广东省汕头市潮阳一中明光学校2024 2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数( )
A. B. C.4 D.5
3.函数在区间上的零点个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之比为( )
A. B. C. D.
5.2022年11月,第五届中国国际进口博览会在上海举行,组委员会安排5名工作人员去A,B等4个场馆,其中A场馆安排2人,其余比赛场馆各1人,则不同的安排方法种数为( )
A.48 B.60 C.120 D.240
6.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通 安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该萻电池的Peukert常数约为( )(参考数据:,)
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
7.若直线与曲线相切,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
8.已知函数(其中表示不超过的最大整数),则关于的方程的所有实数根之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.在上有4个零点 D.在上单调递增
10.若,其中为实数,则( )
A. B. C. D.
11.甲罐中有个红球,个白球,乙罐中有个红球,个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A.为互斥事件 B.
C. D.
三、填空题
12.离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失,丢失数据以x,y代替,其概率分布如下:
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
13.展开式中含项的系数为 (结果用数值表示).
14.若数列满足,(,),则的最小值是 .
四、解答题
15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.求:
(1);
(2)的取值范围.
16.已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求证:函数存在极小值;
(3)若对任意的实数,恒成立,求实数a的取值范围.
17.如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=a,E是PC的中点,过E作EF⊥PB,交PB于点F.
(1)证明:PB⊥平面EFD;
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为,求AD的长度.
18.已知圆,圆,.当r变化时,圆与圆的交点P的轨迹为曲线C,
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点,过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点,与直线交于点D,是否存在实数m,,使得成立,若存在,求出m,;若不存在,请说明理由.
19.学校食堂为了减少排队时间,从开学第天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前天选择了米饭套餐,则第天选择米饭套餐的概率为;若他前天选择了面食套餐,则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明:当时,.
参考答案
1.【答案】C
【详解】解绝对值不等式求出集合中的范围,根据为整数求得集合;再根据并集定义求得结果.
【详解】
本题正确选项:
2.【答案】D
【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;
∵2z,
∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,
即,
解得a=3,b=4,
∴z=3+4i,
∴|z|.
故选D.
3.【答案】B
【详解】令,则,
故或,而,
所以或或或或,
故共有5个零点,
故选B.
4.【答案】B
【详解】设圆锥底面圆半径为,球的半径为,
由题意知,圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,
球的大圆是该等边三角形的内切圆,
所以,,
,
所以球与圆锥的表面积之比为
故选B
5.【答案】B
【详解】分为两步,第一步:安排2人去A场馆有种结果;第二步:安排其余3人到剩余3个场馆,有种结果,所以不同的安排方法种数为.
故选B.
6.【答案】D
【分析】根据题意可得,再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解.
【详解】由题意知,
所以,两边取以10为底的对数,得,
所以.
故选D.
7.【答案】A
【详解】设直线与曲线的切点为.
对求导,根据,可得.
因为直线的斜率为,由导数的几何意义可知,
在切点处,即.
又因为切点既在直线上又在曲线上,
所以且,即.
将代入可得:,即.
将代入可得:
,
所以当,时,取得最小值为.
故选A
8.【答案】A
【详解】,即,
因为,所以可得,解得,
当时,满足题意;
当时,即,解得,满足题意;
当时,即,解得,满足题意,所有实数根之和为,
故选A.
9.【答案】BC
【详解】根据图象变换可得,故A错误;
由,故B正确;
由得,所以在上有4个零点,故C正确;
由得由正弦函数图象与性质可知在上不单调,故D错误.
故选BC
10.【答案】BC
【详解】令,则原式转化为:,
由二项式定理,
令,得,
令,得,所以.
故选BC.
11.【答案】BD
【详解】A选项: 事件可以同时发生;显然不成立,故A选项错误;
B选项:当发生时,乙罐中有个红球,个白球,此时发生的概率为,∴,∴B选项正确;
D选项: 当发生时,乙罐中有个红球,个白球,此时发生的概率为,
∴, ∴,∴D选项正确;
C选项:,∴C选项错误.
故选BD.
12.【答案】/
【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1,
则.
13.【答案】9
【详解】求出展开式中的常数项和含项,利用多项式乘多项式得答案.
【详解】解:
二项式的展开式中,通项公式为,
分别取,5,可得展开式中含项的系数为:.
14.【答案】6
【详解】由已知,,…,,,
所以,,
又也满足上式,所以,
设,由对勾函数性质知在上单调递减,在递增,
因此在时递减,在时递增,
又,,
所以的最小值是6.
15.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)因为,
所以,
因为,
,
因为.
(2)由正弦定理,
,
因为,所以,所以,
所以,所以的取值范围是.
16.【答案】(1);(2)证明见解析;(3).
【详解】解:(1)当时,,
所以.
所以.
曲线在点处的切线方程为.
(2)由,得.
令,则.
当时,,当时,,
所以在区间上是减函数,在区间上是增函数.
所以的最小值为.
当时,,.
又在单调递增,
故存在,使得,在区间上,在区间上.
所以,在区间上,在区间上,
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
故函数存在极小值.
(3)对任意的实数,恒成立,等价于的最小值大于或等于.
①当时,,由(2)得,所以.
所以在上单调递增,
所以的最小值为.
由,得,满足题意.
②当时,由(2)知,在上单调递减,
所以在上,不满足题意.
综上所述,实数a的取值范围是.
17.【答案】(1)证明见解析;
(2)a.
【详解】(1)∵PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形,
∴,,
又,∴平面PDC,
∵平面PDC,∴.
又∵,E是PC的中点,∴,
∵,∴DE⊥平面PBC,∴.
又,,∴PB⊥平面EFD;
(2)如图,由题意知DA、DC、DP两两互相垂直,以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设,
则,,,,,
∴,,
由(1)知,DE⊥平面PBC,故是平面PBC的一个法向量,且.
设平面PBD的法向量为,
由得即取,得,
∴,解得,即.
18.【答案】(1);(2)存在;,.
【详解】解:(1)由题意可知,,,
所以,
所以曲线C为以、为焦点的椭圆,且,,,
所以曲线C的方程为.
(2)假设存在,由题意知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为,,,
联立|,消去y整理得,,
则,,
所以
,
,
因为,
所以,所以,,得,
所以存在,使成立.
19.【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】(1)设“第天选择米饭套餐”,则“第天选择面食套餐”,
根据题意,,,,
由全概率公式,得;
(2)设“第天选择米饭套餐”,
则,,,,
由全概率公式,得,
即,所以,
因为,所以是以为首项,为公比的等比数列;
可得,
当为大于的奇数时,;
当为正偶数时,,
综上所述:当时,.