江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含详解）

江苏省徐州市2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数在[0，π]上的平均变化率为
A．1 B．2 C．π D．
2．已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ）
X 1 2 3
P n m
A． B． C． D．
5．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数的导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
11．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．当时，
B．
C．随机变量，当，都减小时，概率增大
D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机变量，若，，则 .
13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种．
14．若恒成立，则实数 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的展开式中共有11项．
（1）求展开式中含的项的系数；结果用数字作答
（2）求二项式系数最大的项．
16．结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答
（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
17．已知函数
（1）若，求函数的单调区间和极值；
（2）若存在，使得成立，求a的取值范围．
18．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．
（1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
（2）求第一局比赛甲获胜的概率；
（3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数．
（1）求证：函数是函数的“控制函数”；
（2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围；
（3）若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”．
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】平均变化率为.
故选C
2．【答案】B
【详解】由，
可得，
故在点P处切线的斜率为
故选B
3．【答案】D
【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
则，
故选D.
4．【答案】B
【详解】由分布列的性质可得，，所以，
又因为，所以，即；
联立方程，解得，
所以
故选B
5．【答案】C
【详解】设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”，
则，，
则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为
故选C
6．【答案】D
【详解】设函数，则，
因为是上的奇函数，所，
所以是上的偶函数，，
因为当时，，
所以，即在上单调递减，
因此在上单调递增，
所以，，
当，原不等式可化为，即，解得，
当，原不等式可化为，即，解得，
综上所述，.
故选D
7．【答案】C
【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；
由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；
按照分步乘法原理，共有种方法．
故选C
8．【答案】C
【详解】因为，，
所以，，，
若，
由，解得
故选C
9．【答案】AD
【详解】易知，可得A正确；
又，即B错误；
易知，C错误；
显然，D正确．
故选AD
10．【答案】ACD
【详解】对于A，，其中，，解得，A正确；
对于B，项的系数为，B错误；
对于C，令，得，令，得，
因此，C正确；
对于D，令，得，
由选项C得，D正确.
故选ACD
11．【答案】BD
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确；
对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴，
根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误．
故选BD.
12．【答案】/
【详解】因为随机变量，
所以，，
联立解得
13．【答案】84
【详解】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，
则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类：
若A和C相同，B和D相同时，有种方法；
若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种；
若种四种花，则有种，
则不同的种植方法有种．
14．【答案】/
【详解】因为恒成立，即恒成立，
即恒成立，
设，则恒成立，
又，则在上单调递增，
可得恒成立，即恒成立，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立（当且仅当时取等号），
所以，解得
15．【答案】（1）960；
（2）
【详解】（1）由题意可知，解得，
展开式的通项为，
令，解得，
故展开式中含的项的系数为；
（2）由可得二项式系数最大的项为第六项，
即.
16．【答案】（1）81；
（2）36；
（3）
【详解】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，
则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况．
17．【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值，极小值；
（2）
【详解】（1）若，则，
则，
令，可得或；令，可得，
所以该函数增区间为和，减区间为，
当时取得极大值，当时取得极小值；
（2）因为存在，有成立，
所以存在，有成立，即存在，
因为，所以存在，，
设，其中，则，
因为，所以，
当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即，
故a的取值范围为
18．【答案】（1）分布列见解析；均值为
（2）；
（3）
【详解】（1）依题意知，X的所有可能取值为0，1，2；
，，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的均值为；
（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z，
则，，；
由知，，，，
由全概率公式得，
，
解得，即第一局比赛甲获胜的概率；
（3）由（2）知，所以估计甲每局获胜的概率均为，
根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y，
因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5，
所以，，；
所以该场比赛甲获胜的概率为
19．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）因为，，所以，，则，
故，即恒成立，
故函数是函数的“控制函数”.
（2）因为，，
则，，
因为函数是函数的“控制函数”，
所以，对任意的，，则，
令，
则
，
且，
故当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，，所以，
若函数是函数的“控制函数”，
则实数的取值范围是.
（3）充分性：若存在常数使得恒成立，则，
因为函数为偶函数，所以，则，
则为偶函数，即，
所以恒成立，所以；
必要性：若，则，所以函数为偶函数，
函数是函数的“控制函数”，
因此对任意的，，
又，，所以，，，
所以，即，
用代换可得，故，
综上可知，记，则，
因此存在常数使得恒成立，
综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”.