2025年深圳市中考备考百师助学培优课程——第24讲《方程应用综合》教学设计

“方程应用综合”教学设计
设计者：深圳市罗湖区桂园中学 陈维扬
一、教学目标：
1.知识与技能：通过分析问题中的等量关系，建立方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过运用一次方程（组）、二次方程、分式方程解决实际问题，培养学生观察、归纳、应用能力。
3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
二、教学重点：建立数学模型，找出等量关系。
教学难点：列方程解决实际问题。
教学过程：
模块一：一次方程(组)应用综合
一次方程（组）的综合应用在初中阶段主要是运用一元一次方程及两元一次方程组解决实际问题。在选填中一般为根据已知条件列方程(组)；在解答题中为根据已知条件,设未知数,列方程(组)并解决实际问题。
题目背景一般从实际生活中的问题出发,常与当下热点信息、数学文化等结合。问题类型主要有:购买问题、销售(打折)问题、分配问题、工程问题、行程问题、几何图形问题。解答题中一般为2问,除单独考查一次方程(组)的实际应用外,还会与一次函数、分式方程、不等式等的实际应用结合。
（一）真题再现：例1．（2024 深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为米，则与的关系式是 　；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由．
例2（2023 深圳）某商场在世博会上购置，两种玩具，其中玩具的单价比玩具的单价贵25元，且购置2个玩具与1个玩具共花费200元．
（1）求，玩具的单价；
（2）若该商场要求购置玩具的数量是玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个玩具？
自我检测
1．（2020 深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
2．（2019 深圳）有、两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发电多少度？
（2）、两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾两倍，求厂和厂总发电量的最大值．
3．（2024 珠海一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共50件．
素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2 求奖品的购买方案 购买钢笔和笔记本数量的方案．
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定符合条件的一种兑换方式．
模块二： 二次方程应用综合
二次方程的综合应用在初中阶段主要是运用一元二次方程来解决实际问题,或运用一元二次方程的有关性质解决一些代数问题,如运用一元二次方程解的概念和根的判别式求相关代数式的值等.运用二次方程解决实际问题的关键是找等量关系。解答题中一般为1~2问,除单独考查一次方程(组)的实际应用外,还会与一次函数、分式方程、不等式等的实际应用结合.
真题再现
例1．（2025 深圳模拟）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为．
（1）起飞区的边的长为 　　（用含的代数式表示）；
（2）若起飞区的面积为，求原正方形空地的边长．
例2．（2017 深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
自我检测
1、2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
（1）据统计某“巳升升”电商平台2024年12月份的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件，若月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）某实体店“巳升升”的进价力每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则售价应降低多少元？
2、（2023 澄城县一模）某商店销售一款工艺品，每件成本为100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是160元时，每月的销售量是200件，而销售单价每降价1元，每月可多销售10件．设这种工艺品每件降价元．
（1）每件工艺品的实际利润为 　 　元（用含有的式子表示）；
（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为15000元，且要求降价不超过20元，那么每件工艺品应降价多少元？
3、（2022 盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量（个与销售单价（元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
模块三： 分式方程应用综合
分式方程的综合应用主要是列分式方程解应用题，列分式方程解应用题的关键是找到相等关系列出方程。如果方程中含有字母表示的已知数,需根据题意变换条件，实现转化，设未知数而不求解是常见的技巧之一。
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的基本思想是化为整式方程有两种做法:一是去分母;二是换元。解分式方程一定要验根,所以在利用分式方程解应用题时,一定要注意验根。
真题再现
例1．（2022 深圳）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
例2．（2024 深圳模拟）某水果商贩用600元购进了一批水果，上市后销售非常好，商贩又用1400元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元．
（1）求该商贩第一批购进水果每箱多少元；
（2）由于储存不当，第二批购进的水果中有腐坏，不能售卖，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于800元，求每箱水果的售价至少是多少元？
自我检测
1.据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？
2.（2025 南山区一模）综合与实践
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元天，乙部门3000元天．
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
问题解决：
任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个传统艺术织品？
任务2．拟订设计方案
①若设甲部门工作天，则甲部门完成传统艺术织品　　 个，乙部门工作时间可表示为　　 天．
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
3.（2025 榆社县一模）“冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元．
（1）求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元．
（2）若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个？
五、作业布置