广东省江门市鹤山市纪元中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

广东省江门市鹤山市纪元中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．21 D．35
5．已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列存在最大值 D．数列存在最大值
6．从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）
A．12 B．18 C．30 D．60
7．若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．有甲,乙,丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲,乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲,乙,丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到,,三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，
甲,乙,丙在一起，则不同的安排方法有36种
11．已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递增数列 D．的前项和
三、填空题（本大题共3小题）
12．为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有 种不同的选法．
13．已知函数，则 .
14．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男 女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻.
16．已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
17．设等差数列的前n项和为，且，（为常数）
（1）求a的值；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前n项和
18．已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论函数的零点个数.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，则
故选D
2．【答案】C
【详解】对于A，因为(为常数),所以，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选C
3．【答案】A
【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为，
所以，，即得，
所以，所以，
则.
故选A.
4．【答案】B
【详解】解：的通项公式为：，
令，得，
所以含的项为，
所以的系数为-35，
故选B
5．【答案】D
【详解】由可知，当时，，
因为，所以，
故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.
将的通项公式可得，故B错误.
由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】若选出3人有1名医生，2名护士，则不同的选法种数为；
若选出3人有2名医生，1名护士，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为.
故选C.
7．【答案】B
【详解】对曲线，在切点处切线的斜率，
所以切线方程为：，
对于曲线，设切点，则在点处切线的斜率，
依题意，即，
又点切点在曲线和切线上，即，
所以，
故选B.
8．【答案】B
【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以.
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增，
故B可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象，
因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误.
故选ABC
10．【答案】ACD
【详解】对于A，6人站成一排，甲,乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；
对于B，6人站成一排，甲,乙,丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误；
对于C，6名同学平均分成三组分别到,,三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种，故C正确；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，甲,乙,丙在一起，
若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组,2人一组和1人一组，先将除甲,乙,丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有6种分组方法,再分配到三个活动中，共有种，故D正确．
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】因为数列满足，，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故A、B正确；
又，
即，所以数列为递减数列，故C错误；
因为，所以，
所以数列的前项和为
，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】16
【详解】若A，B两门课程选1门，不同的选法有种，
若A，B两门课程选2门，不同的选法有种，
所以一共有种不同的选法.
13．【答案】
【详解】因为，
所以，所以，解得.
14．【答案】
【详解】设的公差为，
因为，
所以，
又，故，解得，所以，
又，所以．
15．【答案】（1）144
（2）144
【详解】（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，4名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，安排除了甲之外的三人有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，从剩余的4名男选手选1人，3名女选手选2人有种方法；
第二步，排好出场顺序，先安排除了甲和乙之外的另外两人，然后让甲乙两人插空有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
16．【答案】(1)；
(2)最大值为4，,最小值为0.
【详解】（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
17．【答案】（1）0
（2）
（3）
【详解】（1）当时，，
当时，，
因为是等差数列，则时也应满足，即，
又，所以，解得；
（2）由（1）得
（3），
18．【答案】（1）；
（2）
【详解】（1）当时，，可得，
当时，，可得，则，
是首项 公比都为的等比数列，
故.
（2）由题设，，
，
则，
所以
，
所以.
19．【答案】（1）当时，函数 在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，函数没有零点；
当或时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，得.
令，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以；
当时，，
当时，，所以，
所以函数的图象如图所示，由图可得，

当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；
当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；
当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.