自主学习单 答案
知识技能梳理
新函数图像探究题是近些年中考数学的一种新题型，注重对学生观察、分析、解决问题的能力及知识
迁移和运用能力的考查，具有一定的综合性和跳跃性，在学习中需要不断去总结和思考，掌握常见类型的
题目的解题思路和方法。
新函数图像探究题是建立在学生已经学习的一次函数、反比例函数和二次函数基础之上，将基本函数
进行组合、变形、平移等形成新的函数，是对函数图像与性质的综合运用。
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函
数解决问题“的学习过程．新函数图像的探究题的学习也是同样的过程。
函数图象性质的探究题常见问题：
①求变量的取值范围：根据解析式中分式、二次根式等有意义的条件，列出不等式(组)进行求解；
②描点、连线画函数图象：用平滑的曲线依次连接各点即可；
③写函数的相关性质：根据图象，从最值、增减性、对称性、特殊点等方面入手即可；
④函数与方程或不等式综合考查，观察函数图像求值或取值范围，理解函数图像的交点的坐标与方程
的解的关系，掌握在同一坐标系中不同函数的值的大小与函数图像的位置关系是解题的关键.
⑤函数与几何综合、函数与实践探究及新定义的考查。
模块一：新函数的四种常见类型
一、绝对值函数
解决含有绝对值的新函数图像探究题，关键是根据自变量的取值范围，去绝对值，将含有绝对值的函
数表达式分为几段，然后再分别组图和分析。
例 1. 学完一次函数后，小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的
( ≥ 0)
性质，由于在七年级学习了绝对值的意义：| | = ( ≤ 0)，请你帮助小明完成下列问题．
（1）【探索】探究函数 y＝2|x﹣2|﹣1 的图象与性质：当 x≥2时，y＝2|x﹣2|﹣1＝2x﹣5，当 x＜2时，
y＝2|x﹣2|﹣1＝﹣2x+3；
①列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 3 1 ﹣1 1 3 5 …
②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出 y＝2|x﹣2|﹣1的图象．
③多选题：结合图象，下列说法正确的有 ．
A．函数最小值是﹣1 B．x＞2时，y值随 x值的增大而增大
C 3 5．当 x≤ 2或 x≥ 2时，y≥0 D．当 1＜x≤4时，1＜y≤3
1
（2）【拓展应用】若关于 x的方程 2|x﹣2|﹣1= 2x+m有两个均大于 1的实数解，结合图象直接写出m
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的取值范围．
【解答】
解：（1）②如图所示，
③答案为：A、B、C．
1 1
（2）直线 = 2 + 经过点（1，1）时，方程有一根等于 1，另一根大于 1，∴此时 = 2；
直线 = 12 + 经过点 （2，﹣1）时，方程只有一个解 x＝2，此时 m＝﹣2．
1
综上， 2＜ ＜ 2．
针对训练：
某数学兴趣小组在探究函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 …
y1＝x2﹣4x+3 … 15 8 0 0 3 15 …
y＝|x2﹣4x+3| … 15 8 0 0 3 15 …
第 2页（共 17页）
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数 y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答： ．
（2）数学小组探究发现直线 y＝8与函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点 E，F，E（﹣1，8），F（5，8），
则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是 ．
（3）设函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象与 x轴交于 A，B两点（B位于 A的右侧），与 y轴交于点 C．
①求直线 BC的解析式；
②探究应用：将直线 BC沿 y轴平移 m（m≥0）个单位长度后与函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有 3 个
交点，求此时 m的值．
【解答】
解：（Ⅰ）列表（完成表格）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 …
y1＝x2﹣4x+3 … 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 …
y＝|x2﹣4x+3| … 15 8 3 0 1 0 3 8 15 …
（Ⅱ）描点并画图．
（Ⅲ）x轴下方图象关于 x轴对称，x轴上方图象不变；
（2）x＞5或 x＜﹣1
（3）①A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设直线 BC的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
0 = 3 + ， = 1，
则 ∴ ∴y＝﹣x+3；
3 = ， = 3，
②直线 BC过（0，3），（2，1）和（3，0）三个点，此时 m＝0．
设直线 BC向上平移后的直线为 y＝﹣x+3+m，
∵平移后的直线与函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象恰好有 3个交点，
= + 3 +
则 = 2 + 4 3只有一个解，
∴Δ＝1﹣4m 1＝0，∴m= 4．
1
综上所述，m＝0或 m= 4时恰好有 3个交点．
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二、分段函数
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．解决分
段函数问题的关键是确定好每一分段内的函数关系式，作出相对应的图像，然后分析和判断。
例 2. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于 m的部分
关于直线 x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 m的部分共同构成一个新的函数图象，则
这个新函数叫做原函数关于直线 x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数 y＝x+1的图象，则它关于直
+ 1( ≥ 0)
线 x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为 = ，也可
+ 1( ＜0)
以写成 y＝|x|+1．
（1）在图③中画出函数 y＝﹣2x+1关于直线 x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数 y＝x2﹣2x+2关于直线 x＝﹣1的“镜面函数”与直线 y＝﹣x+m有三个公共点，求 m的值．
（3）已知 A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数 y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直
线 x＝0的“镜面函数”图象与矩形 ABCD的边恰好有 4个交点，求 n的取值范围．
【解答】
解：（1）如图，
（2）如图，
\当直线 y＝﹣x+m经过点（﹣1，5）时，m＝4；
当直线 y＝﹣x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：﹣x+m＝x2﹣2x+2，
x2 x+2 m 7整理得， ﹣ ﹣ ＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4（2﹣m）＝0，解得，m= 4，
7
综上，m的值为 4或 ；
4
（3）函数 y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式为 y＝x2+2nx+2（n＞0），
x 1 3当 ＝﹣ 时，y＜0，∴1﹣2n+2＜0，解得， ＞ 2；
2 8 4
2
当 y＝x ﹣2nx+2（n＞0）的顶点在 CD上时， = 2，
4
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3
解得 n＝2或 n＝﹣2（舍），∴ ＜ ＜2，
2
当 x＝3时，y＜﹣2，∴9﹣6n+2＜﹣2 13，解得， ＞ 6 ；
3
综上，n的取值范围为 ＜ ＜2或 13＞ 6 ．2
针对训练：
( ≥ 1)
【定义】在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b′），给出如下定义：若 ′ = ，
( ＜1)
则称点 Q为点 P的限变点，例如：点（2，4）的限变点的坐标是（2，4），点（﹣2，5）的限变点的坐
标是（﹣2，﹣5）．
【应用】
（1）①点( 2，1)的限变点的坐标是 ；
② 2以下三个选项中的点是反比例函数 = 图象上某一个点的限变点的是 ．
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2）
（2）若点 P在一次函数 y＝﹣x+3（﹣2≤x≤6）的图象上，请在如图平面直角坐标系中，画出点 P的
限变点 Q的函数图象，并根据图象直接写出点 Q的纵坐标 b'的取值范围为 ．
【解答】（1）①( 2，1)；
②B．
（2）
画图象如下：﹣5≤b'≤2
三、高次函数
在初中阶段我们学习的一次函数和二次函数中自变量 x的指数为 1次和 2次，还存在在自变量 x的指
数大于 2次的函数，在初中阶段接触的不多，但我们也可以通过画其函数图像，分析和探究其性质。
例 3. 1小云在学习过程中遇到一个函数 y= 6|x|（x
2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0 时，对于函数 y1＝|x|，即 y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0 时，y1随 x的增大而 ，且 y1
＞0；对于函数 y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随 x的增大而 ，且 y2＞0；结合上述分析，进一
步探究发现，对于函数 y，当﹣2≤x＜0时，y随 x的增大而 ．
第 5页（共 17页）
（2）当 x≥0时，对于函数 y，当 x≥0时，y与 x的几组对应值如下表：
x 0 1 1 3 2 5 3 …
2 2 2
y 0 1 1 7 1 95 7 …
16 6 16 48 2
结合上表，进一步探究发现，当 x≥0 时，y随 x的增大而增大．在平面直角坐标系 xOy中，画出当 x
≥0时的函数 y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于 x轴的直线 l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 l与函
数 y= 1 26|x|（x ﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则 m的最大值是 ．
【解答】解：（1）减小，减小，减小；
（2）函数图象如图所示：
7
（3） ．
3
针对训练：
某数学兴趣小组的同学借鉴课本研究二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的经验，继续研究函数 y＝x4﹣2x2﹣1．
探索研究
（1）先探究函数 y＝x4﹣2x2﹣1的图象与性质．
①填写下表，画出该函数的图象：
x … ﹣2 3 ﹣1 1 0 1 1 3 2 …2 2 2 2
y … …
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请
你通过配方求函数 y＝x4﹣2x2﹣1 的最大或最小值．
解决问题
（2）设平行于 x轴的直线与 y轴的交点坐标为（0，k），试讨论函数 y＝x4﹣2x2﹣1的图象与该平行于
x轴的直线公共点的个数．（直接写出答案）、
【解答】解：（1）①填表如下：
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x … ﹣2 3 ﹣1 1 0
1
1
3 2 …
2 2 2 2
y … 7 7 ﹣2 23 ﹣1 23 ﹣2 7 7 …16 16 16 16
画图如下：
②函数图象关于 y轴对称；
函数图象有两个最低点；
当﹣1≤x≤0或 x≥1时，y随 x的增大而增大；
当 0≤x≤1或 x≤﹣1时，y随 x的增大而减小；
函数图象与 x轴有两个公共点．
③y＝（x2﹣1）2﹣2，
当 x2﹣1＝0时，即 x＝±1时，函数 y有最小值﹣2．
（2）当 k＝﹣2或 k＞﹣1时，有 2个公共点；
当 k＝﹣1时，有 3个公共点；
当﹣2＜k＜﹣1时，有 4个公共点．
四、组合函数
将我们所学过的基本函数，像正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的关系式通过加减运算，
形成新的函数关系式。
1 1 1 1
例 4．有这样一个问题：探究函数 y= x22 + 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数 y= x
2
2 +
的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）下表是 y与 x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 1 12
1 1 2 3 …
3 3 2
y … 25 3 1
55 17 3 5
2
15 53 m …
6 2 8 18 18 8 2 2
1
函数 y= x2+ 12 的自变量 x的取值范围是 ，m的值为 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系 xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大
致图象；
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与 x轴有 个交点，
1 1
所以对应方程 x2+ =0有 个实数根；2
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1
②方程 x2+ 1 =2有 个实数根；2
③结合函数的图象，写出该函数的一条性质 ．
29
【解答】解：（1）x≠0， ．
6
（2）函数图象如图所示．
（3）①1，1．②3．
③函数没有最大值或这个函数没有最小值，函数图象没有经过第四象限
针对训练：
1
小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：y＝x+ ．小明首先观察函数表达式，确
定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的性质．请你协助小明完成下列
问题：
（1）自变量 x的取值范围： ；
（2）列表求值 y＝x+ 1 ，请你协助小明补全表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 ﹣0.1 0.1 0.5 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ 10 1 1 12 2 2 3 …
2 2 3
1 1 1 1
3 2 10
3 2 10 10
1
（3）请你画出函数 y＝x+ 的大致图象，并试着写出它的两条性质．
性质： ．
【解答】
解：（1）x≠0；
1
（2）列表求值 y＝x+ ，请你协助小明补全表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 ﹣0.1 0.1 0.5 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ 10 12 2
1 1
2 3 …
2 2 3
1 1
3 2 ﹣2
1 1 1
﹣2 10
3 2 2 10 10
（3）如图所示：
性质：①该函数没有最小值没有最大值；②该函数图象关于原点对称．
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模块二：函数与综合探究
一、函数与几何综合探究
例 1. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图
象的相关性质进行研究．
把“T”形尺按图 1摆放，水平宽 AB的中点为 C，图象的顶点为 D，测得 AB为 m厘米时，CD为 n厘
米．
【猜想】
（1）探究小组先对 y＝x2的图象进行多次测量，测得 m与 n的部分数据如表：
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图 2的直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点．
猜想：n与 m的关系式是
【验证】
（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的 n与 m也存在类似的关系式，并
针对二次函数 y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”
内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母 a，m，n，h，k表示答案）
□方法 1 □方法 2
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如图 3，平移二次函数图象，使得顶点 D移到原点 如图 4，顶点 D的横坐标加 个单位，纵坐标加 n
2
O的位置，则：
个单位得到点 B的坐标，所以点 B坐标
A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n，
为 ；
C'B= ′ ′ 2 = 2， 将点 B坐标代入 y＝a（x﹣h）
2+k，
所以点 B′坐标为 ； 得到 n与 m的关系式
将点 B′坐标代入 y＝ax2， 是 ．
得到n与m的关系式是 ．
【应用】
（3）已知 AB∥x轴且 AB＝4，两个二次函数 y＝2（x﹣h）2+k和 y＝a（x﹣h）2+d的图象都经过 A，B
两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为 10时，求 a的值．
【解答】
解：（1）描点连线绘制函数图象如下：
n= 14m
2；
1
（2 1）方案一：（ m，n），n= am24 ；2
1
方案二：（h+ 2m，k+n），n=
1 2
4am ；
（3）①当 a＞0时，此时抛物线开口方向向上，
2 a= 4 1 n=
2
由（ ）知 2， 4 ，
2
∵y＝2 x 2×4（ ﹣n）2+k，∴n1= 4 =8，∵两个函数图象的顶点之间的距离为 10，∴n2＝18，
a= 4×18∴ 42 =
9
2；
②当 a＜0 1时，同理可得：n2＝﹣2，此时 a= 2
9 1
综上，a= 2或 2．
第 10页（共 17页）
针对训练
【问题提出】
如图（1）在△ABC中，∠A＝90°，D为 AB中点，点 P沿折线 D﹣A﹣C运动（运动到点 C停止），
以 DP为边在 DP上方作正方形 DPEF．设点 P运动的路程为 x，正方形 DPEF的面积为 y．
【初步感悟】
（1）当点 P在 AD上运动时，
①若 = 3，则 y＝ ；
②y关于 x的函数关系式为 ；
（2）当点 P从点 A运动到点 C时，经探究发现 y是关于 x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函
数图象，直线 x＝2是其图象所在抛物线的对称轴，求 y关于 x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形 DPEF的对角线 DE，PF，两对角线的交点为 M，在（2）的情况下，求点 A在△DFM
内部时 x和 y的取值范围．
【解答】
解：（1）①3；②y＝x2；
（2）当 x＝2时，点 P与点 A重合，∴AD＝2，此时 y＝22＝4，
连接 CD，由题图（2）可知点 P与点 C重合时，y＝20，即 CD2＝20，
在 Rt△ACD中，AD2+AC2＝CD2，即 22+AC2＝20，
∴AC＝4（负值已舍），
当点 P在 AC上运动时，x＝AD+AP＝2+AP，
∴AP＝x﹣2，
∴在 Rt△ADP中，DP2＝AD2+AP2＝22+（x﹣2）2＝x2﹣4x+8，
∴y＝x2﹣4x+8，
即当点 P在 AC上运动时，y关于 x的函数关系式为 y＝x2﹣4x+8（2≤x≤6）；
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（3）由（2）知，AD＝2，AC＝4，
又∵D为 AB的中点，
∴AB＝4＝AC，
取 AC的中点 N，连接 DN，如图 2，
1
∴AN= 2AC＝2＝AD，DN是△ABC的中位线，
∴DN∥BC，
又∵∠A＝90°，∴△ADN是等腰直角三角形，∵四边形 DPEF是正方形∴△MDP是等腰直角三角形，
点 P在线段 CN（不含点 N）上运动时，点 A在△DFM内部，
当点 P运动到点 N处时，x＝2+2＝4，此时 y＝x2﹣4x+8＝8；
当 x＝6，y＝62﹣4×6+8＝20；
∴点 A在△DFM内部时 x的取值范围为 4＜x≤6，y的取值范围为 8＜y≤20．
二、函数与实践综合探究
例 2. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取
得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台
边缘正上方以击球高度 OA为 28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近
似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为 x（单位：cm），测得如下数
据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
x/cm
竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0
y/cm
（1）在平面直角坐标系 xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹
形状的大致图象；
第 12页（共 17页）
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，
到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
技术分析：如果只上下调整击球高度 OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长 OB
为 274cm，球网高 CD为 15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度 OA的值约为 1.27cm．请
你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B处时，击球高度 OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
解：（1）①49；230；
②设抛物线解析式为 y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入，解得：a＝﹣0.0025，∴抛物线解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49；
（2）当 OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49，
设平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，
当 x＝274 时，y＝0，∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0，解得：h＝64.39；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点 B处时，击球高度 OA的值为 64.39cm．
12．【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约 80%的火灾都在充
电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自
行车充电车棚的消防设备进行研究．
任务一：调查分析
（1）图 1悬挂的是 8公斤干粉灭火器，图 2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA＝OB，喷射角∠
AOB＝60°，地面有效保护直径 AB为 2 3米，喷嘴 O距离地面的高度 OC为 3 米；
任务二；模型构建
第 13页（共 17页）
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降
温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图 3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示
意图为矩形 OABC，创新小组以点 O为坐标原点，墙面 OA所在直线为 y轴，建立如图 4所示的平面直
角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头 M安装在离地高度为 3米，距离墙面水平距离为 2米处，
即 OA＝3米，AM＝2米，水喷射到墙面 D处，且 OD＝1米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头 M的地面有效保护直径 OE为 米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度 OC为 7米，电动车电池的离地高度为 0.2米．创新小组想在喷淋头 M的同一
水平线 AB上加装一个喷淋头 N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头 N距离喷
淋头 M至少 米．
【解答】解：3；
任务二：（2）①设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3（a≠0）．
1
∵经过点（0，1），∴1＝a（0﹣2）2+3．解得：a= 2．
1
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为：y= 2（x﹣2）
2+3．
②当 y＝0时，0= 1 22（x﹣2） +3．解得：x1＝2+ 6，x2＝2 6（不合题意，舍去）．
∴OE＝2+ 6．
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1
任务三：（3）设抛物线解析式为：y= 2（x﹣2﹣b）
2+3．
7 0.2 1 2 2∵经过点（ ， ），∴ 22（7﹣2﹣b） +3＝0.2．∴b1＝5+ 5 35（超过 7米，舍去），b2＝5 5 35．
模块三：函数与新定义
例 1
【概念学习】
在平面直角坐标系中，点 M的坐标为（x1，y1），若图形 F上存在一点 N（x2，y2），且满足当 x1＝x2时，
MN≤2，则称点 M为图形 F的一个“垂近点”．
【初步理解】
（1）如图 1，图形 F为线段 AB，点 A（﹣1，2），B（3，2）．
①试判断点 M（1.5，0） （填“是”或“不是”）线段 AB的“垂近点”．
②请在图中画出点 M所有可能的位置．（用阴影部分表示）
【知识应用】
（2）若图形 F为直线 y＝b，二次函数 y＝ax2+2ax+a﹣ 图象上仅有一个“垂近点”，求 b的值．
（3）如图 2，若图形 F为抛物线 y＝ ﹣4，正方形 ABCD的边长为 2，中心（对角线的交点）为 P
（a，0），如果正方形 ABCD上存在“垂近点”，求出 a的取值范围．
【解答】解：（1）①：是；
②M所有可能的位置，如图所示，
（2）化成顶点式，y＝a（x+1）2 32，
a 3 1 3 7当 ＜0时，b= 2+ 2 = 2，当 a＞0时，b= 2 2 = 2，
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b= 1 7∴ 2或 b= 2，
（3）∵点 P（a，0）是正方形的中心，正方形的边长为 2，
∴A（a﹣1，﹣1），B（a+1，﹣1），C（a+1，1），D（a﹣1，1），
M 1当点 与点 D重合时， ( 1， 4 ( 1)
2 4)，
MN= 1∴ 4 ( 1)
2 4﹣1＝2，
解得：a＝1+2 7或 a＝1﹣2 7（不合题意，舍去），
1
当点 M与点 B重合时， ( + 1， 4 ( + 1)
2 4)，
1
∴MN＝﹣1 4 ( + 1)
2 +4＝2，
解得：a＝1或 a＝﹣3（舍），
1
当点 M与点 C重合时， ( + 1， 4 ( + 1)
2 4)，
1
∴MN= 4 ( + 1)
2 4﹣1＝2，
解得：a＝﹣1﹣2 7或 a＝﹣1+2 7（舍），
当点 M与点 A重合时， ( 1 1， 4 ( 1)
2 4)，
MN 1∴ ＝﹣1 ( 1)24 +4＝2，
解得：a＝﹣1或 a＝3（舍），
∴当 1≤a≤1+2 7 1或﹣1﹣2 7 ≤a≤﹣1时，正方形上存在抛物线 y= 4
2 4的“垂近点”．
针对训练：
定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点（1，
1 1 1 1 1）和( 3， 3 )是函数图象 y= 2 + 2的“等距点”．
（1）判断函数 y＝x2+2x的图象是否存在“等距点“？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，
说明理由；
（2 y= 4）设函数 图象的“等距点”为 A、B，函数 y＝﹣x+b图象的“等距点”为 C，若△ABC的面积
为 2 3时，请直接写出满足条件的函数 y＝﹣x+b的表达式；
（3）若函数 y＝﹣x2+2x+2m+2 图象只存在 2个“等距点”，试求出 m的取值范围．
【解答】解：（1）令 x2+2x＝x，解得 x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数 y＝x2+2x的图象上有两个“等距点”（0，0）或（﹣1，﹣1），
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令 x2+2x＝﹣x，解得 x1＝0，x2＝﹣3，
∴函数 y＝x2+2x的图象上有两个“等距点”（0，0）或（﹣3，3），
综上所述，函数 y＝x2+2x的图象上有三个“等距点”（0，0）或（﹣1，﹣1）或（﹣3，3）；
4
（2）令 = x，
解得 x1＝﹣2，x2＝2，则 A（﹣2，2），B（2，﹣2），∴AB＝4 2，
2
令﹣x+b＝x，解得：x= 2，则点 C（ ， ），∴CO=2 2 2
|b|，
S 1∴ △ABC= 2AB CO，即 2 3 =
1 ×4 2 × 22 2 |b|，解得：b＝± 3，则 y＝﹣x± 3；
此外，当 b＝0 任意 C都为等距点，故：y＝﹣x，
综上，y＝﹣x± 3或 y＝﹣x；
（3）令 x＝﹣x2+2x+2m+2，整理得：x2﹣x﹣2m﹣2＝0，Δ＝1+4（2m+2 9）＝8m+9，m＞ 8，此时在
一、三象限有 2个“等距点”．
令﹣x＝﹣x2+2x+2m+2，整理得，x2﹣3x﹣2m﹣2＝0，则Δ＝32+4（2m+2）＝8m+17 m 17， ＞ 8，Δ＞0，
此时在二四象限有 2个“等距点”．
17 9
综上， 8 ＜m＜ 8．
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第 17页（共 17页）自主学习单
知识技能梳理
新函数图像探究题是近些年中考数学的一种新题型，注重对学生观察、分析、解决问题
的能力及知识迁移和运用能力的考查，具有一定的综合性和跳跃性，在学习中需要不断去总
结和思考，掌握常见类型的题目的解题思路和方法。
新函数图像探究题是建立在学生已经学习的一次函数、反比例函数和二次函数基础之上，
将基本函数进行组合、变形、平移等形成新的函数，是对函数图像与性质的综合运用。
在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性
质一一运用函数解决问题“的学习过程．新函数图像的探究题的学习也是同样的过程。
函数图象性质的探究题常见问题：
①求变量的取值范围：根据解析式中分式、二次根式等有意义的条件，列出不等式(组)
进行求解；
②描点、连线画函数图象：用平滑的曲线依次连接各点即可；
③写函数的相关性质：根据图象，从最值、增减性、对称性、特殊点等方面入手即可；
④函数与方程或不等式综合考查，观察函数图像求值或取值范围，理解函数图像的交点
的坐标与方程的解的关系，掌握在同一坐标系中不同函数的值的大小与函数图像的位置关系
是解题的关键.
⑤函数与几何综合、函数与实践探究及新定义的考查。
模块一：新函数的四种常见类型
一、绝对值函数
解决含有绝对值的新函数图像探究题，关键是根据自变量的取值范围，去绝对值，将含
有绝对值的函数表达式分为几段，然后再分别组图和分析。
例 1. 学完一次函数后，小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图
( ≥ 0)
象研究函数的性质，由于在七年级学习了绝对值的意义：| | = ( ≤ 0)，请你帮助小明
完成下列问题．
（1）【探索】探究函数 y＝2|x﹣2|﹣1 的图象与性质：当 x≥2时，y＝2|x﹣2|﹣1＝2x﹣
5，当 x＜2时，y＝2|x﹣2|﹣1＝﹣2x+3；
①列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 3 1 ﹣1 1 3 5 …
②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出 y＝2|x﹣2|﹣1的
图象．
③多选题：结合图象，下列说法正确的有 ．
A．函数最小值是﹣1 B．x＞2时，y值随 x值的增大而增大
1
C 3 5．当 x≤ 2或 x≥ 2时，y≥0 D．当 1＜x≤4时，1＜y≤3
1
（2）【拓展应用】若关于 x的方程 2|x﹣2|﹣1= 2x+m有两个均大于 1的实数解，结合图
象直接写出 m的取值范围．
针对训练：
某数学兴趣小组在探究函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过程：
（Ⅰ）列表（完成以下表格）．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 …
y1＝x2﹣4x+3 … 15 8 0 0 3 15 …
y＝|x2﹣4x+3| … 15 8 0 0 3 15 …
（Ⅱ）描点并画出函数图象草图（在备用图①中描点并画图）．
（Ⅲ）根据图象解决以下问题：
（1）观察图象：函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象可由函数 y1＝x2﹣4x+3的图象如何变化得到？
答： ．
（2）数学小组探究发现直线 y＝8与函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象交于点 E，F，E（﹣1，8），
F（5，8），则不等式|x2﹣4x+3|＞8的解集是 ．
（3）设函数 y＝|x2﹣4x+3|的图象与 x轴交于 A，B两点（B位于 A的右侧），与 y轴交
于点 C．
①求直线 BC的解析式；
2
②探究应用：将直线 BC沿 y轴平移 m（m≥0）个单位长度后与函数 y＝|x2﹣4x+3|的图
象恰好有 3个交点，求此时 m的值．
二、分段函数
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段
函数．解决分段函数问题的关键是确定好每一分段内的函数关系式，作出相对应的图像，然
后分析和判断。
例 2. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量
大于 m的部分关于直线 x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 m的部分共同
构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线 x＝m的“镜面函数”．例如：
图①是函数 y＝x+1的图象，则它关于直线 x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它
+ 1( ≥ 0)
的“镜面函数”的解析式为 = ，也可以写成 y＝|x|+1．
+ 1( ＜0)
（1）在图③中画出函数 y＝﹣2x+1关于直线 x＝1的“镜面函数”的图象．
（2）函数 y＝x2﹣2x+2关于直线 x＝﹣1的“镜面函数”与直线 y＝﹣x+m有三个公共点，
求 m的值．
（3）已知 A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数 y＝x2﹣2nx+2
（n＞0）关于直线 x＝0的“镜面函数”图象与矩形 ABCD的边恰好有 4个交点，求 n的
取值范围．
针对训练：
【定义】在平面直角坐标系 xOy中，对于点 P（a，b）和点 Q（a，b′），给出如下定义：
( ≥ 1)
若 ′ = ，则称点 Q为点 P的限变点，例如：点（2，4）的限变点的坐标是（2，
( ＜1)
4），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．
3
【应用】
（1）①点( 2，1)的限变点的坐标是 ；
② 2以下三个选项中的点是反比例函数 = 图象上某一个点的限变点的是 ．
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2）
（2）若点 P在一次函数 y＝﹣x+3（﹣2≤x≤6）的图象上，请在如图平面直角坐标系中，
画出点 P 的限变点 Q 的函数图象，并根据图象直接写出点 Q 的纵坐标 b'的取值范围
为 ．
三、高次函数
在初中阶段我们学习的一次函数和二次函数中自变量 x的指数为 1次和 2次，还存在在
自变量 x的指数大于 2次的函数，在初中阶段接触的不多，但我们也可以通过画其函数图像，
分析和探究其性质。
例 3. 1小云在学习过程中遇到一个函数 y= 6|x|（x
2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数 y1＝|x|，即 y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随 x的增大而 ，
且 y1＞0；对于函数 y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随 x的增大而 ，且 y2＞0；结
合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当﹣2≤x＜0时，y随 x的增大而 ．
（2）当 x≥0时，对于函数 y，当 x≥0时，y与 x的几组对应值如下表：
x 0 1 1 3 2 5 3 …
2 2 2
y 0 1 1 7 1 95 7 …
16 6 16 48 2
结合上表，进一步探究发现，当 x≥0 时，y随 x的增大而增大．在平面直角坐标系 xOy
中，画出当 x≥0时的函数 y的图象．
4
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于 x轴的直线 l，结合（1）（2）的分析，解决问题：
若直线 l 1与函数 y= 6 |x|（x
2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则 m 的最大值
是 ．
针对训练：
某数学兴趣小组的同学借鉴课本研究二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的经验，继续研究函数
y＝x4﹣2x2﹣1．
探索研究
（1）先探究函数 y＝x4﹣2x2﹣1的图象与性质．
①填写下表，画出该函数的图象：
x … ﹣2 3 ﹣1 1 0 1 1 3 2
2 …
2 2 2
y … …
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以
通过配方得到．请你通过配方求函数 y＝x4﹣2x2﹣1 的最大或最小值．
解决问题
（2）设平行于 x轴的直线与 y轴的交点坐标为（0，k），试讨论函数 y＝x4﹣2x2﹣1的
图象与该平行于 x轴的直线公共点的个数．（直接写出答案）
四、组合函数
将我们所学过的基本函数，像正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的关系式
通过加减运算，形成新的函数关系式。
5
例 4. 1 1有这样一个问题：探究函数 y= 2x
2+ 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对
函数 y= 12x
2+ 1 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）下表是 y与 x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 1 1 1 1 2 3 …2 3 3 2
y … 25 3 55 17 3 5 1 15 53 m …
6 2 2 8 18 18 8 2 2
1 1
函 数 y = 22 x + 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ， m 的 值
为 ；
（2）在如图所示的平面直角坐标系 xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画
出该函数的大致图象；
（3）进一步探究函数图象发现：
1
① 1函数图象与 x轴有 个交点，所以对应方程 x2+ =0有 个实数根；2
1
② 1方程 x2+ =2有 个实数根；2
③结合函数的图象，写出该函数的一条性质 ．
针对训练：
1
小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数：y＝x+ ．小明首先观察
函数表达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的
性质．请你协助小明完成下列问题：
（1）自变量 x的取值范围： ；
（2）列表求值 y＝x+ 1 ，请你协助小明补全表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 ﹣0.1 0.1 0.5 1 2 3 …
y … 1 1 1 1 1 1 1﹣3 ﹣2 ﹣10 10 2 2 2 3 …
3 2 10 10 2 2 3
6
（3 1）请你画出函数 y＝x+ 的大致图象，并试着写出它的两条性质．
性质： ．
模块二：函数与综合探究
一、函数与几何综合探究
例 1. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用
它对二次函数图象的相关性质进行研究．
把“T”形尺按图 1摆放，水平宽 AB的中点为 C，图象的顶点为 D，测得 AB为 m厘米
时，CD为 n厘米．
【猜想】
（1）探究小组先对 y＝x2的图象进行多次测量，测得 m与 n的部分数据如表：
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图 2的直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点．
猜想：n与 m的关系式是
【验证】
（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的 n与 m也存在类似
7
的关系式，并针对二次函数 y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）的情况进行了推理验证．请从下表
中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母 a，
m，n，h，k表示答案）
□方法 1 □方法 2
如图 4，顶点 D的横坐标加 个单位，纵坐
2
如图 3，平移二次函数图象，使得顶点 D移
标加 n个单位得到点 B的坐标，所以点 B
到原点 O的位置，则：
坐标为 ；
A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n，
将点 B坐标代入 y＝a（x﹣h）2+k，
C'B= ′ ′ = 2 2， 得到 n与 m的关系式
所以点 B′坐标 是 ．
为 ；
将点 B′坐标代入 y＝ax2，
得到 n与 m的关系式
是 ．
【应用】
（3）已知 AB∥x轴且 AB＝4，两个二次函数 y＝2（x﹣h）2+k和 y＝a（x﹣h）2+d的图
象都经过 A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为 10时，求 a的值．
针对训练
【问题提出】
如图（1）在△ABC中，∠A＝90°，D为 AB中点，点 P沿折线 D﹣A﹣C运动（运动到
点 C停止），以 DP为边在 DP上方作正方形 DPEF．设点 P运动的路程为 x，正方形
DPEF的面积为 y．
8
【初步感悟】
（1）当点 P在 AD上运动时，
①若 = 3，则 y＝ ；
②y关于 x的函数关系式为 ；
（2）当点 P从点 A运动到点 C时，经探究发现 y是关于 x的二次函数，并绘制成如图
（2）所示的函数图象，直线 x＝2 是其图象所在抛物线的对称轴，求 y关于 x的函数关
系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形 DPEF的对角线 DE，PF，两对角线的交点为 M，在（2）的情况下，
求点 A在△DFM内部时 x和 y的取值范围．
二、函数与实践综合探究
例 2. 乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠
军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面
示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 OA为 28.75cm的高度，将乒乓球向正前
方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为 y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为 x（单位：cm），
测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
9
x/cm
竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0
y/cm
（1）在平面直角坐标系 xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示
乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对
面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度 OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了
确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 OA的取值范围，以利于有针
对性的训练．如图②，乒乓球台长 OB为 274cm，球网高 CD为 15.25cm．现在已经计算
出乒乓球恰好过网的击球高度 OA的值约为 1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球
台边缘点 B处时，击球高度 OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
针对训练
【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约 80%
的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为
主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
任务一：调查分析
（1）图 1悬挂的是 8公斤干粉灭火器，图 2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA＝
OB，喷射角∠AOB＝60°，地面有效保护直径 AB为 2 3米，喷嘴 O距离地面的高度 OC
为 米；
10
任务二；模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的
水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自
行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图 3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建
造，其截面示意图为矩形 OABC，创新小组以点 O为坐标原点，墙面 OA所在直线为 y
轴，建立如图 4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头 M安装在离
地高度为 3米，距离墙面水平距离为 2米处，即 OA＝3米，AM＝2米，水喷射到墙面 D
处，且 OD＝1米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头 M的地面有效保护直径 OE为 米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度 OC为 7 米，电动车电池的离地高度为 0.2米．创新小组想在喷
淋头 M的同一水平线 AB上加装一个喷淋头 N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有
电动车电池，喷淋头 N距离喷淋头 M至少 米．
模块三：函数与新定义
例 1
11
【概念学习】
在平面直角坐标系中，点 M的坐标为（x1，y1），若图形 F上存在一点 N（x2，y2），且满
足当 x1＝x2时，MN≤2，则称点 M为图形 F的一个“垂近点”．
【初步理解】
（1）如图 1，图形 F为线段 AB，点 A（﹣1，2），B（3，2）．
①试判断点 M（1.5，0） （填“是”或“不是”）线段 AB的“垂近点”．
②请在图中画出点 M所有可能的位置．（用阴影部分表示）
【知识应用】
（2）若图形 F为直线 y＝b，二次函数 y＝ax2+2ax+a﹣ 图象上仅有一个“垂近点”，
求 b的值．
（3）如图 2，若图形 F为抛物线 y＝ ﹣4，正方形 ABCD的边长为 2，中心（对角线
的交点）为 P（a，0），如果正方形 ABCD上存在“垂近点”，求出 a的取值范围．
针对训练：
定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例
1 1 ( 1 1 1 1如，点（ ， ）和 3， 3 )是函数图象 y= 2 + 2的“等距点”．
（1）判断函数 y＝x2+2x的图象是否存在“等距点“？如果存在，求出“等距点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
4
（2）设函数 y= 图象的“等距点”为 A、B，函数 y＝﹣x+b图象的“等距点”为 C，若
△ABC的面积为 2 3时，请直接写出满足条件的函数 y＝﹣x+b的表达式；
（3）若函数 y＝﹣x2+2x+2m+2 图象只存在 2个“等距点”，试求出 m的取值范围．
12
