陕西省部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题(含答案详解版))

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名称 陕西省部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题(含答案详解版))
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-06-08 22:17:08

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文档简介

陕西省部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考
数学试题及答案解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某书架的第一层放有5本不同的历史类图书,第二层放有6本不同的文学类图书.从这些书中任取1本历史类图书和1本文学类图书,不同的取法有( )
A.11种 B.30种 C.种 D.种
2.展开式中的系数为( )
A.1 B.7 C.21 D.42
3.已知随机变量服从二项分布,且,则( )
A.5 B.10 C.20 D.40
4.已知函数的导函数为,的图象如图所示,则( )
A.
B.
C.
D.
5.某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中6道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道才算合格,则他能合格的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知变量和的统计数据如下表:
若和线性相关,根据最小二乘法得到关于的经验回归方程为,则( )
A.1.24 B.1.48 C.1.62 D.1.66
7.某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念,要求第一排站15人,第二排站18人,则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为( )
A. B. C. D.
8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分,其中(单位:cm)是瓶子的半径,已知每出售1该种液体材料,制造商可获利4分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm,则每瓶液体材料的利润最大时,瓶子的半径为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,
有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0
分.
9.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据,甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为,,,,则( )
A.这四人中,丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B.这四人中,乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C.这四人中,甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D.这四人中,甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
10.记为数列的前项和.若,则( )
A. B.
C. D.
11.已知,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某校高三有1000人参加考试,统计发现数学成绩近似服从正态分布,且成绩优秀(不低于130分)的人数为160,则估计此次考试数学成绩在90分至110分之间的人数为 .
13.已知盒中有2个白球和2个黑球,一次性不放回地任取2个球,记是取到黑球的个数,则 ,若变量,则 .
14.已知生男孩和生女孩是等可能的,现随机选择一个有三个小孩的家庭,若该家庭有女孩,则三个男孩中恰好有一个女孩的概率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.(13分)在等差数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
16.(15分)体育运动是强身健体的重要途径,《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020-2030)》明确提出:青少年学生每天在校内需参与不少于60分钟的中高强度身体活动.随着此方案的发布,体育运动受到各地中小学的高度重视,众多青少年的体质健康得到显著改善.某中学为了了解体育运动对学生成绩的影响情况,从校内随机抽取100名学生,调查他们平均每天的运动情况及成绩情况,得到如下数据:
成绩优秀 成绩一般
每天运动不少于60分钟 20 40
每天运动不足60分钟 5 35
(1)是否有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关?
(2)用频率近似概率,为了更进一步了解体育运动是否对学生成绩有影响,现从该校每天运动不少于60分钟的学生中随机抽取3人,记这3人中成绩优秀的人数为,求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式:,其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15分)已知的展开式中所有二项式系数之和为1024.
(1)求的展开式所有项的系数和;
(2)求的展开式所有偶数项的系数和;(用算式表达)
(3)判断的展开式第几项的系数绝对值最大.
18.某商家搞会员积分活动,活动规定:参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子,记这2个骰子的点数之和为.若,则积10分;若,则积20分;若,则积30分.按照该规则,记参与该活动一次获得的积分为.
(1)求的分布列与期望;
(2)为了让顾客获得更多积分,商家决定,当时,商家再额外赠送积分;当时,不额外赠送积分.记参加该活动一次最终获得的积分为,若,求的取值范围.
19.(17分)已知函数.
(1)若,求的图象在点处的切线方程;
(2)试讨论的单调性;
(3)证明:只有一个零点.
答案解析
一、选择题
1.B 解析:从第一层中任取1本历史类图书,有5种取法;从第二层中任取1本文学类图书,有6中取法.由分布乘法计数原理可知,共有5×6=30种不同的取法.
2.C 解析:展开式中的系数为.
3.A 解析:20×0.5×(1-0.5)=5.
4.A 解析:根据导数的几何意义,结合图象可得.
5.A 解析:他能合格的概率为.
6.D 解析:由题意得:,.
∵经验回归方程过点,∴,解得1.66.
7.D 解析:先从30名游客中选12名和导游站第一排,由捆绑法可得3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为.
8.B 解析:由题意可知,每瓶液体材料的利润,,∴,令,得.∴当时,,当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,故每瓶液体材料的利润最大时,.
二、选择题
9.BC 解析:∵,∴这四人中,甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高,乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低.
10.ACD 解析:当时,,解得,A正确;
当时,,∴,即,则是以为首项,2为公比的等比数列,∴,当时,也满足上式,C 正确;
由上知,B错误;
,D正确.
11.BCD 解析:令,则,故A错误;展开式中的系数为,∴,解得,B正确;二项展开式的通项公式为,∴,C正确;令,得,令,得,两式相减,得,D正确.
三、填空题
12.340 解析:∵,∴此次考试数学成绩在90分至110分之间的人数为.
13.;1 解析:,服从超几何分布,则,∴.
14. 解析:用表示女孩,表示男孩,则样本空间
.
分别设“所选的家庭中有女孩”和“所选家庭的三个小孩中恰好有一个女孩”为事件A和事件B,则,,.
四、解答题
15.解:(1)设数列的首项为,公差为,∴,
解得,,故的通项公式为.
(2)∵,
∴,
16.解:(1)由题意可得.
又∵,而且查表可得,由于,∴有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关.
(2)从该校每天运动不少于60分钟的学生中随机抽取1人,此人成绩优秀的概率为,
∴.∴;; ;.
的分布列为
∴.
17.解:(1)∵所有二项式系数之和是1024,∴,∴.
令,得,∴的展开式所有项的系数和为1.
(2)令的展开式所有项的系数依次为.
由(1)知.
令,得,∴.
(3)由(2)可知的展开式的通项.
由,得.
∵为整数,∴,∴的展开式第7项的系数绝对值最大.
18.解:(1),,
,
∴的分布列为:
∴.
(2).
当时,.
当,.
当时,.
令,解得,即时,.
当时,.
综上,的取值范围为,且.
19.解:(1)若,则,,,,故的图象在点处的切线方程为.
(2)∵,∴的定义域为..
令.令,得.
若,即,则,,∴在上单调递增.
若,即,则方程的解为,,且.
当时,,;
当时,,.
故在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
(3)证明:当时,在上单调递增,
∵,∴只有一个零点;
当时,在上单调递增,在上单调递减,
∵,,∴在上有一个零点.
.
∵,∴,即,
∴,
令,则.
当时,;当时,.
故在上单调递减,在上单调递增,
∴,∴,
∴在上没有零点,即在上只有一个零点.
综上:只有一个零点.
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