安徽省蚌埠市五河县高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题
1.已知离散型随机变量的分布列为,则( )
A. B. C. D.
2.某校羽毛球队有5名男队员,6名女队员,现在需要派1名男队员,1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛,则不同的组合方式有( )
A.11种 B.22种 C.30种 D.60种
3.若某地未来连续3天每天下雨的概率均为,则这3天中只有1天下雨的概率为( )
A. B. C. D.
4.据报道,从2024年7月16日起,“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路,“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆,可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米,由9辆编组构成,设有6个商务座、28个一等座、642个二等座,最高运行时速达160千米,全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内,速度与行驶时间的关系为,则当时,“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中的常数项为( )
A.240 B. C. D.60
6.函数的极小值点为( )
A. B. C.0 D.1
7.篮球中三分球的投篮位置为三分线以外,若从3分投篮区域投篮命中计3分,没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4,设其投三分球一次的得分为,则( )
A.1.2 B.2.4 C.2.16 D.2.52
8.若直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9.已知随机变量X的分布列为
X 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 m 0.3 0.1
则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设随机变量,则( )
A. B.
C. D.
11.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务,当天活动结束后,这6名同学排成一排合影留念,则下列说法正确的是( )
A.若要求3名男生相邻,则这6名同学共有144种不同的排法
B.若要求男生甲、乙、丙的顺序一定,则这6名同学共有120种不同的排法
C.若要求3名女生互不相邻,则这6名同学共有72种不同的排法
D.若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾,则这6名同学共有504种不同的排法
三、填空题
12.已知随机变量服从正态分布,且,则 .
13.已知,则 .
14.若,则的值被4除的余数为 .
四、解答题
15.某学生想在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目.
(1)若任意选择三门课程,求不同的选法总数;
(2)若物理和历史不能同时选,求不同的选法总数.
16.已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的极值与最值.
17.某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试,已知测试成绩满分为100分,规定测试成绩在区间内为“体质优秀”,在内为“体质良好”,在内为“体质合格”,在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生,测试成绩如下:
学生编号 1 2 3 4 5 6
测试成绩 60 85 80 78 90 91
(1)若该校高二年级有600名学生,将样本频率视为概率,试求在高二年级学生中任意抽取1人,此人是“体质优秀”学生的概率.
(2)若从这6名学生中随机抽取3人,记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数,求的分布列与数学期望.
18.“茶文化”在中国源远流长,近年来由于人们对健康饮品的追求,购买包装茶饮料的消费者日趋增多,调查数据显示,包装茶饮料的消费者中男性占比,男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为.
(1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者,求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率;
(2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料,求该消费者是女性的概率(结果用分数表示)
19.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若对恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1.【答案】D
【详解】根据已知的分布列可得:,
故选D.
2.【答案】C
【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名,共有5种选法;
第二步,从6名女队员中选出1名,共有6种选法;
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有(种).
故选C.
3.【答案】A
【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为,可知这3天中只有1天下雨的概率为:,
故选A.
4.【答案】B
【详解】因为,所以,
故当时,,
即时,“高原版”复兴号动车的加速度为,
故选B
5.【答案】D
【详解】二项式展开式的通项为(且),
令,解得,
所以,即展开式中的常数项为.
故选D
6.【答案】C
【详解】,由,得,
由,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以的极小值点为0.
故选C
7.【答案】C
【详解】由已知可得,的分布列为
0 3
所以,,
.
故选C.
8.【答案】A
【详解】已知直线是,的公切线,设切点分别为,.
由,得,所以的斜率为,
方程为,即,
由,得,所以的斜率为,
方程为,即,
因为直线是的公切线,
所以解得
所以直线的斜率为,与的切点为,
所以直线的方程为.
故选A.
9.【答案】AD
【详解】由随机变量分布列的性质,知,解得,故A正确;
,故B错误;
,故C错误;
,故D正确.
故选AD.
10.【答案】AC
【详解】由随机变量可知:
所以成立,故A正确;
不成立,故B错误;
再由随机变量可知:
,故成立,故C正确;
由于,,
它们的临界值都是,所以,故D错误;
故选AC.
11.【答案】ABD
【详解】对于A. 若要求3名男生相邻,则这6名同学共有种不同的排法,故A正确;
对于B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定,则这6名同学共有种不同的排法,故B正确;
对于C. 若要求3名女生互不相邻,则这6名同学共有种不同的排法,故C错误;
对于D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾,则这6名同学共有种不同的排法,故D正确;
故选ABD.
12.【答案】/
【详解】由已知可得,
根据正态分布的对称性可知.
又,所以.
13.【答案】
【详解】因为,所以,
则有.
14.【答案】3
【详解】令,得,
因为,
所以当为奇数时,展开式中偶数项的系数为负,即,
当为偶数时,展开式中奇数项的系数为正,即,
所以,
又,
故被4除余3.
15.【答案】(1);
(2).
【详解】(1)在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目,
若任意选择三门课程,则不同的选法总数有种;
(2)在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目,
若物理和历史不能同时选,则不同的选法总数有种.
16.【答案】(1);
(2)极小值为,极大值为,最大值为12,最小值为.
【详解】(1)由,得,
所以.
因为函数的图象在点处的切线与直线平行,
所以,即,解得.
(2)由(1),得,
令,解得,或.
当变化时,的变化情况如下表所示:
1
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以当时,有极小值,且极小值为,当时,有极大值,且极大值为.
又,所以函数在区间上的最大值为12,最小值为.
17.【答案】(1);
(2)分布列见解析,.
【详解】(1)由抽取的6名学生中,测试成绩“体质优秀”的共有3人,此时“体质优秀”的频率为,
将样本频率视为概率,则在高二年级学生中任意抽取1人,此人是“体质优秀”学生的概率为;
(2)从这6名学生中随机抽取3人,记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数,
因为这6名学生中“体质良好”的学生人数为2人,则的所有可能取值为,
,
,
,
即的分布列为
.
18.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件,从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件,
,
所以;
(2)设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件,
,
则.
19.【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】(1)由题意知的定义域为,
,
当时,在上恒成立,所以在上单调递增;
当时,令,得,
令,得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)由,得,
即,
令,将问题转化为恒成立,
,
令,则当时,
所以也就是在上单调递增,所以.
①当,即时,在上恒成立,
所以在上单调递增,所以,满足题意;
②当时,即时,因为当时,,
所以存在,使得,所以存在,使得,
所以对,,所以在上单调递减,
所以,不合题意.
综上所述,满足条件的a的取值范围为.