河北省石家庄市七县2024-2025学年高二下学期4月期中提升考试数学试题（含解析）

2024~2025学年高二4月期中提升考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章～第七章第3节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取1本，则不同的取法种数为
A.7 B.12 C.21 D.42
2.随机变量服从两点分布，若，则
A. B. C. D.
3.二项式的展开式中的常数项为
A.240 B.-240 C.60 D.-60
4.有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有
A.24种 B.48种 C.96种 D.144种
5.函数的极小值点为
A.-2 B.-1 C.0 D.1
6.从5人中选择4人去，，三地调研，一个地方安排2人另外两个地方各安排1人的安排方法共有
A.35种 B.75种 C.120种 D.180种
7.已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知函数，过点（-2，a）可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为
A.（-2，6） B.（-6，2） C.（-3，5） D.（-5，3）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知，，则满足不等式的的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
10.设离散型随机变量的分布列为
2 3 4
0.3 0.4
若，则
A. B. C. D.
11.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为________m/s.
13.若，则的值被4除的余数为________.
14.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次向左跳动的概率为，则________；________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目
（1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
（2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数.
16.（本小题满分15分）
已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的极值与最值.
17.（本小题满分15分）
在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球，从中不放回地依次摸出3个小球.
（1）求前两次摸出的球均为黑球的概率；
（2）记表示摸出的小球中红球的数量，求的分布列及其数学期望.
18.（本小题满分17分）
科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体.简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生.目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类.现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案.
（1）若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回.
（i）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率；
（ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率；
（2）若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存在零点，求实数的取值范围；
（3）证明：.
2024~2025学年高二4月期中提升考 数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由题可知不同的取法的种数为.故选A.
2.C 设，因为服从两点分布，所以，即，解得.故选C.
3.C 二项式的展开式中的常数项为.故选C.
4.D 先把3名女生捆绑到一起，有种排法，再把她们与另外3名男生排列，有种排法，则不同的坐法有种坐法.故选D.
5.C ，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为0.故选C.
6.D 先从5人中选4人有种选法，再将4人分为3组，有种分组方法，最后将3组分到3个地方有种分法，由分步计数原理，得共有种.故选D.
7.A ，因为函数在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.故选A.
8.B 设切点，因为，故过点的切线斜率，所以切线方程为，将（-2，a）代入，得，化简得，由题意知该方程有3个不同的解，令，则，令，解得或，易得在和上单调递增，在（-2，0）上单调递减，要使有3个零点，必有，且，解得.故选B.
9.AB 因为，所以，即，又，，所以或4，故选AB.
10.AD 由随机变量分布列的性质，得，，，所以，.故选AD.
11.ABC 对于A，的定义域为，由，得，，因为在上恒成立，所以在上是“下凸函数”，故正确；对于B，的定义域为，由，得，，因为在上恒成立，所以在上是“下凸函数”，故B正确；对于C，的定义域为，由，得，，因为在上恒成立，所以在上是“下凸函数”，故正确；对于D，的定义域为，由，得，，当时，，所以在上不是“下凸函数”，故D错误.故选ABC.
12.-15 因为，所以，令，得，即该运动员在时的瞬时速度为.
13.3 令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被4除余3.
14.（2分） （3分） 由题意，得，，，由，设，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，所以.
15.解：（1）若任意选择三门课程，则不同的选法总数为种. 6分
（2）解法一：物理和历史不能同时选包含2种情况：物理和历史中选择一个，物理和历史都没有选，若物理和历史中选择一个，不同的选法总数为；若物理和历史都没有选，不同的选法总数为.综上所述，物理和历史不能同时选时不同的选法总数为种. 13分
解法二：任意选择三门课程，则不同的选法总数为种，若物理和历史同时选，则不同的选法总数为种，所以物理和历史不能同时选时不同的选法总数为种. 13分
16.解：（1）由，得， 2分
所以. 4分
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得. 6分
（2）由（1），得，， 8分
令，解得，或. 10分
当变化时，，的变化情况如下表所示：
（-4，-2） -2 （-2，1） 1 （1，2）
- 0 + 0 -
单调递减 -14 单调递增 单调递减
因此，当时，有极小值，且极小值为-14，当时，有极大值，且极大值为. 13分
又，，
所以函数在区间上的最大值为12，最小值为-14. 15分
17.解：（1）记前两次摸出的球均为黑球为事件，则. 5分
（2）的取值有0，1，2，3， 7分
，， 9分
，， 11分
故的分布列为：
0 1 2 3
所以. 15分
18.解：（1）设事件“取出的2人的档案中有女生档案”，事件“第2次取出的是女生档案”，
（i）由题意知，随机试验为依次从第一个档案袋中不放回地取出2人的档案，
则，
又，
由古典概型的概率公式得，故所求的概率为. 5分
（ii），
由条件概率公式得，故所求的概率为. 10分
（2）设事件“最后从第二个档案袋中取出的是女生档案”，事件“从第一个档案袋中取出的是女生档案”，则，，，，
由全概率公式得，
从第二个档案袋中取出的是女生档案的概率为. 17分
19.（1）解：函数的定义域为，且， 1分
因为，所以当时，，故在上单调递减； 3分
当时，令，得；令，得， 4分
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增. 6分
（2）解：当时，，所以，
所以的定义域为，， 7分
令，得，令，得，
所以在（-1，0）上单调递减，在上单调递增，
所以， 9分
显然当时，，
又存在零点，所以，所以，即的取值范围为. 10分
（3）证明：由（2）知当时，，当且仅当时等号成立，
所以，， 11分
取（，2，3，…，），有（，2，3，…，）， 13分
所以， 14分
所以，
所以. 17分