贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学等六校2024-2025学年高二下学期教学质量监测考试Ⅰ数学试题（含解析）

贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学等六校2024 2025学年高二下学期教学质量监测考试Ⅰ数学试题
一、单选题
1．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，a，b，，且，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在区间上存在唯一极大值点，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，则有（ ）种不同的安排方法
A．120 B．150 C．180 D．240
二、多选题
9．已知，m是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项中为假命题的是（ ）
A．若，，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则或
10．下列说法中正确的是（ ）
A．某同学记录了3月11日到18日每天的最高气温（单位：℃），分别为12，11，9，10，8，9，13，10，则该组数据的第70百分位数为11
B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1
C．一组样本数据的经验回归方程为，若，则
D．已知随机变量，若，则
11．已知椭圆，双曲线，双曲线，若三条曲线有相同的焦点，，且，设三条曲线的离心率分别为，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．曲线图象和上述三条曲线的图象都是轴对称图形
C．若双曲线N的两条渐近线与椭圆E的四个交点及椭圆E的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则
D．若点P是椭圆E与双曲线M的一个交点，且，则
三、填空题
12．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为 ．
13．若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．
14．若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知等差数列的公差为4，是公比大于0的等比数列，且，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16．数学文化在教育中的应用非常重要．通过将数学文化融入教学，可以增加学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解数学知识和实际应用．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分）作为样本，按照，，…，分成5组，制成了频数分布表．（假设每名学生的成绩均不低于50分）
成绩分组
频数 5 15 13 12 5
（1）在样本中随机抽取一人，在已知该学生的成绩在区间内的条件下，求该学生成绩在区间内的概率；
（2）用样本估计总体，以频率估计概率，从该校高三年级所有学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于70分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱锥中，，，E为线段的中点，F为线段上的任意一点．
（1）若平面，判断平面与平面是否互相垂直，并说明理由；
（2）若底面为矩形，当平面与平面夹角为时，求点F的位置．
18．二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为．

（1）利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程；
（2）如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围．
19．已知函数．
（1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围；
（3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C．
2．【答案】A
【详解】解不等式，得或，则，而，
所以.
故选A
3．【答案】C
【详解】设，则，且，
∴是奇函数，∴.
又，，
∴，解得.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由正弦定理有，
所以，
在中，
即，
又，，故，
所以.
故选B．
5．【答案】D
【详解】设，则，因点在圆上运动，且在直线上，
则直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，解得或，
故的取值范围是.
故选D．
6．【答案】D
【详解】因为，，，
所以，
因为，，所以，
所以.
故选D．
7．【答案】A
【详解】令，，
所以，解得，即a的最大值为.
故选A．
8．【答案】B
【详解】由题意可知5个人分成三组，
所以可以分成1，2，2或1，1，3两类，
当5人分成1，2，2三组有种分法，
当5人分成1，1，3三组有种分法，
所以不同的安排方法种数为种.
故选B．
9．【答案】ACD
【详解】如图所示，在正方体中，
直线平面，直线平面，且平面，平面，但平面平面，故选项A错误；
因为，，则根据线面垂直的性质可知：垂直于同一平面的两直线平行，故选项B正确；
平面平面，平面，平面，但，故选项C错误；
平面平面，平面平面，但平面与平面相交求不垂直，故选项D错误.
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】A选项，根据题意将数据从小到大排列有8，9，9，10，10，11，12，13，共8项数据，又，故第70百分数为11，选项A正确：
B选项，两个变量相关性越强，则相关系数越接近1，选项B错误；
C选项，由得，，所以，选项C正确；
D选项，，选项D错误.
故选AC．
11．【答案】BCD
【详解】因为三条曲线有相同的焦点，，且，所以，故A错误；
将曲线方程中的x换为，方程不变，所以该图象关于y轴对称，故B正确；
由正六边形性质知，双曲线N中一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，即，
可得双曲线的离心率为，故C正确；
不妨设在右支上，，，
由椭圆和双曲线定义可得，又，
所以，故D正确.
故选BCD．
12．【答案】
【详解】由题意可得，，可得，
力对物体做的功．
13．【答案】
【详解】由题意知，则的展开式通项为，令，则，
所以展开式中的系数为．
14．【答案】
【详解】由题意可知在上，，
因为且，所以，则，
由此有：（1）；
（2）．
当时，为常函数，所以，
综上所求：．
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）由题意，设数列的公比为，则，，
所以，解得或（舍），
所以，．
（2）记和的前n项和分别为和，
又，，
所以．
16．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）记事件“所抽取学生成绩在区间内”，记事件“所抽取学生成绩在区间内”，则．
（2）由题意，从该校高三年级所有学生中随机抽取1人，
该学生成绩不低于70分的概率为，
X的可能取值为0，1，2，3，则
；；
；；
X的分布列如下表
X 0 1 2 3
P
因为，X的数学期望．
17．【答案】（1）垂直，理由见解析
（2）点F为的中点
【详解】（1）由，，
则，
，而平面，
故平面，而平面，故，
平面，而平面，.
又，为中点，，
，平面，平面，
又平面平面平面．
（2）由题意，以A为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，，
设，平面的法向量为，平面的法向量为，
，，，，
则，
令，则，，所以，
，令，则，，所以，
∴，∴，∴点F为的中点．
18．【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为
（2）
【详解】（1）二次函数，它的图象可以由抛物线向上平移个单位长度得到；
抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
（2）抛物线的焦点为，所以，解得，故的方程为．
任取点，设过点P的的切线方程为，
将其代入得，
由，化简得，
记、斜率分别为，，则，
因为，即，所以，
设，，
因为在上单调递增，所以，
则，所以的取值范围为．
19．【答案】（1）为偶函数，理由见解析
（2）答案见解析
（3），证明见解析，
【详解】（1）当时，，定义域为，
则，所以为偶函数．
（2）当时，；
当时，，
此时有；
当时，，
此时有．
（3）由（2）猜想，当，时，．
下面证明该结论：
因为n为偶数，所以，
故是周期为的周期函数，
那么不妨只讨论时函数的取值范围，
因为此范围即为函数在定义域上的取值范围；
因为n为偶数，则，，
此时，，
令，解得，或，
易知，当时，，
此时单调递减，
当时，，
此时单调递增，
因为，，
所以此时的最大值为1，最小值为，即；，
所以要使方程有解，只需不等式成立，
当时，，当时，，所以．