江苏省徐州市2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.函数在[0,π]上的平均变化率为
A.1 B.2 C.π D.
2.已知函数上一点,则在点P处切线的斜率为( )
A. B. C.1 D.
3.已知是一个随机试验中的两个事件,且,则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量X的概率分布如表所示,且,则( )
X 1 2 3
P n m
A. B. C. D.
5.甲、乙两人向同一目标各射击1次,已知甲命中目标的概率为,乙命中目标的概率为,已知目标至少被命中1次,则甲命中目标的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数,若对于任意的,都有成立,且,则不等式解集为( )
A. B.
C. D.
7.某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》,《战狼》,《流浪地球2》,每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往,则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有( )
A.30 B.45 C.60 D.75
8.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心,其内容如下:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,则内至少存在一个点,使得,其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多选题(本大题共3小题)
9.下列函数的导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知,其中,则( )
A. B.
C. D.
11.数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布,那么当n比较大时,X近似服从正态分布,其密度函数为,任意正态分布,可通过变换转化为标准正态分布当时,对任意实数x,记,则( )
A.当时,
B.
C.随机变量,当,都减小时,概率增大
D.随机变量,当增大,减小时,概率保持不变
三、填空题(本大题共3小题)
12.已知随机变量,若,,则 .
13.在如图所示的圆环形花园种花,将圆环平均分成A,B,C,D四个区域,现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择,要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同,则不同的种植方法有 种.
14.若恒成立,则实数 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知的展开式中共有11项.
(1)求展开式中含的项的系数;结果用数字作答
(2)求二项式系数最大的项.
16.结合排列组合,解决下列问题结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中,有多少种放法?
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中,每个信箱至少有一封信,有多少种放法?
(3)将4封标有序号A,B,C,D的信放到四个标有A,B,C,D的信箱中,恰有一组序号相同,则有多少种放法?
17.已知函数
(1)若,求函数的单调区间和极值;
(2)若存在,使得成立,求a的取值范围.
18.11分制乒乓球比赛规则如下:在一局比赛中,每两球交换发球权,每赢一球得1分,先得11分且至少2分领先者胜,该局比赛结束;当某局比分打成10:10后,每一球交换发球权,领先2分者胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛,比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时乙得分的概率为,各球的比赛结果相互独立,且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10:10,且接下来轮到甲发球.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值;
(2)求第一局比赛甲获胜的概率;
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率.
19.若定义在上的函数和分别存在导函数和,且对任意实数,都存在常数,使成立,则称函数是函数的“控制函数”,称为控制系数.
(1)求证:函数是函数的“控制函数”;
(2)若函数是函数的“控制函数”,求控制系数的取值范围;
(3)若函数,函数为偶函数,函数是函数的“控制函数”,求证:“”的充要条件是“存在常数,使得恒成立”.
参考答案
1.【答案】C
【详解】根据平均变化率的公式,计算出平均变化率.
【详解】平均变化率为.
故选C
2.【答案】B
【详解】由,
可得,
故在点P处切线的斜率为
故选B
3.【答案】D
【详解】因为,由对立事件概率计算公式可得:,
则,
故选D.
4.【答案】B
【详解】由分布列的性质可得,,所以,
又因为,所以,即;
联立方程,解得,
所以
故选B
5.【答案】C
【详解】设事件“甲命中目标”,“至少命中一次”,
则,,
则已知目标至少被命中1次,则甲命中目标的概率为
故选C
6.【答案】D
【详解】设函数,则,
因为是上的奇函数,所,
所以是上的偶函数,,
因为当时,,
所以,即在上单调递减,
因此在上单调递增,
所以,,
当,原不等式可化为,即,解得,
当,原不等式可化为,即,解得,
综上所述,.
故选D
7.【答案】C
【详解】依题意,将5名学生分为1,2,2三组,即第一组1个人,第二组2个人,第三组2个人,共有种方法;
由于甲同学不去观看电影《哪吒2》,故甲所在的组只有2种选择,剩下的2组任意选,所以由种方法;
按照分步乘法原理,共有种方法.
故选C
8.【答案】C
【详解】因为,,
所以,,,
若,
由,解得
故选C
9.【答案】AD
【详解】易知,可得A正确;
又,即B错误;
易知,C错误;
显然,D正确.
故选AD
10.【答案】ACD
【详解】对于A,,其中,,解得,A正确;
对于B,项的系数为,B错误;
对于C,令,得,令,得,
因此,C正确;
对于D,令,得,
由选项C得,D正确.
故选ACD
11.【答案】BD
【详解】对于A:当时,,故A错误;
对于B:根据正态曲线的对称性可得:,即,故B正确;
对于CD:根据正态分布的准则,在正态分布中代表标准差,代表均值,即为图象的对称轴,
根据原则可知X数值分布在的概率是常数,故由可知,D正确,C错误.
故选BD.
12.【答案】/
【详解】因为随机变量,
所以,,
联立解得
13.【答案】84
【详解】解:现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择,要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同,
则四个区域最少两种花,最多4种花.所以分三类:
若A和C相同,B和D相同时,有种方法;
若种三种花,分A和C相同与不同两种情况,此时有种;
若种四种花,则有种,
则不同的种植方法有种.
14.【答案】/
【详解】因为恒成立,即恒成立,
即恒成立,
设,则恒成立,
又,则在上单调递增,
可得恒成立,即恒成立,
令,则,所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
即恒成立(当且仅当时取等号),
所以,解得
15.【答案】(1)960;
(2)
【详解】(1)由题意可知,解得,
展开式的通项为,
令,解得,
故展开式中含的项的系数为;
(2)由可得二项式系数最大的项为第六项,
即.
16.【答案】(1)81;
(2)36;
(3)
【详解】(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中,有种放法;
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中,每个信箱至少有一封信,
则将4封信分成1,1,2三组,有组,再分给三个信箱,有种放法;
(3)将4封标有序号A,B,C,D的信放到四个标有A,B,C,D的信箱中,
先确定一组序号相同有种情况,其余的全部不同均有2种情况,则共有种情况.
17.【答案】(1)增区间为和,减区间为,极大值,极小值;
(2)
【详解】(1)若,则,
则,
令,可得或;令,可得,
所以该函数增区间为和,减区间为,
当时取得极大值,当时取得极小值;
(2)因为存在,有成立,
所以存在,有成立,即存在,
因为,所以存在,,
设,其中,则,
因为,所以,
当时,,
因此在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以,即,
故a的取值范围为
18.【答案】(1)分布列见解析;均值为
(2);
(3)
【详解】(1)依题意知,X的所有可能取值为0,1,2;
,,,
所以X的分布列为:
X 0 1 2
P
X的均值为;
(2)设第一局比赛甲获胜为事件B,平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z,
则,,;
由知,,,,
由全概率公式得,
,
解得,即第一局比赛甲获胜的概率;
(3)由(2)知,所以估计甲每局获胜的概率均为,
根据五局三胜制的规则,设甲获胜时的比赛总局数为Y,
因为每局的比赛结果相互独立,所以Y的所有可能取值为3,4,5,
所以,,;
所以该场比赛甲获胜的概率为
19.【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】(1)因为,,所以,,则,
故,即恒成立,
故函数是函数的“控制函数”.
(2)因为,,
则,,
因为函数是函数的“控制函数”,
所以,对任意的,,则,
令,
则
,
且,
故当时,,当时,,
即在上单调递减,在上单调递增,
所以,,所以,
若函数是函数的“控制函数”,
则实数的取值范围是.
(3)充分性:若存在常数使得恒成立,则,
因为函数为偶函数,所以,则,
则为偶函数,即,
所以恒成立,所以;
必要性:若,则,所以函数为偶函数,
函数是函数的“控制函数”,
因此对任意的,,
又,,所以,,,
所以,即,
用代换可得,故,
综上可知,记,则,
因此存在常数使得恒成立,
综上可得,“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”.