BC的中点，
BD 1 CD BC 5，
2
DM AB ， AC AB，DN AC，
DM∥ AC，DN∥AB，
9
D是 BC的中点，
OM 是V ABC的中位线，DN是V ABC的中位线，
DM 4，DN 3，
四边形 AMDN为矩形，
ADN 90 ，
MDE EDN 90 ，
EDN NDF 90 ，
MDE NDF，
DME DNF 90 ，
△MDE∽△NDF ，
DE DM 4
DF DN 3 ．
模块三 ：模型全构造——已知单角等值，自主补全双角建体系
（一）典例精讲
例 5.在四边形 ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5 5 ，求 BD的长．
如图，连接 AC，
∵∠ABC＝90°，
∴ AC AB2 BC2 32 42 5 ，
∵AD＝5 5 ，CD＝10，
∴△ACD满足 AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
如图，过点 D作 DE⊥BC延长线于点 E，
10
易得△ABC∽△CED，
CE DE CD
∴ 2 ，
AB BC AC
∴CE＝6，DE＝8，
在 Rt△BDE中，BD＝ BE2 DE2 (4 6)2 82 2 41．
例 6.如图，在正方形 ABCD中，点 E是边CD的中点，点 F在对角线 AC上，且BF EF，连接 BE交 AC
于点 G．若 AB 4，则线段 FG的长为 ．
5
【答案】 2
3
【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理求出 AC 4 2 ，然后利用相似三角形的性质得到
CG CE 2 1
，过点 F作FP DC于点 P，PF交 AB于点 Q，然后证明出
AG AB 4 2 QBF PFE，进而得到
FP CE PE CP 3，利用勾股定理求出CF 3 2 ，进而求解即可．
【详解】解：在正方形 ABCD中， AB BC AD AD 4
BAD ABC BCD D 90
BAC ACD 45
AB∥CD
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC AB2 BC2 42 42 4 2
∵点 E是边CD的中点
11
∴CE DE
1
CD 2
2
∵ AB∥CD
∴ CEG∽ ABG
CG CE 2 1
∴
AG AB 4 2
CG 1 1 4∴ AC 4 2 2
1 2 3 3
过点 F作 FP DC于点 P，PF交 AB于点 Q，
则 CPQ DPQ 90 ，四边形 ADPQ和 BCPQ都是矩形
∴ BQ CP, AQ DP,PQ BC 4, PFE PEF 90
∵ ACD 45
∴ CFP 45
∴ PF PC BQ
∵ QBF QFB 90 ， PFE QFB 90
∴ QBF PFE
又∵ BQF FPE 90
∴ QBF PFE
∴QF PE
∴DP AQ QF PE
1
DE 1
2
∴ FP CE PE CP 3
∴CF CP2 FP2 32 32 3 2
∴ FG FC GC 3 2
4 5
2 2 ．
3 3
5
故答案为： 2 ．
3
12
（二）跟进练习
1.【模型探究】
如图，正方形 ABCD中，E是对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E作 EF⊥AE，交直线 CB于点 F．
（1）如图 1，若点 F在线段 BC上，写出 EA与 EF的数量关系并加以证明；
（2）如图 2，若点 F在线段 CB的延长线上，请直接写出线段 BC，BE和 BF的数量关系．
【模型应用】
（3）如图 3，正方形 ABCD中，AB＝4，E为 CD上一动点，连接 AE交 BD于 F，过 F作 FH⊥AE于 F，
过 H作 HG⊥BD于 G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为 8．正
确的结论有 个．
（4）如图 4，点 E是正方形 ABCD对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E作 EF⊥AE，交线段 BC于点 F，
交线段 AC于点 M，连接 AF交线段 BD于点 H．给出下列四个结论，①AE＝EF；② 2 DE＝CF；③S△AEM
＝S△MCF；④BE＝DE+ 2 BF；正确的结论有 个．
【模型变式】
（5）如图 5，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD是正方形，且 D（0，2），点 E是线段 OB延长线上一
点，M是线段 OB上一动点（不包括点 O、B），作 MN⊥DM，垂足为 M，交∠CBE的平分线与点 N，求
证：MD＝MN
（6）如图 6，在上一问的条件下，连接 DN交 BC于点 F，连接 FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数
量关系？请给出证明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，点 A是射线 ON上的一个定点，点 B是射线 OM上的一个动点，且满足 OB＞OA．点
C在线段 OA的延长线上，且 AC＝OB．如图 7，在线段 BO上截取 BE，使 BE＝OA，连接 CE．若∠OBA+∠OCE
＝β，当点 B在射线 OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请
说明理由．
（8）如图 8，正方形 ABCD中，AD＝6，点 E是对角线 AC上一点，连接 DE，过点 E作 EF⊥ED，交 AB
于点 F，连接 DF，交 AC于点 G，将△EFG沿 EF翻折，得到△EFM，连接 DM，交 EF于点 N，若点 F是
AB边的中点，则△EDM的面积是 ．
13
2
【答案】（1） AE EF，证明见解析；（2） BE (BC BF)；（3）4；（4）3；（5）见解析；（6）
2
15
NMF NMB，证明见解析；（7） 的大小不变， 45 ，理由见解析；（8）
2
【详解】（1）若点 F在线段 BC上， AE EF ,理由如下，
过点 E作YZ AD，交 AD于Y，交 BC于 Z ,
四边形 ABCD是正方形，
AD AB BC， DAB ABC C ADC 90
又 YZ AD
四边形 ABZY是矩形，
AY BZ
AD AB， BAD 90
ADB ABD DBC 45
△ZBE是等腰直角三角形
BZ EZ
BZ AY
ZE AY
Q AE EF
AEY FEZ 90
14
AYE 90
EAY AEY 90
FEZ EAY
AD//BC,YZ AD
YZ BC
AYE EZF 90
在△AEY与△EFZ 中，
FEZ EAY
ZE AY
EZF AYE
△AEY ≌△EFZ
AE EF
（2）若点 F在线段 CB 2的延长线上， BE (BC BF)，理由如下，
2
过 E分别向 AB,BC作垂线，垂足分别为T ,U ，
四边形 ABCD是正方形，
AB AD， BAD 90
四边形TBUE是矩形，
ADB ABD DBC 45
ET AB,EU BC
TB TE， EU BU ，
四边形TBUE是正方形
TE EU ,TE//FU
TEF EFU
Q AE EF
15
TEF AET 90
ET AB
EAT AET 90
TEF EAT
EFU EAT
在△TEA与△UEF 中
ATE FUE 90
EAT EFU
TE UE
△TEA≌△UEF
AE EF
过A 作 AV BD于V ,过F 作 FW BD的延长线于点W，如图，
四边形 ABCD是正方形，
AB AD， BAD 90
ADB ABD 45
设正方形的边长为 a，
AV BD
AV BV VD
在 RtV ABD中， BD AD2 AB2 2AD 2a，
AV 1 BD 2 a
2 2
Q AE EF， AV EV
AEV EFW 90 , AEV EAV 90
16
EFW EAV
FW WD, AV BD
FWE AVE 90
在△AEV 和△EFW 中
EFW EAV
FWE AVE
AE EF
△AEV ≌△EFW
EV FW
FBW DBC 45 ， FW WB
FBW 90 BFW 45
WFB WBF
FW WB
BF FW 2 BW 2 2BW
2
即 BW BF
2
BW EV
BE 2 BW BE EV BV AV a
2
2 BF BE 2 a
2 2
BC a
2
BF BE= 2 BC
2 2
2
即 BE (BC BF)
2
（3）如图
17
由（1）可得 AF FH ，故①正确，
AF FH , AF FH
AFH 是等腰直角三角形，
HAE 45
故②正确，
过A 作 AR BD于 R ,
AD AB, BAD 90
AR BR 1 DR BD
2
AR BD,HG BD
ARF FGH 90
AFR FAR 90 , AFR GFH 90
FAR HFG
又 AF FH
△ARF≌△FGH
AR FG
1
FG BD
2
故③正确，
如图，过点A 作 AQ HE于点Q，延长CB至Q，使 BP DE，
18
ADE ABP 90 , AB AD,DE BP
△ABP≌△ADE
DAE BAP
EAH 45 ， DAB 90
DAE HAB 45
BAP HAB 45
即 HAP EAH
AP AE, AH AH
△APH≌△AEH
HE HP
PH PB BH DE BH EH
△CEH的周长为CE EH HC CE DE BH HC CD BC 2BC
正方形的边长为 4
△CEH的周长为 2BC 8．
故④正确，
综上所述，故正确的结论有①②③④，共计 4 个
故答案为：4
（4）如图 4，
19
由（1）可得 AE EF ,故①正确；
如图，过 E作 PQ//DC ,交 AD,BC 分别为点 P,Q
四边形 ABCD是正方形
ADC DCB 90
PQ//DC
DPQ PQC 90
四边形 PDCQ是矩形
同理，四边形 ABQP是矩形，
DP CQ， AP BQ
PDE EBQ 45
△DPE,△EQB是等腰直角三角形
PE DP， EQ QB
四边形 ABQP是矩形
BQ AP
EQ AP
在 Rt EFQ与Rt△AEP中，
AE EF
AP EQ
20
Rt EFQ≌ Rt△AEP
PE QF
DP QF 1 CF
2
PDE 45 , DPE 90
DE 2 2DP CF
2
CF 2DE
故②正确
如图，过 F 作KF //PQ交 BD于点K ,KN PQ于 N
则四边形KNQF是矩形，
NK QF
KBF 45 , KFB 90
KB 2BF
由②可知 PD QF
NK DP， DPE KNE 90 ， KEN DEP，
△DPE≌△KNE，
DE EK，
BE BK EK DE 2 BF，
故④正确；
由于M 点的位置不确定，无法判断 S△AEM 和 S△MCF的关系，故③不正确，
综上所述正确的结论由①②④，共计 3 个；
故答案为：3，
（5）如图 5，在OD上取OH OM ，连接HM ，
21
OD OB,OH OM
HD MB, OHM OMH
DHM 180 45 135
BN平分 CBE
NBE 45
MBN 135
DHM MBN
DM MN， AOB 90
DMO NMB 90
DMO HDM 90
HDM NMB
△HDM 与 BMN中
HDM BMN
DH BM
DHM MBN
△HDM ≌ BMN
DM MN
（6）如图 6，在上一问的条件下，连接 DN交 BC于点 F，连接 FM， NMF NMB ，理由如下，
22
延长 BO至点A ，使得 AO CF ，连接 AD，过点M 作 MP DN 于点 F ，
DC DO, DOA DCF 90 ,CF AO
△AOD≌△FCD
CDF ODA， AD DF
DM MN ,DM MN
MDN 45
Q CDO 90
CDF MDO 90 FDM 45
ODA ODM 45 ADM
ADM FDM
在△ADM 与 FDM中，
AD AF
ADM FDM
DM DM
△ADM ≌ FDM
DFM DAM
MP DF
23
PMF PFM 90
DAO ADO 90
PMF ODA
MDO ODA 45
PMF MDO 45
DM MN ,MP DN
PM PN
PMN 45
NMF FMP NMP 45
NMF MDO
NMB MDO
NMF NMB
（7） 的大小不变， 45 ，理由如下，
过点C作CF //OB，且CF OA，连接 AF 交CE于点G，连接 BF，如图，
CF //OB，
BOA ACF 180
BOA 90
ACF 90
BOA ACF
又OB AC,OA CF
△BOA≌△ACF
BA AF , 1 2
24
4 5
1 3 90
2 3 90
BAF 180 ( 2 3) 90
5 45
1 7 2 7 6
BE//CF ,BE OA CF
四边形 BECF是平行四边形
BF //CE
5 6 45
7 1 45
即 =45
（8）如图，过 E作 PQ DC ，交DC于 P，交 AB于Q，连接 BE，
DC AB
PQ AB
四边形 ABCD是正方形，
ACD 45 ,
PEC是等腰直角三角形， PE PC
设 PC x,则PE x, PD 6 x， EQ 6 x
PD EQ
DPE EQF 90 ， PED EFQ
△DPE≌△EQF AAS
DE EF DE EF
25
DEF 是等腰直角三角形
DC BC, DCE BCE 45 ,CE CE △DEC≌△BEC SAS
DE BE
EF BE
EQ FB
FQ BQ 1 BF
2
AB AD 6 , F 是 AB的中点
BF 3
FQ BQ 3 PE
2
CE 3 2 ,PD 9
2 2
在 Rt DEP DE DP 2 PE 2 81 9 3 10中，
4 4 2
EF DE 3 10
2
过点 F 作 FH AC于点 H ，如图，
AD CD 6
AC 6 2
Q DC //AB
△DGC∽△FGA
CG CD 6 2
AG AF 3
CG 2AG
AG 2 2
GE AC AG CE 6 2 2 2 3 2 5 2 ，
2 2
26
FAC 45 ,HF AC
FAC AFH 45
AF 3
AH HF 3 2
2
HG 2
2
在 Rt HGF中， FG 2 18 HG2 HF 2 5
4 4
S 1 △EFG GE FH
1 3 2 5 2 15
2 2 2 2 4
将△EFG沿 EF翻折，得到△EFM，
S 15 △EFM ，4 FM FG 5， DFE EFM 45
DFM 90
DF DA2 AF 2 36 9 3 5
S 1 △DFM 3 5 5
15
2 2
S△EDM S 四边形 DFME S△DFM S△DEF S△EFM S△DFM
1 3 10 3 10 15 15 15
2 2 2 4 2 2
S 15△EDM 2
15
故答案为：
2
27《一线三等角相似》自主学习单
班级： 姓名
知识与技能梳理:
在几何问题中，一线三等角模型的本质是通过共线等角条件建立三角形全等或相似关系，中
考重点考查模型识别与应用能力。学生需掌握：①模型特征识别（共线等角、双垂线或斜边构
成相似三角形），能在坐标系、动态几何等场景中提取一线三垂直模型；②全等（等角+等边）
与相似（等角+成比例边）的判定条件，尤其关注通过补全辅助线构造模型的思维方法；③综
合运用时需防范角度对应错位等典型错误。近年各省市模拟题、中考题中多有考察一线三等角
模型综合题目，学生熟练掌握一线三等角能够更为快速的解决几何问题。教学中可以渗透数形
结合思想，突出解题规范比如比例式对应书写等。
模块一：模型直接应用——已知共线三等角，易得相似求解题
（一）典例精讲
例 1．如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若 BD=3，CE=2，求△ABC的边长．
1
例 2.（2024·齐齐哈尔中考）综合与实践
综合与实践：如图 1，这个图案是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽
弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图 2，在 ABC中， A 90 ，将线段
BC绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BD，作DE AB交 AB的延长线于点 E．
（1）【观察感知】如图 2，通过观察，线段 AB与DE的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图 3，连接CD并延长交 AB的延长线于点 F，若 AB 2 ， AC 6，求 BDF的面积；
BN
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交 BD于点 N，则 ______；
BC
（二）跟进练习
1.在△ABC 中， ACB 90 ， AC BC，直线MN经过点C，且 AD MN 于D， BE MN于 E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图 1 位置时，求证：DE AD BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图 2 位置时，试问：DE、 AD、 BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关
系，并加以证明；
（3）当直线MN绕点C旋转到图 3 位置时，DE、 AD、 BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需
证明）．
模块二：模型半构造——已知两角等值，补全第三角定模型
（一）典例精讲
例 3.如图,在 Rt△ABC 中,，∠C=90°∠AEB=135°，BE=3 2 ，DE⊥BE 交 AB 于点 D ，若 DE= 2 ，则
AE 的长为___.
2
例 4.如图，在矩形 ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点 E在边 CD上，且∠BEF＝90°，EF
1
＝ 2 BE，
3
DF＝ 5 ，则 BE＝ ．
4
（二）跟进练习
1.综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：
（1）如图 1，在等边△ABC 中，D为 BC边上一点，E为 AC边上一点， ADE 60 ， AB 6，BD 2，则
CE ______．
问题解决：
（2）如图 2，△ABC 是等边三角形，D是 BC的中点，射线DE，DF分别交 AB，AC于点 E，F，且 EDF 120 ，
求证：DE DF．
（3）如图 3， BAC 90 ， AB 6， AC 8，D是 BC的中点，射线DE，DF分别交 AB， AC于点 E，
DE
F，且 EDF 90 ，求 的值．
DF
模块三 ：模型全构造——已知单角等值，自主补全双角建体系
（一）典例精讲
例 5.，在四边形 ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5 5 ，求 BD的长．
3
例 6.如图，在正方形 ABCD中，点 E是边CD的中点，点 F在对角线 AC上，且BF EF，连接 BE交 AC
于点 G．若 AB 4，则线段 FG的长为 ．
（二）跟进练习
1.【模型探究】
如图，正方形 ABCD中，E是对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E作 EF⊥AE，交直线 CB于点 F．
（1）如图 1，若点 F在线段 BC上，写出 EA与 EF的数量关系并加以证明；
（2）如图 2，若点 F在线段 CB的延长线上，请直接写出线段 BC，BE和 BF的数量关系．
【模型应用】
（3）如图 3，正方形 ABCD中，AB＝4，E为 CD上一动点，连接 AE交 BD于 F，过 F作 FH⊥AE于 F，
过 H作 HG⊥BD于 G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为 8．正
确的结论有 个．
（4）如图 4，点 E是正方形 ABCD对角线 BD上一点，连接 AE，过点 E作 EF⊥AE，交线段 BC于点 F，
交线段 AC于点 M，连接 AF交线段 BD于点 H．给出下列四个结论，①AE＝EF；② 2 DE＝CF；③S△AEM
＝S△MCF；④BE＝DE+ 2 BF；正确的结论有 个．
【模型变式】
（5）如图 5，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD是正方形，且 D（0，2），点 E是线段 OB延长线上一
点，M是线段 OB上一动点（不包括点 O、B），作 MN⊥DM，垂足为 M，交∠CBE的平分线与点 N，求
证：MD＝MN
（6）如图 6，在上一问的条件下，连接 DN交 BC于点 F，连接 FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数
量关系？请给出证明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，点 A是射线 ON上的一个定点，点 B是射线 OM上的一个动点，且满足 OB＞OA．点
C在线段 OA的延长线上，且 AC＝OB．如图 7，在线段 BO上截取 BE，使 BE＝OA，连接 CE．若∠OBA+∠OCE
＝β，当点 B在射线 OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请
说明理由．
（8）如图 8，正方形 ABCD中，AD＝6，点 E是对角线 AC上一点，连接 DE，过点 E作 EF⊥ED，交 AB
于点 F，连接 DF，交 AC于点 G，将△EFG沿 EF翻折，得到△EFM，连接 DM，交 EF于点 N，若点 F是
AB边的中点，则△EDM的面积是 ．
4
5
