罗湖区中考备考“百师助学”
《二次函数中的线段最值问题》自主学习单答案
模块一：
铅垂线段的求法——横坐标相同
水平线段的求法——纵坐标相同
例1．如图，抛物线与x轴交于A（-2，0）B（6，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），连接BC．
（1）直接写出线段BC所在直线的函数表达式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N．求线段PN长的最大值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
令y＝0，则，
即x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝﹣2或x＝6，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），
设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
将点B（6，0），C（0，4）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴线段BC所在直线的函数表达式为；
（2）∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，
∵PM⊥x轴交BC于点N，
∴点N的坐标为，
∵点P在线段BC上方的抛物线上，
0＜m＜6且，
∵，且0＜m＜6，
∴当m＝3时，PN有最大值，线段PN长的最大值为3．
例2．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．
（1）求直线L的解析式；
（2）如图，M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交直线L于点N，求MN的最大值．
解：（1）∵点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，
解得，
即抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线L：y＝kx﹣1过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣k﹣1，
解得k＝﹣1，
即直线L的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵MN∥x轴交直线L于点N，
∴点N的纵坐标为m2﹣2m﹣3，
∵点N在直线y＝﹣x﹣1上，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，
解得x＝﹣m2+2m+2，
∴点N的坐标为（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），
∴MN＝（﹣m2+2m+2）﹣m＝﹣（m）2，
∴当m时，MN取得最大值，此时MN，
即MN的最大值是．
跟进练习：
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值及直线BC的表达式；
（2）M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标．
解：（1）∵对称轴是直线x＝1，
故，
解得m＝1，
故抛物线的表达式为，
令y＝0，即，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴B（4，0），
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）设点M的坐标为，则点D的坐标为（t，﹣t+4），
∴，
∴当线段MD的长取最大值时，t＝2，
∴M（2，4）．
模块二
斜线段的求法——化斜为直
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x﹣5图象经过A(5,0)，B(-1,0), C(0,5)三点．
直线CA的表达式为：y＝x﹣5
问题：若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
例4．二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，直线AC:y＝x+4点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
跟进练习：
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点坐标为（1，4）．
（1）求直线AB与这个二次函数的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（3，0），顶点坐标为（1，4），
∴设该抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∴0＝a（3﹣1）2+4，
解得a＝﹣1，
∴该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
即∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
即点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝kx+d，
，
解得，
即直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）作DM⊥x轴于点M，交直线AB于点N，如图所示，
设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点N的坐标为（m，﹣m+3），
则DN＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，
∴当m时，DN取得最大值，此时点D的坐标为（，），
∵点B（0，3），点A（3，0），
∴OB＝OA，
∴∠BAO＝45°，
∵∠NMA＝90°，
∴∠MNA＝45°，
∴∠DNE＝∠MNA＝45°，
∴DE＝DN sin∠DNE＝DN sin45°DN，
∴DE的最大值是．
2.．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴，
解得b＝2，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c，
可得﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0，
解得c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将C（0，3），B（3，0）代入，
可得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
如图，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线BC于点K，
设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点K的坐标为（m，﹣m+3），
∴MK＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵MH⊥x轴，OC⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴∠OCN＝∠MKN，∠CON＝∠KMN，
∴△OCN∽△MKN，
∴，
∴当最大时，
，，
∴点M的坐标为；
模块三
面积，周长——转化为竖直线段
例5．已知某二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，4），且图象经过点（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）该二次函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点P是二次函数图象对称轴上一点，且PB+PC的值最小，求点P的坐标．
②若在直线AC上方的抛物线上有一点M，使得△MAC的面积最大，求点M的坐标．
解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+3）2+4，
将点C的坐标代入上式得：﹣5＝a（0+3）2+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）①点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接AC交抛物线的对称轴于点P，
则此时PB+PC的值最小，
理由：PB+PC＝PA+PC＝AC为最小，
由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为：（﹣5，0）、（﹣1，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣5，
当x＝﹣3时，y＝﹣2，即点P（﹣3，﹣2）；
②过点M作MH∥y轴交AC于点H，
设点M（x，﹣x2﹣6x﹣5），则点H（x，﹣x﹣5），则MH＝﹣x2﹣5x，
则△MAC的面积MH×OA5（﹣x2﹣5x）（x）2，
当x时，等号成立，即取得最大值，
此时点M（，）．
例6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），交x轴于点A（﹣1，0），
∴由题意得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）令，
解得x＝4或﹣1，即点B（4，0），
当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
∵PE∥y轴，
∴∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，
∴，，
设直线BC的表达式为y＝kx+b′，将B（4，0）、C（0，2）代入得，
解得，
∴直线BC的表达式为，
设，则，
∴，
由得抛物线开口向下，当m＝2时，PE有最大值，为2，此时，点P（2，3），
∴C△PDE最大值，
∴△PDE周长的最大值为，此时点P（2，3）；
试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/2 12:14:18；用户：黎幼彦；邮箱：13620901286；学号：22920665
跟进练习：
1．如图1，已知二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A、B，与y轴的交点为C．过点A的直线l：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与抛物线另一交点为E，交y轴于D．
（1）用含k的式子表示直线l的解析式；
（2）若a＝3，k，点P为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN⊥AD于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A，
∴y＝0时，ax2﹣a＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵直线l：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）过点A，
∴﹣k+b＝0，
∴b＝k，
∴直线l的解析式为y＝kx+k；
（2）∵a＝3，k，
∴二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y，
∴D（0，），
∴OA＝1，OD，
∴AD，
设点P的坐标为（x，3x2﹣3），则点M （x，），
∴PM，
∵PM∥y轴，
∴∠PMN＝∠ADO．
又∵∠PNM＝∠AOD＝90°，
∴△PMN∽△ADO，
∴，
∴，
∴当PM有最大值时，S△PMN的面积最大，此时x，
∴，
∴．
2．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
连接BD，交对称轴于点P，
∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴点B坐标为（1，0），
∴BD3，
又∵AD，
∴△PAD周长的最小值为3．
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《二次函数中的线段最值问题》自主学习单
一．知识点梳理
中考题中二次函数的综合题，目的是考查考生的综合能力.一般第(1)问求函数的解析式，考查考生对二次函数概念的理解及基本计算;第(2)问求线段的和、差，比，周长或面积的最值，考查考生对函数的图象和性质、坐标特点的理解，也初步培养考生“解析几何”理念，培养学生转化问题的能力，考查考生对相似和特殊图形的边、角关系的理解能力
二．技能梳理
利用二次函数求线段最值
方法步骤：
①根据点在图象上满足函数解析式，设出动点坐标；
②根据宽高公式、两点间距离公式等表示出三角形的面积、周长，线段长度或比等；
③根据表示出的函数关系式和动点范围求出最值.（借助相似三角形，三角函数进行线段转化）
三：学习过程
模块一：
铅垂线段的求法——横坐标相同
水平线段的求法——纵坐标相同
例1．如图，抛物线与x轴交于A（-2，0）B（6，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），连接BC．
（1）直接写出线段BC所在直线的函数表达式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N．求线段PN长的最大值．
例2．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴的交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．
（1）求直线L的解析式；
（2）如图，M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交直线L于点N，求MN的最大值．
跟进练习：
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值及直线BC的表达式；
（2）M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D．当线段MD的长取最大值时，求点M的坐标．
模块二
斜线段的求法——化斜为直
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x﹣5图象经过A(5,0)，B(-1,0), C(0,5)三点．
直线CA的表达式为：y＝x﹣5
问题：若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
例4．二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，直线AC:y＝x+4点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
跟进练习：
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点坐标为（1，4）．
（1）求直线AB与这个二次函数的解析式；
（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AB的距离DE最大时，求点D的坐标，并求DE最大距离是多少？
2.．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
模块三
面积，周长——转化为竖直线段
例5．已知某二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，4），且图象经过点（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）该二次函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
①若点P是二次函数图象对称轴上一点，且PB+PC的值最小，求点P的坐标．
②若在直线AC上方的抛物线上有一点M，使得△MAC的面积最大，求点M的坐标．
例6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/2 12:14:18；用户：黎幼彦；邮箱：13620901286；学号：22920665
跟进练习：
1．如图1，已知二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A、B，与y轴的交点为C．过点A的直线l：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与抛物线另一交点为E，交y轴于D．
（1）用含k的式子表示直线l的解析式；
（2）若a＝3，k，点P为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN⊥AD于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；
2．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．
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