河南省新乡市2024-2025学年高二下学期期中数学试题（含解析）

河南省新乡市2024 2025学年高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．若直线与互相垂直，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．250 B．500 C． D．
4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
7．记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若为奇函数，则
B．的图象关于直线对称
C．若，则的单调递增区间为
D．当时，在上单调递增
11．已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ）
A．X的值可能为，，， B．的值可能为，，，
C．的概率为 D．的概率为
三、填空题
12．某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有 个．
附：若，则．
13．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 种．
14．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为 ．
四、解答题
15．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）直线与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若，求的值．
16．为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
服用情况 患病情况
患病 不患病
服用中药预防方 100 900
不服用中药预防方 400 600
（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18．已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求a的取值范围．
19．某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可知直线的斜率，
当时，直线的斜率不存在，不满足；
当时，直线的斜率，
由，得，即，解得．
故选B
2．【答案】D
【详解】当时，，又，则．
当时，，又，所以，
解得：．
故选D
3．【答案】C
【详解】由二项式展开式的通项公式可得，，
令，解得，所以的系数为．
故选C
4．【答案】D
【详解】设等比数列的公比为q，则，又，
解得，故．
故选D.
5．【答案】A
【详解】，所求切线方程为．
故选A.
6．【答案】A
【详解】由题意可得，
令函数，则．
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即的最小值为，此时．
故选A.
7．【答案】B
【详解】由题意可得，球O的半径为1．
．当P为正方体顶点时等号成立，
故选B
8．【答案】C
【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．
正三棱柱的体积．
当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，最大值为．
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】解得：
所以，
A，B，D正确，，C错误．
故选ABD
10．【答案】BCD
【详解】A选项，的定义域为，
若为奇函数，则，解得，A错误．
B选项，，
所以的图象关于直线对称，B正确．
C选项，若，则．
令，解得，
所以的单调递增区间为，C正确．
D选项，
，
当时，，故．
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故选BCD
11．【答案】ACD
【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法.
X的值可能为，，，，A正确；
不妨设，
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
，，，.
，C正确；
又的值可能为，，，，B错误；
不妨设
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
，，，.
，D正确.
故选ACD.
12．【答案】1587
【详解】由可知，
故其中单果质量超过的草莓约有个．
13．【答案】1800
【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种，
再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种．
14．【答案】/
【详解】由题可知，点P在第四象限，．
设．由，求得．
因为，所以，求得，即．
由正弦定理可得．
设，得．由，
得，则，，
又，解得．
15．【答案】（1）
（2）①；②．
【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以．
椭圆C的离心率为，解得．
故椭圆C的标准方程为．
（2）联立得．
①，解得，
所以m的取值范围为．
②因为，所以，解得．
．
16．【答案】（1）
（2）9
【详解】（1）由题意可得，
．
．
（2）从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为．
由已知得，
则．
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）作，垂足为E，连接，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
以E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
，解得（舍去），
即，
四棱锥的体积.
18．【答案】（1）极小值为，无极大值．
（2）答案见解析
（3）．
【详解】（1）．
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
在处取得极小值，极小值为，无极大值．
（2）的定义域为．
．
若，则为常函数，无单调区间．
若，则的单调递减区间为，无单调递增区间．
（3）因为，所以，即．
令函数，上式等价于．
在上恒成立，所以在上单调递增．
因为当时，，当时，，所以，即．
因为，所以，所以．
故a的取值范围是．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球；
第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.
故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为.
（2）这两份奖品被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
，
被第名顾客抽走的概率为.
（3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下讨论的情形：
若第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，
则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为，
第名顾客只获得一份奖品，其概率为，
第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为
，
所以，，
当时，不符合上式，
因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为.