江西省丰城中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含详解）

江西省丰城中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设在处可导，下列式子与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，为f（x）的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ）
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
8．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
二、多选题
9．某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是（ ）
A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%
B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分
C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分
D．该公司职工测试成绩的众数约为60分
10．已知是数列的前项和，，则（ ）
A．是等比数列 B．
C． D．
11．若数列满足：对任意正整数，为递减数列，则称数列为“差递减数列”.给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若，则正整数x的值是 ．
13．已知等比数列中，，，则 .
14．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3，6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为 元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
四、解答题
15．在数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
16．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.

（1）求证平面；
（2）试在线段上确定一点，使得与所成的角是.
17．已知函数（）．
（1）若是函数的极值点，求在区间上的最值；
（2）求函数的单调增区间．
18．已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积.
19．一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．
（1）若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
②记甲乙二人向前跳的步数和为，求随机变量的分布列和数学期望．
（2）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为的概率记为，求的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】解：，
所以.
故选C.
2．【答案】A
【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：
化简得：， 又：，得：
考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．
3．【答案】B
【详解】函数的定义域为，又，
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间是.
故选B
4．【答案】D
【详解】解：若是递增数列，则，即，解得，
即实数的取值范围是．
故选D．
5．【答案】B
【详解】对于A，,A错误；
对于B，，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，D错误，
故选B
6．【答案】C
【详解】求导得到，根据奇偶性排除，特殊值计算排除得到答案.
【详解】，则，则函数为奇函数，排除；
，排除；
故选.
7．【答案】B
【详解】由整理得，所以直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．
所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选C.
9．【答案】BC
【详解】由频率分布直方图，得：
对于A，该公司职工的测试成绩不低于分的频率为：，
∴该公司职工的测试成绩不低于分的人数约占总人数的，故A错误；
对于B，测试成绩在的频率为，
测试成绩在的频率为，
∴该公司职工测试成绩的中位数约为分，故B正确；
对于C，该公司职工测试成绩的平均值约为：
分，故C正确；
对于D，该公司职工测试成绩的众数约为分，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ABD
【详解】因为，①
当时，则，
当时，，②
①②得，
则，
故是以1为首项，公比为的等比数列，
且，故A正确；
又，故B正确；
，故C错误；
由题中，，故D正确，
故选ABD.
11．【答案】CD
【详解】分别求出四个选项中数列对应的，再进行判断.
【详解】对，若，则，所以不为递减数列，故错误；
对，若，则，所以为递增数列，故错误；
对，若，则，所以为递减数列，故正确；
对，若，则，由函数在递减，所以数为递减数列，故正确.
故选.
12．【答案】1或4
【详解】解：∵，
∴2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4．
经检验，x＝1或x＝4满足题意.
13．【答案】
【详解】因为，又，，所以，
又，设公比为，则，则，
所以.
14．【答案】4
【详解】解析：商场每日销售该商品所获得的利润为
令，得x＝4或x＝6(舍去)．
故当时，当时．
则函数f(x)在(3，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，
∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f（4）＝42．
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，∴，
∴数列是等差数列，设其公差为d．
∵，∴，
∴
（2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，
由（1）知，令，得，
∴当时，，
则
；
当时，，则，
∴
16．【答案】（1）证明见解析
（2）点为的中点
【详解】（1）因为正方形和矩形所在的平面互相垂直，
且平面平面，且，平面，
所以平面，又，如图建立空间直角坐标系.

设，连结，则，，，
又，.
，且与不共线，，
又平面，平面，平面.
（2）设，，又，，，
则，.
又与所成的角为，，
解之得或（舍去），故点为的中点时满足题意.
17．【答案】（1）最小值为，最大值为
（2）答案见解析
【详解】（1）解：因为，所以，
因为已知是函数的极值点．
所以是方程的根，
所以，故，经检验符合题意，
所以，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
且，
所以在区间上的最小值为，
最大值为；
（2）解：，
所以，
因为，，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，
当时，令，解得或，
所以函数的单调增区间为，，
综上可得，当时单调增区间为，；
当时单调增区间为；
当时单调增区间为，.
18．【答案】（1）；（2）面积最大值为1，斜率之积为－4．
【详解】因为椭圆离心率为，可设方程为，
过点，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，
联立，得，
①
，
∴，
又点O到直线AB的距离为，
∴
故当，即时，三角形的面积有最大值1，此时满足①，
所以，
∴三角形面积的最大值为1，此时直线、的斜率之积为－4．
19．【答案】（1）①；②答案见解析；（2）.
【详解】（1）①设甲向前跳的步数为，乙向前跳的步数为，
则，
，
，
所以，
所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率.
②由①知所有可能取值为4，5，6，7，8，
所以，，，，，
随机变量的分布列为
4 5 6 7 8
.
（2）由题意得，当时，，
，
所以，
，，当为奇数时，，；
当为偶数时，，，
时，，所以，
且数列为递减数列，所以的最大值为.