安徽安庆市重点中学2024--2025高一下学期联考试卷
数 学 试 题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1.已知G是的重心,点D满足,若,则为( )
A. B. C. D.1
2.如图,在中,,,为上一点,且满足 ,若,,则值为( )
A. B. C. D.
3.若复数z满足,那么的最大值是( )
A.1 B. C.2 D.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,边BC上一点D满足,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是
A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD
C.异面直线AD与CB1角为60° D.AC1⊥平面CB1D1
6.在中,A为直角,,,若用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知四面体中,,分别是,的中点,若,,与所成角的度数为30°,则与所成角的度数为( )
A.90° B.45° C.60° D.30°
8.设三棱柱的侧棱垂直于底面,,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
多项选择题:每小题6分,共18分.有选错的得0分,部分选对的部分分.
9.已知,内角分别对应边则下列命题中正确的是( )
A.若,则为钝角三角形
B.在锐角中,不等式恒成立
C.若,则的面积为
D.若,且有两解,则的取值范围是
10.已知圆锥的底面半径为1,高为,为顶点,,为底面圆周上两个动点,则( )
A.圆锥的体积为
B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C.圆锥截面的面积的最大值为
D.从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
11.如图,在棱长为2的正方体中,M为的中点,点E和点F分别在线段和上运动(不包含端点),下列说法正确的有( )
A.正方体被平面截得的截面面积为 B.的最小值为2
C.三棱锥的体积为 D.直线与平面可能垂直
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 .
13.在矩形中,平面,则平面与平面的夹角的正切值为 .
14.在平面四边形中,,,,则的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)记的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知:.
(1)求A;
(2)若,,求的面积.
16.(15分)如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,分别是的中点.
(1)求证: 平面平面;
(2)求三棱锥体积.
17.(15分)如图所示,在四棱锥中,底面为梯形,,,面面,是的中点.
(1)求证:;
(2)若是线段上一动点,则线段上是否存在点,使//平面?说明理由.
18.(17分)如图,在四面体中,是边长为的正三角形,且.
(1)证明:;
(2)若是的中点,且二面角的大小为,求与平面所成角的大小.
19.(17分)如图,三棱柱中,,,,,.
(1)证明:.
(2)求三棱柱的体积.
(3)求二面角的平面角余弦值大小
参考答案
题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B A C ABD BCD
题号 11
答案 AC
12. 13. 14.
15.(1)因为,由正弦定理得,
因,故,故,即,又,故.
(2)由正弦定理可得,则,可得
即,由(1) 根据余弦定理可得,则,即,可得,所以的面积
16.(1)在三棱柱中,底面ABC,所以AB,
又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面,因为AB平面,所以平面平面.
(2)因为=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=,
所以三棱锥的体积为:==.
17.(1)在梯形中,∥,又面,面,
∥面,面,面面 ∥ ∥
(3)取中点,连接,,,分别为,的中点,
∥,平面,平面平面,又由(1)可得∥平面,,、平面平面∥平面,是上的动点,平面,∥平面,当为中点时,∥平面.
18.(1)取中点,连接,由已知条件是边长为的正三角形,得.平面,所以平面 ,又平面 ,所以.(2)二面角的大小为,即平面平面.由平面平面,且由(1)知,平面,所以平面,从而即为与平面所成角
在中,,从而,在中,,
因为平面,且平面,所以,
所以在中,,且,易求得,即与平面所成角的大小为.
19.(1)取中点,连结,,,
,,是正三角形,.
,,,平面平面,
∴平面.又平面,;
(2)由题设知与都是边长为2的等边三角形,所以.又,则,故.因为,所以平面,即为三棱柱的高,又的面积,故三棱柱的体积.
(3)过作于点,连接,因为,,,平面,
所以平面,所以,又,,平面,
所以平面,因为平面,故,.则即为二面角的平面角.在中:,,所以,所以.