河北省沧州市盐山县盐山中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题（含解析）

河北省沧州市盐山县盐山中学2024 2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2．的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
3．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，那么之间的关系为（ ）

A． B．
C． D．
5．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．m的值为6.2
B．回归直线必过点（2，4.4）
C．样本点（4，m）处的残差为0.1
D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变
6．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ）
0.025 0.010 0.005 0.001
5.02 6.635 7.879 10.828
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”
C．有99.99%以上的把握认为“药物有效”
D．有99.99%以上的把握认为“药物无效”
7．展开式中的系数为（ ）
A．200 B．210 C．220 D．230
8．下列说法正确的是（ ）
A．设，则
B．已知随机变量服从正态分布，，则
C．随机变量，若，且，则
D．以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和
二、多选题（本大题共3小题）
9．若数据，，…，的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A．数据，，…，的平均数为13
B．
C．数据，，…，的方差为36
D．
10．下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（ ）
A．成对样本数据的经验回归直线一定经过点
B．依据小概率事件的独立性检验对零假设进行检验，根据列联表中的数据计算发现，由可推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
C．在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设
D．决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
11．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
三、填空题（本大题共3小题）
12．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有5个男生，7个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ．
13．已知与之间的一组数据：
x 0 2 4 6
y a 3 5 3a
已求得关于y与x的线性回归方程 ，则的值为 ．
14．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成 种不同的信号．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项式，若选条件_____填写序号，
（1）求展开式中含的项；
（2）设，求展开式中奇数项的系数和．
请在：①只有第项的二项式系数最大；②第项与第项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
16．现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
（1）求；
（2）求．
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.
(1)求的值；
(2)若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选C.
2．【答案】C
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选C
3．【答案】B
【详解】由题意可得，.
故选B
4．【答案】B
【详解】由散点图（1）可得，变量与变量之间呈现正相关，所以；
由散点图（2）可得，变量与变量之间呈现负相关，所以；
由散点图（3）可得，变量与变量之间不相关，所以，
所以.
故选B.
5．【答案】C
【详解】由题意可知，
所以样本中心为，
将点代入，可得，解得，故A正确；
由，得样本中心为，所以回归直线必过点（2，4.4），故B正确；
当时，，
由，得样本点处的残差为，故C错误；
因为样本中心为，
所以
由相关系数公式知， ，将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变，故D正确；
故选C.
6．【答案】A
【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；
【详解】因为，即，
所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．
故选A．
7．【答案】A
【详解】，又中含的项为，中含的项为，故展开式中含的项为，故展开式中的系数为200
故选A
8．【答案】D
【详解】A选项：，，令，即，得，所以，错误；
B选项：由已知可得该正态分布曲线的对称轴为，且，故，错误；
C选项：由得，解得，所以，又，则，错误；
D选项：由，得，则，解得，正确；
故选D.
9．【答案】AC
【详解】依题意，，，
对A：，故A正确:
对B：由，可得，故B错误；
对C：依题意，，
所以数据的方差为：
，故C正确;
对D：由
，解得，故D错误.
故选AC.
10．【答案】AC
【分析】根据经验回归方程的性质判断A，根据独立性检验的基本思想判断B，根据回归分析的相关知识判断C、D.
【详解】成对样本数据的经验回归直线一定经过点，故A正确；
因为，由可推断成立，即认为和独立，故B错误；
在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，
说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C正确；
决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D错误.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：BCD
12．【答案】
【详解】该学生是男生的概率是.
13．【答案】2.15
【详解】由表可得，，将带入方程得：
，解得：，故答案为．
14．【答案】39
【详解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号，
根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号．
15．【答案】（1）
（2）2080
【详解】（1）选条件①，由只有第项的二项式系数最大可知，展开式共有项，所以，
选条件②，由第项与第项的二项式系数相等可知，，所以，
选条件③，由所有二项式系数的和为可知，可得，
所以二项式可化为，
因为，
令，则展开式中含的项为.
（2）由（1）知二项式为，
令，，
令，，
两式相加得，
所以，
所以展开式中奇数项的系数和为2080.
16．【答案】（1）；
（2）0.81.
【详解】（1）依题意，.
（2）依题意，，
由（1）知，
由全概率公式得
.
17．【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
18．【答案】（1）
（2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，
整理可得，因为，解得.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得，
由不等式组，解得.
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为.