黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题（含解析）

黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024 2025学年高二下学期5月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．记为等差数列的前项和，若，则=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（ ）
A．53 B．35 C．5×4×3 D．5×4
4．已知0，1，2，3，4，5这6个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（ ）
A．20个 B．30个 C．40个 D．55个
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若二项式的展开式中各项的系数和为，则该展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的首项，当时，，若，则的值可以是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（ ）个．
x -1 0 4 5
1 2 2 1
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选题）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的通项公式
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校计划在校本课程中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）
A．课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种
B．课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种
C．课程“乐”、“射”相邻的不同排法共有120种
D．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有144种
11．已知函数，则（ ）．
A．函数在点处的切线方程是 B．函数的递减区间为
C．函数存在最大值和最小值 D．函数有三个实数解，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，曲线在点处的切线方程为 .
13．已知数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列.若，则 .
14．设，，…，，是1，2，…，的一个全排列，把排在左边且小于的数的个数称为的顺序数（，2，…，）.例如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数是1，而3的顺序数是0.则在由1，2，…，8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
16．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最值．
17．已知数列满足，且点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.
18．已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若函数的极大值不小于，求实数的取值范围.
19．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
（1）数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列，请说明理由
（2）数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求a的值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，所以，，
设线在点处的切线的倾斜角为，
由导数的几何意义知，即.
所以曲线在点处的切线的倾斜角为.
故选B.
2．【答案】B
【详解】先将已知式转化成关于基本量的方程，解方程得到，再写出通项公式并计算即可.
【详解】等差数列的公差是d，则，，即，联立，解得，则.
故选B.
3．【答案】B
【详解】根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，
则5位同学共有种不同的选法.
故选B.
4．【答案】B
【详解】若这三个数字里没有，则共有个，
若这三个数字里有，则共有个，则共有个.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为，所以.
所以.
故选C
6．【答案】B
【详解】由题设及二项式定理可得，
则，
由题意，即，
所以展开式中含项的系数为．
故选B．
7．【答案】C
【详解】由已知可得：，
故数列的周期为3，
因为，所以可以为2024．
故选C
8．【答案】D
【详解】由导函数的图象知，函数在，上都单调递增，在，上都单调递减，
，函数有最大值，函数在处取得极小值，显然，
函数的零点个数即是直线与函数的图象交点个数，
当时，直线与函数的图象有4个交点，C可能；
当时，若，直线与函数的图象有2个交点，A可能；
若，直线与函数的图象有3个交点，B可能；
若，直线与函数的图象有4个交点，C可能，
所以函数的零点个数不可能为5个，即D不可能.
故选D
9．【答案】BC
【详解】A．当时，，故错误；
B．当时，，
当时，，符合的情况，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故正确；
C．因为是等差数列，所以，故正确；
D．当时，，所以显然不成立，故错误；
故选BC.
10．【答案】ABD
【详解】A.“礼”不排在第一天和最后一天，则排在中间4天中的1天，所以不同排法有，故A正确；
B.顺序一定问题，不同的排法种数为，故B正确；
C.相邻问题，采用捆绑法，不同的排法种数为，故C错误；
D.不相邻问题，采用插空法，不同的排法种数为，故D正确.
故选ABD
11．【答案】ABD
【详解】由，得,
所以，又，
所以函数在点处的切线方程是，
即，故A正确；
令，可得，解得；
令，解得或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，
当时，,
作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确；
所以，无最大值，故C错误；
若方程有三个实数解，即与的图象有三个不同的交点，
可得，故D正确.
.故选ABD.
12．【答案】
【详解】由函数可得，，
∴，即切线的斜率，
∴切线方程为，即.
13．【答案】
【详解】根据题意可知是以为首项，公比为2的等比数列；
所以可得，即，
因此
.
14．【答案】144
【详解】依题意，在8的左边有2个比8小的数，在7的左边有3个比7小的数，在5的左边有3个比5小的数，
由于8是最大的数，则8必排在左起的第3位，而7必须排在左起的第5位，5只能在7的右边，
若6在5的右边，则5与7必相邻 ，共有种排法，
若6在5的左边，则5必在左起的倒数第二位，共有种排法，
所以总共有种排法.
15．【答案】（1）
（2）且
【详解】（1）若等差数列公差为，则，即，
由，则，
所以的通项公式.
（2）由题设，
当为偶数，则；
当为奇数，则；
所以且.
16．【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）最小值为，最大值为1
【详解】（1）．
当或时，．
，的变化情况如表
-1
+ 0 - 0 +
的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．
为极小值点．，，
所以的最小值为，最大值为1
17．【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）点在直线上，得，
所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．
故，即．
（2），
所以
即，因 ，故，
故要使对恒成立，需使，即，
又，所以的最小值为5.
【方法总结】裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为的前n项和，其中{an}为等差数列，＝.
常见的拆项方法：
①＝；
②＝[－]；
③＝；
④＝(－)(a>0，a≠1)．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：因为，则，
在直线方程中，令，可得，
由题意可得，解得.
（2）解：因为函数的定义域为，.
当时，对任意的，，即函数在上单调递增，此时函数无极值；
当时，由，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
故函数的极大值为，
整理可得，
令，其中，则，故函数在上单调递增，
且，由可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
19．【答案】（1）不是等差数列；是等差数列；理由见解析
（2）
【详解】（1）不是等差数列；是等差数列；理由如下：
因为，所以，
因为，，，
故，，
显然，
所以不是等差数列；
因为，
则，，
所以是首项为12，公差为6的等差数列.
（2）因为数列是以1为公差的等差数列，，
所以，故，
所以数列是以公比为的正项等比数列，，
所以，
且对任意的，都存在，使得，即，
所以，因为，所以，
①若，则，解得（舍去）或，
即当时，对任意的，都存在，使得；
②若，则，
即对任意的，不存在，使得；
综上所述，.