河北省承德市滦平县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

河北承德滦平县第一中学
2024—2025学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
2.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则( )
A. 2 B. 4 C. 16 D. 8
4.已知函数，则的极小值点为（ ）
A. B. C. D.
5.元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 1280 B. 300 C. 1880 D. 1560
6.除以15的余数是（ ）
A. 9 B. 8 C. 3 D. 2
7.已知函数在区间上是增函数，实数的取值范围为(　 　)
A. B. C. D.
8.已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.对于二项式，下列说法正确的是（ ）
A. 其展开式一共有项 B. 其展开式的二项式系数和为
C. 其展开式的所有项的系数和为 D. 其展开式的第三项为
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12.在数列中，为前项和，若，，，则______．
13.已知，则使恒成立的的范围是______ ．
14.的展开式中，项的系数为_____.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题13分）从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
（1）求可以组成多少个大于500的三位数；
（2）求可以组成多少个三位数；
（3）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．
16.（本题15分）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求n的值；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中含的项的系数.
17.（本题15分）已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
18.（本题17分）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
19.（本题17分）设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求b的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）.
参考答案：
1.【答案】D
【解析】根据组合数的性质可知，或，得或，经检验符合条件等式，
2.【答案】B
【解析】对求导得，得，观察到令可求出，所以令，得，解得，代入，得，所以．故选：B．
3.【答案】D
【解析】因为数列{an}为等比数列且满足a3a11＝4a7， 由等比数列的性质得a72＝4a7，解得a7＝4，
由于b7＝a7，则b7＝4， 又因为数列{bn}是等差数列，所以由等差数列得的性质得b5+b9＝2b7＝8．
4.【答案】B
【解析】的定义域为R，
，令或
所以，，单调递增，，，单调递减，
，，单调递增，所以是的极小值点，
5.【答案】D
【解析】需将名导游分成四组，有两种分组情况：
情况一：人数为
分组时，从人中选人一组，其余人各为一组.由于人组之间无顺序差异，需除以消除重复.
分组方法数为，再将这四组全排列安排到四个景区，方法数为种.
情况二：人数为
分组时，从人中选人一组，再从剩下人中选人一组，人组之间、人组之间无顺序差异，需除以消除重复.
分组方法数为，再将这四组全排列安排到四个景区，方法数为种.
综上，不同的安排方法总数为种.
6.【答案】D
【解析】因为，所以，
根据二项式定理，，
所以即除以15的余数是1，故除以15的余数是2．
7.【答案】D
【解析】对函数求导，根据求导公式可得.
因为在区间上是增函数，所以在区间上恒成立，即在上恒成立.
变形可得在区间上恒成立.
根据均值不等式（，当且仅当时等号成立 ），对于（ ），有，当且仅当时取等号.
所以，答案选D.
8.【答案】D
【解析】当时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以在处取得极大值，也是最大值，，又，时，，故函数在时的取值范围为
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，， 又时，；故函数在时的取值范围为
作出在上的图象，如图：
要使有3个不同的实根，即函数的图象与直线有3个不同的交点. 由图分析可得，当时满足.综上，则实数取值范围为
9.【答案】AC
【解析】依题意，因为，
所以，
则数列是以3为周期的周期数列，
所以，，
故A、C正确，B、D错误．
10.【答案】AD
【解析】构造函数，对函数求导得，由于在上恒成立，
则函数在上单调递增，因为，所以，
即，故选项A正确，选项B错误；
构造函数，对函数求导得，由于在上恒成立，
则函数在上单调递减，因为，所以，
即，故选项C错误，选项D正确.
11.【答案】BC
【解析】A选项：二项式展开式的项数为项，A错误.
B选项：二项式展开式的二项式系数和为，这里，所以二项式系数和为，B正确.
C选项：求展开式所有项系数和，令二项式中字母的值为，即令，则 ，C正确.
D选项：二项式展开式的通项为，那么展开式的第三项，，为 ，D错误.
12.【答案】
【解析】因为数列满足，
即，所以数列为等差数列，
又因为，所以，则，
又因为，所以公差，所以，
所以.
13.【答案】
【解析】因为恒成立，
所以对于恒成立，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
当时，，求导得，在上单调递减，
，于是得函数在上单调递减，，
因此，则，所以的取值范围是.
14.【答案】
【解析】展开式通项为，.
.
对于，令，得该项中含的项为.
对于，令，得该项中含的项为.
合并同类项，.
所以项的系数为.
15.【答案】解：（1）由题意，因为大于500的三位数百位数字只能是5，7，9其中一个，个位和十位数字不同时为0即可，根据分步乘法原理，所以所求的个数为；
（2）由题意，因为三位数百位数字不能是0，所以所有三位数个数为；
（3）由题意，按照是否选择印有9的卡片分类，所可以组成三位数的个数为．
16.【答案】解：（1）由题意得第3项的二项式系数为
第2项的二项式系数为
∴，
∴．
（2）由题意得的展开式的通项，
令．含的项的系数为；
（3）由（1）知：,
展开式中含项的系数为：
,
所以展开式中含项的系数为147.
17.【答案】解：（1）对函数求导得，
由题意可得，即，解得，
当，时，，
显然函数处可取得极值.
因此函数.
（2）问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
对函数求导得，
令，解得或，则函数在、上单调递增；
令，解得，则函数在在上单调递减，
易知函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
18.【答案】（1）证明：由，两边同时除以可得，
化简可得，即，
又因为，所以，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，
则，
所以.
（2）解：由可得，①，
两边同时乘以2可得②，
可得，
即，所以.
（3）解：由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，
所以，即的最小值为，
综上，.
19.【答案】解：（1）当时，，
求导可得，
令，解得或时，
令，解得时，
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）当时，，
设与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得；
（3）当时，，
的图象与有三个公共点，
所以等价于方程有三个不等实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为.