4-5月之统计与概率—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·萧山模拟）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2025·台州模拟）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
3．（2025·萧山模拟）从地到地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00-10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从地到地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2024九下·杭州模拟）已知一组样本数据，，，为不全相等的个正数，其中．若把数据，，，都扩大倍再减去（其中是实数，），生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．方差相等 D．标准差可能相等
二、填空题
5．（2025·莲都模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用五个字母表示，其中代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为 ．
6．（2025·上城二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”获得的。现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性相同，现有音乐小球从4处进入小洞发出“羽”音的概率是 。
7．（2025·定海月考）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 .
8．（2024·拱墅模拟）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ．
9．（2025·浙江模拟）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 。
三、解答题
10．（2025·上城二模）某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动。为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图：
活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图：
请根据调查的信息分析：
（1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数；
（2）m= ，= .
中位数 众数 平均数
活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 m 4.35
活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校”西湖经典诗词诵背”系列活动的效果。
11．（2025·钱塘二模）为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略.国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中国人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BM<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的BMI数值.
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
体重(kg) 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高(m) 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
BMI 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 x 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生BMI频数分布表
组别 BMI 频数
A BMI<18.5 0
B 18.5≤BMI<24 a
C 24≤BMI<28 b
D BMI≥28
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中x的值，并直接写出a，b的值.
（2）请估计该校九年级300名学生中BM≥24的人数.
12．（2025·文成二模）九年级（1）（2）两个班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．已知比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．两个班的得分信息如下表：
九（1）班成绩统计表
得分 0 5 10 15 20
人数 2 4 a b c
九（2）班成绩统计表
平均分 中位数 众数 满分率
14.25 10 10 45%
（1）分数10，15，20中，每人得分不可能是 ▲ 分．
（2）已知九（1）班成绩的中位数是15分，求和的值．
（3）在（2）的情况下，你认为哪个班级成绩更优秀？请从平均分、中位数、众数和满分率四个方面作出评价．
13．（2025·婺城模拟）国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．其中BMI与胖瘦程度见下表．
BMI的范围 BMI BMI
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动.
（1）【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：①随机调查全校的60名同学的身高体重；②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校60名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是 （填写序号）．
（2）【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了60名同学的BMI值，制作了相应的频率表如下：
BMI的范围
人数 3 6 9
频率 0.05 0.15
求表中的值.
（3）【数据应用】
若该校九年级共有500名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数.
14．（2025·上城模拟）中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“”软件统计表
软件 使用人数 百分比
18
12
豆包
腾讯元宝 6
其他软件
8%
九年级学生最常使用的“软件统计图”
（1）请写出统计表中的值：
___________，___________；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率．
15．（2025·金华模拟）某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生逐委进行投票推荐， 每人选择其中一个，得到扇形统计图．
教师评委量化统计表
组别 运动 感知 协同
甲 85 88 90
乙 88 83 82
丙 83 80 80
（1）求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？
（2）丙成绩明显最低，已求得甲总成绩为 80.9 分，现要从甲、乙两个机器人中选择参加去比赛，你认为推选哪个？为什么？
16．（2025·镇海区模拟）圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】折线统计图；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，①说法正确；
通过统计图发现，若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，②说法正确；
通过统计图发现要30分钟内到达必须要在6：30之前出发才可以，故③说法错误；
故选：A．
【分析】
根据折线统计图提供的信息逐项判断即可．
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小，
∴平均数变小，方差变小，
故选：A．
【分析】
此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3．【答案】A
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：
根据统计图可得，地铁的出行时间受出发时刻影响比较小，所以①选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，故②选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，7：00出行，选择公交车所用时间为32分钟，所以③选项说法错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵一组样本数据，，，为不全相等，则扩大倍时，再减去，
∴新的数据，，，，
、由题意可得：设原数据平均数为，则新数据平均数为，平均数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据中位数为，则新数据中位数为，中位数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据方差为，则新数据方差为倍，方差可能相等，不符合题意；
、根据标准差的概念是方差的算术平方根，设原数据标准差为，则新数据标准差为，
∴当时，则标准差可能相等，符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，标准差就是方差的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，
∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为．
故答案为：．
【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，然后用概率公式计算可求解．
6．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
7．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 5 7
3 5 8
5 7 8
∴共有6种等可能结果，其中和是偶数的有2种，
∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是，
故答案为：.
【分析】利用列表法得出所有的等可能结果数，从而得其中和是偶数的结果数，进而利用概率公式进行计算即可.
8．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：
369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可求解．
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图.
共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，
∴能够让灯泡发光的概率.
故答案为：.
【分析】先画树状图，求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解.
10．【答案】（1）解：100×=275人
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上.
（2）3；5.525
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步。活动取得了较好的效果。
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
11．【答案】（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生BMI频数分布表得a＝8，b＝1；
（2）解：30060（人），
答：估计该校九年级300名学生中BMI≥24的人数为60人．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据计算公式可得x的值，根据表格可得a，b的值；
(2)利用样本估计总体即可.
12．【答案】（1）15
（2）解：由（1）得，
因为中位数是15分，
所以，
所以；
（3）解：∵九（1）班的平均分为分，
中位数为15分，众数为20分，满分率为，
九（2）班的平均分为14.25分，中位数为10分，众数为10分，满分率为，
∴九（1）班的中位数、众数和满分率都高于九（2）班，且平均数两个班相差不大，所以我认为九（1）班的成绩更优秀．
【知识点】推理与论证；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵共有4条线，
可能全部连错，得0分，
可能1条线对，3条线错，得5分，
可能2条线对，2条线错，得10分，
可能3条线对，则第4条也对，得20分，
∴每人得分不可能是15分；
故答案为：15；
【分析】（1）根据竞赛规则“所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连”可得解答的时候不可能出现连错一条线的可能，如果出错至少会错两题；
（2）由（1）可得得15分的人数为0 ，即b=0，然后根据“将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数”建立方程，求解即可；
（3）根据平均数计算方法计算出九（1）班的平均分，进而再根据满分率的计算方法求出九（1）班的满分率，进而比较两个班的平均数、 中位数、众数和满分率 ，并结合平均数、中位数、众数和满分率 的定义即可判断得出答案.
13．【答案】（1）③
（2）解：a=60-3-6-9=42(人)
（3）解：500×0.7=350名
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：(1)解：①随机调查全校的60名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意；
②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意；
③随机调查该校60名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意；
故答案选：③.
【分析】(1)根据调查方式的特征逐一判断即可；
(2)根据60减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以60即可求解；
(3)通过500乘以九年级健康类型频率即可求解.
14．【答案】（1）
（2）解：（人）．答：最常使用“”的同学有144位．
（3）（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
【分析】
（1）观察频数分布表、扇形统计图，可用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答；
（2）用学生数乘以所占的比例即可解答；
（3）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
（2）解：（人）．
答：最常使用“”的同学有144位．
（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
15．【答案】（1）解：甲得票数∶ (票)，
乙得票数∶ (票)；
（2）解：乙总成绩∶ (分)，
甲组总成绩 乙组总成绩，
推荐乙组参加市级比赛．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据总人数乘以甲、乙的占比解答即可；
（2）利用加权平均数求出乙总成绩，比较解题即可.
（1）解：甲得票数∶ (票)，
乙得票数∶ (票)；
（2）解：乙总成绩∶ (分)，
甲组总成绩 乙组总成绩，
推荐乙组参加市级比赛．
16．【答案】（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，
∵圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．
∴圆圆同学的成绩较好．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的意义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”计算即可求解；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，然后根据"方差较小，成绩相对稳定"即可判断求解．
（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
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一、选择题
1．（2025·萧山模拟）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】折线统计图；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，①说法正确；
通过统计图发现，若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，②说法正确；
通过统计图发现要30分钟内到达必须要在6：30之前出发才可以，故③说法错误；
故选：A．
【分析】
根据折线统计图提供的信息逐项判断即可．
2．（2025·台州模拟）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小，
∴平均数变小，方差变小，
故选：A．
【分析】
此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3．（2025·萧山模拟）从地到地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00-10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从地到地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：
根据统计图可得，地铁的出行时间受出发时刻影响比较小，所以①选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，故②选项说法正确，符合题意；
根据统计图可得，7：00出行，选择公交车所用时间为32分钟，所以③选项说法错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据折线统计图中的信息进行判定即可得出答案.
4．（2024九下·杭州模拟）已知一组样本数据，，，为不全相等的个正数，其中．若把数据，，，都扩大倍再减去（其中是实数，），生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据相比较，（ ）
A．平均数相等 B．中位数相等
C．方差相等 D．标准差可能相等
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵一组样本数据，，，为不全相等，则扩大倍时，再减去，
∴新的数据，，，，
、由题意可得：设原数据平均数为，则新数据平均数为，平均数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据中位数为，则新数据中位数为，中位数不相等，不符合题意；
、由题意可得：设原数据方差为，则新数据方差为倍，方差可能相等，不符合题意；
、根据标准差的概念是方差的算术平方根，设原数据标准差为，则新数据标准差为，
∴当时，则标准差可能相等，符合题意.
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，标准差就是方差的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
二、填空题
5．（2025·莲都模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用五个字母表示，其中代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，
∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为．
故答案为：．
【分析】由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种，然后用概率公式计算可求解．
6．（2025·上城二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”获得的。现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性相同，现有音乐小球从4处进入小洞发出“羽”音的概率是 。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
7．（2025·定海月考）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 5 7
3 5 8
5 7 8
∴共有6种等可能结果，其中和是偶数的有2种，
∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是，
故答案为：.
【分析】利用列表法得出所有的等可能结果数，从而得其中和是偶数的结果数，进而利用概率公式进行计算即可.
8．（2024·拱墅模拟）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：
369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可求解．
9．（2025·浙江模拟）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图.
共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有8种，
∴能够让灯泡发光的概率.
故答案为：.
【分析】先画树状图，求出所有等可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解.
三、解答题
10．（2025·上城二模）某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动。为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图：
活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图：
请根据调查的信息分析：
（1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数；
（2）m= ，= .
中位数 众数 平均数
活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 m 4.35
活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校”西湖经典诗词诵背”系列活动的效果。
【答案】（1）解：100×=275人
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上.
（2）3；5.525
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步。活动取得了较好的效果。
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
11．（2025·钱塘二模）为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略.国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中国人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BM<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的BMI数值.
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
体重(kg) 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高(m) 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
BMI 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 x 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生BMI频数分布表
组别 BMI 频数
A BMI<18.5 0
B 18.5≤BMI<24 a
C 24≤BMI<28 b
D BMI≥28
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中x的值，并直接写出a，b的值.
（2）请估计该校九年级300名学生中BM≥24的人数.
【答案】（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生BMI频数分布表得a＝8，b＝1；
（2）解：30060（人），
答：估计该校九年级300名学生中BMI≥24的人数为60人．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据计算公式可得x的值，根据表格可得a，b的值；
(2)利用样本估计总体即可.
12．（2025·文成二模）九年级（1）（2）两个班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．已知比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．两个班的得分信息如下表：
九（1）班成绩统计表
得分 0 5 10 15 20
人数 2 4 a b c
九（2）班成绩统计表
平均分 中位数 众数 满分率
14.25 10 10 45%
（1）分数10，15，20中，每人得分不可能是 ▲ 分．
（2）已知九（1）班成绩的中位数是15分，求和的值．
（3）在（2）的情况下，你认为哪个班级成绩更优秀？请从平均分、中位数、众数和满分率四个方面作出评价．
【答案】（1）15
（2）解：由（1）得，
因为中位数是15分，
所以，
所以；
（3）解：∵九（1）班的平均分为分，
中位数为15分，众数为20分，满分率为，
九（2）班的平均分为14.25分，中位数为10分，众数为10分，满分率为，
∴九（1）班的中位数、众数和满分率都高于九（2）班，且平均数两个班相差不大，所以我认为九（1）班的成绩更优秀．
【知识点】推理与论证；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵共有4条线，
可能全部连错，得0分，
可能1条线对，3条线错，得5分，
可能2条线对，2条线错，得10分，
可能3条线对，则第4条也对，得20分，
∴每人得分不可能是15分；
故答案为：15；
【分析】（1）根据竞赛规则“所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连”可得解答的时候不可能出现连错一条线的可能，如果出错至少会错两题；
（2）由（1）可得得15分的人数为0 ，即b=0，然后根据“将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数”建立方程，求解即可；
（3）根据平均数计算方法计算出九（1）班的平均分，进而再根据满分率的计算方法求出九（1）班的满分率，进而比较两个班的平均数、 中位数、众数和满分率 ，并结合平均数、中位数、众数和满分率 的定义即可判断得出答案.
13．（2025·婺城模拟）国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．其中BMI与胖瘦程度见下表．
BMI的范围 BMI BMI
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动.
（1）【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：①随机调查全校的60名同学的身高体重；②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校60名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是 （填写序号）．
（2）【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了60名同学的BMI值，制作了相应的频率表如下：
BMI的范围
人数 3 6 9
频率 0.05 0.15
求表中的值.
（3）【数据应用】
若该校九年级共有500名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数.
【答案】（1）③
（2）解：a=60-3-6-9=42(人)
（3）解：500×0.7=350名
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：(1)解：①随机调查全校的60名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意；
②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意；
③随机调查该校60名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意；
故答案选：③.
【分析】(1)根据调查方式的特征逐一判断即可；
(2)根据60减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以60即可求解；
(3)通过500乘以九年级健康类型频率即可求解.
14．（2025·上城模拟）中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“”软件统计表
软件 使用人数 百分比
18
12
豆包
腾讯元宝 6
其他软件
8%
九年级学生最常使用的“软件统计图”
（1）请写出统计表中的值：
___________，___________；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率．
【答案】（1）
（2）解：（人）．答：最常使用“”的同学有144位．
（3）（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
【分析】
（1）观察频数分布表、扇形统计图，可用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答；
（2）用学生数乘以所占的比例即可解答；
（3）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
（2）解：（人）．
答：最常使用“”的同学有144位．
（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
15．（2025·金华模拟）某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中推选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分），200名学生逐委进行投票推荐， 每人选择其中一个，得到扇形统计图．
教师评委量化统计表
组别 运动 感知 协同
甲 85 88 90
乙 88 83 82
丙 83 80 80
（1）求学生评委投给甲和乙两个机器人的票数分别是多少？
（2）丙成绩明显最低，已求得甲总成绩为 80.9 分，现要从甲、乙两个机器人中选择参加去比赛，你认为推选哪个？为什么？
【答案】（1）解：甲得票数∶ (票)，
乙得票数∶ (票)；
（2）解：乙总成绩∶ (分)，
甲组总成绩 乙组总成绩，
推荐乙组参加市级比赛．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据总人数乘以甲、乙的占比解答即可；
（2）利用加权平均数求出乙总成绩，比较解题即可.
（1）解：甲得票数∶ (票)，
乙得票数∶ (票)；
（2）解：乙总成绩∶ (分)，
甲组总成绩 乙组总成绩，
推荐乙组参加市级比赛．
16．（2025·镇海区模拟）圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，
∵圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．
∴圆圆同学的成绩较好．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差
【解析】【分析】
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的意义“方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数”计算即可求解；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，然后根据"方差较小，成绩相对稳定"即可判断求解．
（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
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