江西省赣州市全南中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知( )
A.0 B.2x C.6 D.9
2.在等差数列中,是其前n项和.若,则公差( )
A.2 B.4 C.1 D.0
3.若数列为等比数列,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.抛物线在点处的切线方程为( ).
A. B. C. D.
5.设是等差数列的前n项和,若,,则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列,其中二阶等差数列是一个常见的等差数列,如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列,现有二阶等差数列,其中前几项分别为2,5,10,17,26,37,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列,则( )
A.15 B.101 C.21 D.19
8.我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知,则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.下列数列中,是等差数列的是( )
A.1,4,7,10 B.
C. D.10,8,6,4,2
10.定义在上的函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数在上单调递减 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值
11.等比数列和函数满足,,则以下数列也为等比数列的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题(本大题共3小题)
12.已知是等差数列,且,则的通项公式 .
13.函数的极值点为,则实数 .
14.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意,,则k的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.求函数的单调区间.
16.已知等差数列的前n项和为,.
(1)求的通项公式;
(2)若,求前n项和.
17.已知二次函数,其图象过点,且.
(1)求的值;
(2)设函数,求曲线在处的切线方程.
18.已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
19.拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下:如果函数在区间上连续,在区间内可导,则存在,使得.已知函数,数列满足,且.
(1)求,;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若数列的前n和为,且设,问:是否存在实数p,q,使得对任意,总有成立?
参考答案
1.【答案】B
【详解】因,则.
故选B
2.【答案】A
【详解】等差数列中,是其前n项和.
若,
则公差.
故选A.
3.【答案】A
【详解】由题意知,数列为等比数列,
当时,得,故充分性成立;
当时,,解得,故必要性不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
4.【答案】B
【详解】由,可得,所以,又切点为,
所以切线方程为,化简得.
故选B.
5.【答案】A
【详解】由是等差数列的前n项和,则成等差数列,
因为,,所以,,
所以,所以,所以.
故选A.
6.【答案】A
【详解】解:因为,所以,
所以为偶函数,即图象关于轴对称,则排除,
当时,,故排除C,
,当时,,所以,即在上单调递增,故排除D;
故选.
7.【答案】C
【详解】因为数列的前几项为,
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,
所以,则.
故选C
8.【答案】C
【详解】,则,
令,则,
如图,作出函数的图象,
由图可知函数的图象有两个交点,
即函数有两个零点,且,
令,则或,令,则,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以的极大值点为,极小值点为.
对于A,函数在上单调递减,在单调递增,
所以函数有极小值点,无极大值点,故A选项不符;
对于B,函数在上单调递增,在单调递减,
所以函数有极大值点,无极小值点,故B选项不符;
对于C,,
当或时,,当时,,
所以函数的极大值点为,极小值点为,故C选项符合题意;
对于D,,
则函数的极小值点为,极大值点为,故D选项不符.
故选C.
9.【答案】ABD
【详解】根据等差数列的定义,可得对于A,满足4-1=7-4=10-7=3(常数),所以是等差数列,故A正确;
对于B,满足(常数),所以是等差数列,故B正确;
对于C,因为,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列,故C错误;
对于D,满足(常数),所以是等差数列,故D正确.
故选ABD.
10.【答案】AD
【详解】由函数的导函数的图象可知,
当时,,所以在上单调递增,故B错误;
当时,,所以在上单调递减,故A正确;
所以函数在处取得极大值,不是极小值点,故C错误,D正确.
故选AD.
11.【答案】AC
【详解】由题意,数列为等比数列,设其公比为,则.
对于A,,则,
所以,所以数列为公比为的等比数列,故A正确;
对于B,当为奇数时,不为整数,无意义,故B错误;
对于C,,则,
所以数列为公比为的等比数列,故C正确;
对于D,,则,
因为不为常数,故D错误.
故选AC.
12.【答案】
【详解】设等差数列的公差为,
由,
因代入解得,
故.
13.【答案】
【详解】,,得,
此时.
当时,内单调递减;
时,,内单调递增.
在处取得极小值,符合题意.
14.【答案】4
【详解】试题分析:当时,或;当时,若,,于是,
若,,于是,
若,,于是,
若,,于是,
所以当时,,
所以要涉及最多的不同的项数列可以为:2,1, 1,0,0…,从而可看出.
【名师点睛】从研究与的关系入手,推断数列的构成特点,解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
15.【答案】单调递增区间为;单调递减区间为.
【详解】函数的定义域为.
.
因为,所以.
由,解得;由,解得
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
16.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)因为是等差数列,设其公差为,
由题知,解得,
所以的通项公式为.
(2)由题知,
所以.
17.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由题意可得,即为,
又,可得,
解得.
(2)由(1)知,
则,
则曲线在处的切线斜率为,
又∵,∴切点为,
则曲线在处的切线方程为,即为.
18.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由已知可得,
则,
当时,,
所以.
(2)由(1)可知, ,
则,
,
两式作差相减,可得:
,
则.
19.【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在,
【详解】(1)根据题意,函数,则,
由,可得,
即,
化简为,
由,所以;
(2)由,可得,
即,所以数列为首项为3,公比为3的等比数列;
(3)由(2)可得,则,
所以,
则
,
所以存在实数,满足题意.