广东省潮州市松昌中学20242025学年高二下学期期中考试 数学（春考）试题（含解析）

广东省潮州市松昌中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学（春考）试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（　　）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中是奇函数的是
A． B． C． D．
5．不等式“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（ ）
A． B． C． D．
9．计算的结果是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．若向量，，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
11．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
12．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为83分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分
二、填空题
13．不等式的解集是 .
14．是虚数单位，若，则 .
15．函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是 .
16．已知，则的最小值是 .
17．函数的单调递增区间为 .
18．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是 人
三、解答题
19．已知，α∈（，π），，β∈（π，）.
（1）求cos（α+β）的值；
（2）求tan2β的值.
20．溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲队总得分为3分的概率；
(2)求甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率．
21．《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率（）
不超过1500元的部分 3
超过1500元至不超过4500元的部分 10
超过4500元至不超过9000元的部分 20
（1）试建立当月纳税款与当月工资、薪金（总计不超过12500元）所得的函数关系式；
（2）已知我市某国有企业一负责人十月份应缴纳税款为295元，那么他当月的工资、薪金所得是多少元？
22．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，.
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由集合，知．
故选A.
2．【答案】C
【详解】.
故选C.
3．【答案】A
【详解】由解析式可得，解出即可.
【详解】要使函数有意义，则满足，解得，
故函数的定义域为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】对于A,定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数；对于B,定义域为R，，是偶函数；对于C,定义域为R,，是非奇非偶函数；对于D,定义域为R，，是奇函数，故选D.
5．【答案】A
【详解】，解得，，解得，
因为，但，
故“”是“”成立的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】C
【详解】根据对数函数和在都是单调递增函数可知，
，即；
，即；
可得.
故选C.
7．【答案】A
【详解】因为角的终边经过点，所以，
所以，，所以.
故选A.
8．【答案】C
【详解】
，由两角和的正弦公式，可知
故答案为C.
9．【答案】A
【详解】.
故选A.
10．【答案】D
【详解】由，可得，
所以，，
.
故选D.
11．【答案】D
【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得，
又，则，因为，所以，故D正确.
故选D.
12．【答案】D
【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得
10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为100.015400=60人，
故B错误；
对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；
故C错误.
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为分.
故D正确.
故选D.
13．【答案】
【详解】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】，
所以不等式的解集为.
14．【答案】/
【详解】解：，所以.
15．【答案】
【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为.
16．【答案】
【详解】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
17．【答案】
【详解】令
所以
所以函数的单调递增区间为
故答案为：
18．【答案】
【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.
19．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，
.
（2）由（1），则.
20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，
甲队得3分，即三人都回答正确，
其概率P(A)＝；
（2）“乙队总得分为1分”为事件B.
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(B)＝
由题意得事件A与事件B相互独立，
则甲队总得分为3分且乙队总得分为1分的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.
21．【答案】（1）；（2）该负责人当月工资、薪金所得是7500元.
【详解】解：（1）根据题意，设当月工资、薪金为元，纳税款为元，
则，
即.
（2）当月的工资、薪金所得是5000元时应纳税元，
当月的工资、薪金所得是8000元时应纳税元，
可知当月的工资、薪金介于5000元元，
由（1）知：，
解得：（元），
所以该负责人当月工资、薪金所得是7500元.
22．【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】(1)如图所示，先由题意证明，，然后由线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明平面平面即可；
(2)利用等体积转化，由题意等量关系可求出，易知PA的长等于三棱锥P-BCE底面BCE上的高，则利用棱锥的体积公式即可求出答案.
【详解】解：（1）如图所示，连接，由是菱形，且知是等边三角形.
因为是的中点，所以.又，所以.
又因为平面，平面，所以.又，因此平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）由，可得由平面可得PA的长等于三棱锥P-BCE底面BCE上的高，则.