《圆与相似》自主学习单参考答案
模块一：圆中的 A 字型相似
（一）典例精讲
例题 1．如图，AB是 O 的直径，射线 BC交 O 于点 D，E是劣弧 AD上一点，且 AE D E ，
过点 E作 EF BC于点 F ，延长 FE和 BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF 是 O的切线；
（2）若 AG 3，GE 3 3，求 O 的半径和 EF 的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE， AE D E ， 1 2， 2 3， 1 3，
OE / /BF ，
BF GF ， 半径OE GF ， GF 是 O的切线；
（2）解：设OA OE r，在Rt GOE中， AG 3，GE 3 3，由OG2 GE 2 OE 2 ，
可得 (3 r)2 (3 3)2 r 2 ，解得：r 3，即 O 的半径为 3， OG AG OA 6， BF / /OE，
GE GO 3 3 6 3 3
，即 ， EF ．
EF OB EF 3 2
例题 2．如图，在△ ABC中， AB AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，点 P在 BC的
延长线上，且 BAC 2 P．
（1）求证：直线 AP是⊙O的切线；
3
（2）若 BC 6， tan P ，求⊙O的半径长及 tan PAC的值．
4
【解答】（ 1）证明：连接 AD ，如图， AB 为直径， AD BC ， AB AC ，
CAD BAD 1 BAC ．
2
BAC 2 P， CAD BAD P． P PAD 90 ， BAD PAD 90 ，
PAB 90 ，
OA PA． OA是 O的半径， 直线 AP是 O的切线；
（2）解：由（1）知： CAD BAD P， tan BAD tan P 3 tan BAD BD ， ，
4 AD
BD 3
．
AD 4
AB AC AD BC BD 1 3 3 ， ， BC 3， ， AD 4． AB BD2 AD2 5，
2 AD 4
O 5的半径长为 ；过点C作CE PA E tan P 3 EC 于点 ，如图， ， 设 EC 3k，
2 4 PE
则 PE 4k，
PC PE2 EC2 5k ． CE PA AB EC PC 3k 5k ， PA， EC / /AB， ， ，
AB PB 5 5k 6
k 7 7 7 24 EC 7解得： ． EC ． AE AC 2 EC 2 52 ( )2 ， tan PAC ．
15 5 5 5 AE 24
（二）跟进练习
1．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为 E，
AE交 O于点D，直线 EC交 AB的延长线于点 P，连接 AC， BC．
（1）求证： AC平分 BAD；
（2）若 AB 6， AC 3 3 ，求 EC和 PB的长．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图， PE是 O的切线， OC PE， AE PE，
OC / /AE， DAC OCA， OA OC， OCA OAC， DAC OAC， AC
平分 BAD；
（2） AB是 O 的直径， ACB 90 在Rt ABC中，BC AB2 AC2 36 27 3，
在Rt ABC和Rt ACE中， DAC OAC， AEC ACB 90 ， Rt ABC∽Rt ACE，
AC : AB EC : BC ， 即 3 3 : 6 3 3 EC : 3 ， EC ； 在 Rt ACE 中 ，
2
AE AC 2 27 9 EC 2 27 ，
4 2
又 OC / /AE ， Rt ABC∽Rt ACE， OC : AE PO : PA，即 3: 9 (PB 3) : (PB 6)，
2
PB 3．
2．如图，以 ABC的 AC边为直径作 O，交 AB于点 D， E是 AC上一点，连接DE并延
长交 O于点 F ，连接 AF ，且 AFD B．
（1）求证： BC是 O的切线．
（2）当 AE AD时，
①若 FAC 25 时，求 B的大小；
②若OA 5， AD 6，则DE的长为 ．
【解答】（1）证明：如图 1，连接CD． AC是 O的直径， ADC 90 ，
CAD ACD 90 ． 又 AFD ACD ， AFD B ， CAD B 90 ，
AC BC，
BC 是 O的切线．
（2）解：① FAC 25 ， FDC 25 ，
ADE ADC FDC 90 25 65 ． AE AD， ADE AED 65 ，
CAD 180 2 65 50 ．又 CAD B 90 ， B 40 ．
12 5
② ．如图 2，过点 E作 EH CD交CD于点H ， EH / /AD． OA 5， AD 6，
5
AC 10， AE 6，OE 1， EC 4， CD AC2 AD2 102 62 8．
EH / /AD EH EC CH EH 4 CH 4 12 16 24， ， ， ， EH ，CH ， DH ．
AD AC CD 6 10 8 10 5 5 5
EH 12 24又 CD， DE EH 2 DH 2 ( )2 ( )2 12 5 ．
5 5 5
模块二：圆中的母子型相似
（一）典例精讲
例题 1．如图，D为⊙O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E，若 BC＝6，tan∠CDA＝ ，求 BE的长．
【解答】（1）证明：连 OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1
＝90°，
又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠
CDO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+
∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠OEB，∴∠CDA＝∠OEB．而 tan∠CDA＝ ，∴tan∠OEB＝ ＝ ，∵
Rt△CDO∽Rt△CBE，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CD＝ ×6＝4，在 Rt△CBE中，设 BE
＝x，∴（x+4）2＝x2+62，
解得 x＝ ．
例题 2．如图，D为⊙O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且 CD2＝CA CB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E，若 BC＝10， ，求 BE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接 OD，∵CD2＝CA CB，∴ ，∵∠C＝∠C，∴△
DCA∽△BCD，
∴∠ADC＝∠DBC，∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠DBO，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝
90°，
∴∠BDO+∠ODA＝∠CDA+∠ODA＝90°，∴OD⊥CD，∴CD为 O0的切线；
（2）∵BE、CE是⊙O的切线，∴ED＝EB，∵△DCA∽△BCD，∴∠DBA＝∠CDA，∴
＝tan∠DBA＝tan∠CDA＝ ，∴CD＝ BC＝6，设BE＝x，则DE＝x，CE＝x+6．在
Rt△CBE中，
（x+6）2＝x2+102，解得：x＝ ，
∴BE＝ ．
（二）跟进练习
1. 如图， AB为 O的直径，C、D为圆上两点，连接 AC、CD，且 AC CD，延长DC
与 BA的延长线相交于 E点．
（1）求证： EAC∽ ECO；
（2 tan EOC 3 EC）若 ，求 的值．
4 EO
【解答】（1）证明： AC CD， AOC COD， AO CO DO，
OAC 1 (180 AOC) 1， OCD (180 COD)， OAC OCD，
2 2
180 OAC 180 OCD， EAC ECO，
又 CEA OEC， EAC∽ OEC；
（2）如图，过点C CF 3 CF作 AB于 F ， tan EOC ， 设CF 3a， FO 4a，
4 FO
CO CF 2 FO2 5a ， AO CO 5a ， AF a ， AC AF 2 CF 2 10a ，
EAC∽ OEC，
EC AC 10
．
EO CO 5
2. 如图，在Rt△ABC中，点O在斜边 AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与 BC、
AB相交于点D、 E，连接 AD，已知 CAD B .
(1)求证： AD是 O的切线：
(2)若 B 30 ， AC 3 .求劣弧 BD与弦 BD所围阴影图形的面积；
(3)若 AC 4， BD 6，求 AE的长.
【解答】（1）证明：连接 OD，如图 1所示：∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠
1＝∠3，
在 Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，则 AD为⊙O的切线；
（2）解：连接 OD，作 OF⊥BD于 F，如图 2所示：∵OB＝OD，∠B＝30°，∴∠ODB＝
∠B＝30°，
∴∠DOB＝120°，∵∠C＝90°，∠CAD＝∠B＝30°，
∴CD＝ AC＝1，BC＝ AC＝3，∴BD＝BC﹣CD＝2，∵OF⊥BD，
∴DF＝BF＝ BD＝1，OF＝ BF＝ ，∴OB＝2OF＝ ，
∴ 劣 弧 BD 与 弦 BD 所 围 图 形 的 面 积 ＝ 扇 形 ODB 的 面 积 ﹣ △ ODB 的 面 积 ＝
﹣ ×2× ＝ ﹣ ；
（3）解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴ ＝ ＝ ，
∴AC2＝CD×BC＝CD（CD+BD），即 42＝CD（CD+6），解得：CD＝2，或 CD＝﹣8（舍去），
∴CD＝2，∴AD＝ ＝2 ，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝4 ，∵AD
是⊙O的切线，
∴AD2＝AE×AB，∴AE＝ ＝ ＝ ．
3. 如图，Rt ABC内接于 O，AC BC ， BAC的平分线 AD与 O交于点 D，与 BC交
于点 E，延长 BD，与 AC的延长线交于点 F ，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证： AE BF ；
（3）若OG DE 4，求 AE的长．
【解答】（1）解：OG CD，理由如下：如图，连接OC，OD， OC OD，G是CD的
中点，
由等腰三角形的性质得OG CD；
（2）证明： AB是直径， ACB 90 ， CAE CBF ，在Rt ACE与Rt BCF中，
ACE BCF 90 ，AC BC ， CAE CBF ， ACE BCF (ASA)， AE BF ；
（3）解：如图，过点O作 BD的垂线，垂足为H ，则H 为 BD的中点， AD 2OH ，
又 CAD BAD， CD BD， OH OG， DBE DAC BAD， BDE∽ ADB，
BD DE
，即 BD2 AD DE， BD2 AD DE 2OG DE 8， BD 2 2 ，又 BD FD，
AD DB
BF 2BD 4 2，由（2）知 AE BF ， AE 4 2 ．
模块三：圆中的射影定理
（一）典例精讲
例 1. 已知：AB为 O 的直径，C 是 O 上一点，如图，AB 12，BC 4 3．BH 与 O
相切于点 B，过点C 作 BH 的平行线交 AB于点 E．
（1）求CE 的长；（ ABC中的射影定理）
（2）延长CE 到 F ，使 EF 2 ，连接 BF 并延长 BF 交 O 于点G ，求 BG的长；
（3）在（2）的条件下，连接GC并延长GC交 BH 于点 D，求证： BD BG．
1 ABC BC AB【分析】（ ）只要证明 ，可得 ，由此即可解决问题．
CE AC
（2）连接 AG．只要证明 ABG FBE BG BE∽ ，可得 ，由 BE (4 3)2 (4 2)2 4 ，
AB BF
再求出 BF ，即可解决问题．
（3）通过计算首先证明CF FG，推出 FCG FGC，由CF / /BD，推出 GCF BDG，
推出 BDG BGD即可证明．
【解答】解：（1） BH 与 O 相切于点 B，
AB BH ，
BH / /CE，
CE AB，
AB是直径，
CEB ACB 90 ，
CBE BC AB ABC ， ABC∽ CBE， ，
CE AC
AC AB2 BC2 4 6， CE 4 2．
（2）连接 AG．
FEB AGB 90 ， EBF ABG，
ABG BG BE∽ FBE， ，
AB BF
BE (4 3)2 (4 2)2 4， BF BE2 EF 2 3 2 ，
BG 4
， BG 8 2．
12 3 2
（3）易知CF 4 2 2 5 2， GF BG BF 5 2，
CF GF ，
FCG FGC ，
CF / /BD， GCF BDG， BDG BGD， BG BD．
例 2. 如图所示，已知四边形 ABCD内接于 O ， A 是弧 BAC 的中点， AE AC 于 A ，与
O 及CB的延长线分别交于点 F 、 E ，且 BF AD， EM 切 O 于M ．
（1）求证： ADC∽ EBA；
1
（2）求证： AC 2 BC CE（先处理系数，在 AEC 中用射影定理）；
2
（3）如果 AB 4 ， EM 6 ，求 tan∠CAD的值．
【分析】（1）由四边形 ABCD内接于 O ，可得 CDA ABE ．又由 AD BF ，可得
DCA BAE ，即可证得： ADC∽ EBA；
（2）由题意易证得 ACH∽ ECA，又由垂径定理，可证得： AC 2
1
BC CE ；
2
（3）由 EM 2是 O 的切线， EM 6，可得 EB EC EM 36．又由 AC 2
1
BC CE ，即
2
可得 BC CE 32．继而求得答案．
【解答】（1）证明： 四边形 ABCD内接于 O ，
CDA ABE ．
AD BF ，
DCA BAE ，
ADC∽ EBA．
（2）证明：如图所示，过 A作 AH EC于H ．
A是 B DC 的中点．
HC HB 1 BC ．
2
CAE 90 ，
CAE CHA 90 ，
ACE HCA，
ACH∽ ECA，
AC CH
，
CE AC
AC 2 CH CE 1 BC CE ．
2
（3）解： A是弧 BAC 的中点， AB 4 ，
AC AB 4 ．
EM 是 O 的切线， EM 6，
EB EC EM 2 36．①
AC 2 1 BC CE ，
2
BC CE 32 ．②
① ②得， EC(EB BC) 17 ，
EC 2 68．
EC 2 AC 2 AE 2 ，
AE 68 16 2 13 ．
ADC∽ EBA，
CAD AEC．
在Rt AEC 4 2 13中，tan∠CAD=tan∠AEC= = = ．
2 13 13
（二）跟进练习
1. 如图，PA为 O 的切线，A为切点，直线 PO 交 O 与点 E ，F 过点 A作 PO 的垂线 AB
垂足为D，交 O 与点 B ，延长 BO 与 O 交与点C ，连接 AC ， BF ．
（1）求证： PB与 O 相切；
（2）试探究线段 EF ，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；
（3）若 AC 12 ， tan
1
F ，求 cos ACB 的值．
2
【分析】（1）连接OA，由OP 垂直于 AB ，利用垂径定理得到D为 AB 的中点，即OP 垂
直平分 AB ，可得出 AP BP，再由OA OB，OP OP，利用 SSS 得出三角形 AOP与
三角形 BOP全等，由 PA为圆的切线，得到OA垂直于 AP ，利用全等三角形的对应角相
等及垂直的定义得到OB 垂直于 BP，即 PB为圆O的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形 AOD与三角形OAP 相似，由相似得比例，
列出关系式，由OA为 EF 的一半，等量代换即可得证．
（3）连接 BE ，构建直角 BEF ．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理
可设 BE x ， BF 2x ，进而可得 EF 5x；然后由面积法求得 BD
2 5
x，所以根
5
据垂径定理求得 AB 的长度，在Rt ABC中，根据勾股定理易求 BC 的长；最后由余弦三
角函数的定义求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
PA与圆O相切， PA OA，即 OAP 90 ，
OP AB， D为 AB 中点，即OP 垂直平分 AB ， PA PB，
AP BP
在 OAP和 OBP 中， OP OP， OAP OBP(SSS )，
OA OB
OAP OBP 90 ， BP OB ，
则直线 PB为圆O的切线；
（2 2）答： EF 4DO PO．
证明： OAP ADO 90 ， AOD POA， OAD∽ OPA，
OA OD
，即OA2 OD OP，
OP OA
EF 为圆的直径，即 EF 2OA，
1
EF 2 OD OP，即 EF 2 4OD OP；
4
（3）解：连接 BE ，则 FBE 90 ．
tan 1 BE 1 F ， ， 可设 BE x ， BF 2x ，
2 BF 2
则由勾股定理，得 EF BF 2 BE2 5x，
1 2 5BE BF 1 EF BD ， BD x．
2 2 5
4 5
又 AB EF ， AB 2BD x ，
5
Rt ABC 中， BC 5x，
AC 2 AB2 BC 2 ，
122 ( 4 5 x)2 ( 5x)2 ，
5
解得： x 4 5 ，
BC 4 5 5 20，
cos ACB AC 12 3 ．
BC 20 5
2.如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，以斜边 AB 为直径作 O ，以直角边 AC 为底边向右
侧作等腰 ACD，使 AB AD CD，连接OD交 AC 于点 E ．
（1）求证：OD / /BC ；
（2）若 tan ABC 2 ，求证： DA 与 O 相切；
（3）在（2）条件下，连接 BD 交于 O 于点 F ，连接 EF ，若 BC 2，求 EF 的长．
【分析】（1）连接OC ，证 AOD COD ，推出点 E 为 AC 的中点，且DE AC ，推出OE
是 ABC 的中位线，即可推出结论；
（2）设 BC a，由 ABC 的正切值为 2，可推出 AC 的长，利用勾股定理求出 AB 的长，
得到 AD，CD 的长，在 AOD中利用勾股定理的逆定理证出 AOD为直角三角形，可得出
结论；
（3 2 2）分别证 AFD∽ BAD ， AED∽ OAD，推出DF BD AD ，OD DE AD ，进一
步证明 EDF∽ BDO，由 BC 的长可逐步求出 AB ， AD，OD， ED ， BD ，OB 的长，
最后利用相似三角形对应边的比求出 EF 的长．
【解答】解：（1）如图 1，连接OC ，
AB为 O 的直径， AO CO，
又 AD CD，OD OD，
AOD COD(SSS ) ，
ADE CDE ，即 DE 为 ADC的平分线
又 ACD是等腰三角形 点 E 为 AC 的中点，且DE AC ，
又 点O为 AB 的中点， OE 是 ABC 的中位线，
OE / /BC，即OD / /BC ；
（2）在Rt ABC中，
tan AC ABC 2 ， 设 BC a，则 AC 2a，
BC
AD AB AC2 BC2 5a，
OE 是 ABC 的中位线，
1 1 1 5
OE BC a， AE CE
1
AC a， AO BO AB a，
2 2 2 2 2
在Rt AED中，DE AD2 AE2 2a，
在 AOD中， AO2 AD2 (
5 a)2 ( 5a)2 25 a2 ，
2 4
OD2 (OE 1 25 DE)2 ( a 2a)2 a2 ， AO2 AD2 OD2 ，
2 4
AOD为直角三角形， OAD 90 ，
DA与 O 相切；
（3）如图 2，连接 AF ，
AB为 O 的直径， AFB 90 ， AFD 90 ， AFD BAD，
DF AD又 ADF BDA， AFD∽ BAD， ，即DF BD AD2 ，
AD BD
又 BAD C ， ADE ODA，
AED∽ OAD AD DE， ，即OD DE AD 2 ，
OD AD
DF BD OD DE DF DE，即 ，
OD BD
EF DE又 EDF BDO， EDF∽ BDO， ， EF
DE OB
，
OB BD BD
BC 2， AB AD 2 5 ，OD 5， ED 4， BD 2 10 ，OB 5 ，
EF 4 5 2．
2 10《圆与相似》自主学习单
班级： 姓名：
知识与技能梳理：
“圆”是《义务教育数学课程标准》中的核心章节，属于“图形与几何”领域的重要内
容. 与相似三角形这一高频考点的紧密关联，可以解决许多与圆相关的长度、角度、比例和
证明的问题. 在中考中，这类题目常以计算、证明或综合题的形式出现，题型多为中档题或
压轴题中的局部环节，掌握后能显著提升得分率.
深圳中考数学对圆中的 A 字型相似、母子型相似及射影定理的考查非常系统，通常结
合圆的几何性质综合命题. 其中，“圆中的 A 字相似”的考查频率较高，通常结合切线、割
线、相交弦等几何图形，综合考查相似三角形的判定、比例关系及代数计算能力；“圆中的
母子型相似”通过公共角+公共边构造相似，常出现在直径所对的圆周角问题中；“圆中的射
影定理”隐含在圆中直角三角形中，需通过作高构造双垂直模型，再应用射影定理快速计算.
深圳中考对圆中相似模型的考查逻辑清晰、层次分明，掌握模型特征、熟记结论，并注
重与代数计算的结合，是突破此类题型的关键！
模块一：圆中的 A 字型相似
内容讲解（A 字模型）
①
②
③
（一）典例精讲
例题 1．如图，AB是 O 的直径，射线 BC交 O 于点 D，E是劣弧 AD上一点，且 AE D E ，
过点 E作 EF BC于点 F ，延长 FE和 BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF 是 O的切线；
（2）若 AG 3，GE 3 3，求 O 的半径和 EF 的长．
例题 2．如图，在△ ABC中， AB AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，点 P在 BC的
延长线上，且 BAC 2 P．
（1）求证：直线 AP是⊙O的切线；
（2）若 BC 6， tan P 3 ，求⊙O的半径长及 tan PAC的值．
4
（二）跟进练习
1．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为 E，
AE交 O于点D，直线 EC交 AB的延长线于点 P，连接 AC， BC．
（1）求证： AC平分 BAD；
（2）若 AB 6， AC 3 3 ，求 EC和 PB的长．
2. 如图，以 ABC的 AC边为直径作 O，交 AB于点D， E是 AC上一点，连接DE并延
长交 O于点 F ，连接 AF ，且 AFD B．
（1）求证： BC是 O的切线．
（2）当 AE AD时，
①若 FAC 25 时，求 B的大小；
②若OA 5， AD 6，则DE的长为 ．
模块二：圆中的母子型相似
内容讲解（母子模型）
①
②
③
（一）典例精讲
例题 1．如图，D为⊙O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E，若 BC＝6，tan∠CDA 2＝ ，求 BE的长．
3
例题 2．如图，D为⊙O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且 CD2＝CA CB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2 3）过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E，若 BC＝10，tan∠CDA＝ ，求 BE的长．
5
（二）跟进练习
1. 如图， AB为 O的直径，C、D为圆上两点，连接 AC、CD，且 AC CD，延长DC
与 BA的延长线相交于 E点．
（1）求证： EAC∽ ECO；
（2）若 tan EOC 3 EC ，求 的值．
4 EO
2. 如图，在Rt△ABC中，点O在斜边 AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、
AB相交于点D、 E，连接 AD，已知 CAD B .
(1)求证： AD是 O的切线：
(2)若 B 30 ， AC 3 .求劣弧 BD与弦 BD所围阴影图形的面积；
(3)若 AC 4， BD 6，求 AE的长.
3. 如图，Rt ABC内接于 O，AC BC ， BAC的平分线 AD与 O交于点D，与 BC交
于点 E，延长 BD，与 AC的延长线交于点 F ，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证： AE BF ；
（3）若OG DE 4，求 AE的长．
模块三：圆中的射影定理
内容讲解（射影定理）
①
②
③
（一）典例精讲
例题 1. 已知：AB为 O的直径，C是 O上一点，如图，AB 12 ，BC 4 3 ．BH 与 O
相切于点 B，过点C作 BH 的平行线交 AB于点 E．
*（1）求CE的长；
（2）延长CE到 F ，使 EF 2 ，连接 BF并延长 BF交 O于点G，求 BG的长；
（3）在（2）的条件下，连接GC并延长GC交 BH 于点 D，求证： BD BG．
例题 2. 如图所示，已知四边形 ABCD内接于 O， A是弧 BAC的中点， AE AC于 A，
与 O及CB的延长线分别交于点 F 、 E ，且 BF AD， EM 切 O于M ．
（1）求证： ADC∽ EBA；
*（2 1）求证： AC 2 BC CE ；
2
（3）如果 AB 4 ， EM 6，求 tan∠CAD的值．
（二）跟进练习
1. 如图，PA为 O的切线，A为切点，直线 PO交 O与点 E ，F 过点 A作 PO的垂线 AB
垂足为D，交 O与点 B ，延长 BO与 O交与点C，连接 AC， BF ．
（1）求证： PB与 O相切；
*（2）试探究线段 EF ，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
1
（3）若 AC 12， tan F ，求 cos ACB的值．
2
2.如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，以斜边 AB为直径作 O，以直角边 AC为底边向右
侧作等腰 ACD，使 AB AD CD，连接OD交 AC于点 E ．
（1）求证：OD / /BC；
（2）若 tan ABC 2，求证： DA与 O相切；
*（3）在（2）条件下，连接 BD交于 O于点 F ，连接 EF ，若 BC 2，求 EF 的长．
