安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（含解析）

安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．下列几何体不属于棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A．2 B． C．10 D．
3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一个多面体至少有4个面
B．圆柱的母线与它的轴可以不平行
C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数 D．若，则
11．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则角的最大值为
三、填空题
12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ．
13．已知向量在向量上的投影向量，且，则 .
14．已知中，，则 ；若点都在圆上，且，则与夹角的余弦值为 .
四、解答题
15．已知点.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
16．已知，复数．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
(2)若z满足，，求的值．
17．如图，在四边形ABCD中，，，，，.
(1)求及AD的长度；
(2)求BC的长度.
18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)设，求的取值范围．
19．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A D B D C D AC ABC
题号 11
答案 ACD
1．D
根据棱柱的定义即可求解.
【详解】根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱柱，
不属于棱柱的图形只有D选项.
故选：D.
2．D
利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
3．A
利用向量线性运算的坐标表示求得答案.
【详解】向量，所以.
故选：A
4．D
由复数的乘法运算及复数的相等可求解.
【详解】，再根据复数的相等，有，解得，所以.
故选：D
5．B
利用正弦定理求出，即可求出．
【详解】由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
则，
故选：B．
6．D
根据向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意，为线段的中点，
则
．
故选：D．
7．C
根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可．
【详解】由，得，
由，得，整理得，
所以，则，
设向量的夹角为，则．
故选：．
8．D
画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果.
【详解】根据题意画出图形，如图所示：
由题意知，，，所以，
在中，由正弦定理得：解得，
又，，所以，，
又，
在中，由余弦定理得：，
解得，所以、两岛屿之间的距离为海里．
故选：D．
9．AC
根据多面体和旋转体的定义判断即可．
【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确；
对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误；
对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确；
对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误．
故选：AC．
10．ABC
根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项.
【详解】因为，又，所以，A正确；
设，则，所以为实数，B正确；
设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；
若，，则满足，而，D错误.
故选：ABC.
11．ACD
对于A，由是锐角三角形，可得，取正弦化简判断，对于B，由题意可得，化简变形后进行判断，对于C，由选项A可知，两边加上，化简进行判断，对于D，利用余弦定理结合基本不等式分析判断.
【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，同理可得，
所以，故A正确；
对于B，因为是锐角三角形，所以，
所以，
所以，又，，
所以，故B错误；
对于C，因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
又，所以，，
所以，故C正确；
对于D，因为，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
12．8
根据斜二测画法的规则即可求解．
【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，
故原来的平行四边形的面积为，
故答案为：8．
13．
由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为，
设，由，得，
故，即，
故，
故答案为：
14．
根据数量积的运算律推导出，再由计算可得，取的中点，连接、，则，由数量积的运算律可得，最后由夹角公式计算可得.
【详解】因为，所以，
即，
即，
所以
，
取的中点，连接、，则，，
所以，
则
，
所以，
设与夹角为，则，
即与夹角的余弦值为.
故答案为：；
15．(1)
(2)或.
依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可.
【详解】（1）由题知，.
若，则，
解得，故实数的值为.
（2）若，则，整理得，
解得或.
16．(1)；
(2).
（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解.
（2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解.
【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
17．(1)
(2)
（1）运用平方关系求出，，
由于，
借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；
（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.
【详解】（1）因为，，，，
所以，，
由于，又，∴，
∴，
则
，
∴，
所以.
在中，由正弦定理得，
所以，所以.
（2）在中，由正弦定理得，可得，解得.
由于，，
在中，由余弦定理可得
.
18．(1)
(2)
（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；
（2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.
【详解】（1）依题意，，
∴，
∴
（2）由已知，
因是线段上动点，则令，
，
又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，
，
在上递增，
所以，，，，
故的取值范围是．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若选②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）因为，为锐角，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，；
（3）由是锐角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
所以，
所以.