几何压轴（胡不归与阿氏圆等模型）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
3．（专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
4．（2024·宜宾）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·南宁模拟）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6． 如图，在矩形ABCD中， 延长BA 至点 E，使 以AE为边向上作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交 BC，EF于点 H，I，则线段HI的长为 .
7． 如图，在矩形ABCD 中，AB=11，BC=6，E为AB上一点，且AE=2，F 为AD 边上的一个动点，连接EF，若以EF 为边向右侧作等腰Rt△EFG，EF=EG，连接 CG，则 CG 的最小值为 .
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与x轴，y轴交于A，B两点，若C为y轴上一动点，则2AC+BC的最小值为 .
9．如图，正方形ABCD的边长为4，内切圆记为⊙O，P为⊙O上一动点，则 PB的最小值为 .
10．如图，在矩形ABCD中， 18， 点P是矩形内部一点，且 15，连接 PC，PD，则 的最小值为 .
三、解答题
11．
（1）如图①，点E为矩形ABCD 内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中， P为对角线AC上一点，且 请问在边CD上是否存在一点 E，使得直线 PE将矩形ABCD 的面积分为2：3两部分 若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由.
四、实践探究题
12．（专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破）预备知识：
（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，
将点代入得：，整理得
∵t为任意实数，等式恒成立，∴，∴，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
（2）问题探究：如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为 ．
（3）结论应用：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值．
13．
（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；
（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；
（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
14．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为 ．
（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
15．问题提出：如图1，在Rt中，，半径为2，P为圆上一动点，连接AP，~BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点，使，则有，又，．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为
（2）自主探索：在＂问题提出＂的条件不变的情况下，的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，，点是上一点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；瓜豆原理模型-点在直线上
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；胡不归模型
【解析】【解答】解：连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P
∵四边形是菱形
∴AM⊥OB，，，
∵
∴，
∵MH⊥OC，AM⊥OB
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，如下图所示
∵菱形的面积
∴
∴的最小值为4，
故答案为：A .
【分析】连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P，利用菱形的性质可证得AM⊥OB，，，，利用勾股定理求出AM、MC的长，利用三角形的面积公式可求出MH的长，利用锐角三角函数的定义可求出，由此可证得，当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，利用菱形的面积公式可求出AG的长，即可得到的最小值.
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；瓜豆原理模型-点在直线上
4．【答案】C
【知识点】阿氏圆模型；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由图象可得a<0，c>0，∴b<0.
∵ 抛物线的图象交x轴于点、，
∴x=1时，y=0，即a+b+c=0；故选项①正确；
对称轴为，即，∴b=2a，
∴a+b+c=a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴，故选项②正确；
当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，∵对称轴为x=﹣1， AB=1－(-3)=4，
∴AC=AB=4或AB=CB=4.
点C（0，c），∴，，
当AC=AB时，，解得：（负数舍去）；
当CB=AB时，，解得：（负数舍去）；
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故选项③错误；
当c=3时，C(0，3)，OC=3，
在OA上取点P，使，则点，.
∴，
又∵∠HOP=∠POA，
∴△HOP∽△POA.
∴，
∴.
∴，当C，P，H三点共线，可以取得最小值.
∴，
故的最小值是 ，故选项④正确.
综上，正确的选项是①②④
故答案为：C.
【分析】抛物线过点(1，0)，求得求得a+b+c=0，即可判断①；求得对称轴为直线x=-1，即可求得b=2a，由a+b+c=0，求得c=﹣3a，则a+3b+2c=a<0，即可判断②；分AC=AB=4和AB=BC=4两种情况求得c的值即可判断③；在OA上取点P，使，连接PH，则，于是可证明△HOP∽△POA，即可得，即.则当C、P、H共线时， 的值最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④；
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念；旋转的性质；瓜豆原理模型-点在圆上
【解析】【解答】解：如图，当在对角线延长线上时，最大，连接，
由旋转得：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在以点A为圆心，半径为2的圆上运动，
在中：，
∴，
∴当三点共线时且穿过圆心时，长度最大；
即长度的最大值为；
故答案为：A．
【分析】
根据瓜豆原理：点的运动路线为以C为圆心，2为半径的圆；因而点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当三点共线时且穿过圆心时，最大；连接，利用SAS证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
6．【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；等分面积模型
【解析】【解答】解：如解图，连接AC，BD 交于点 J，过点O 作OK⊥EB于点 K，过点 J作 JL⊥EB于点L，过点O 作OM⊥JL 于点 M.
∵点 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心，
∴直线 IH 平分该组合图形的面积，
∵ JL∥BC，且点 J 为AC 的中点，
同理可得
∵OK⊥AE，ML⊥AB，OM⊥JL，
∴四边形OKLM 为矩形，
∴ML=OK=3，
∴ JM=JL-ML=6-3=3，
在 Rt△OMJ中，
故答案为：6.
【分析】连接AC，BD 交于点 J，过点O 作OK⊥EB于点 K，过点 J作 JL⊥EB于点L，过点O 作OM⊥JL 于点 M.则 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心，然后证明OKLM 为矩形，得到JM长，再根据勾股定理解题即可.
7．【答案】5
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题；瓜豆原理模型-点在直线上；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K.
四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠B=90°
四边形GHBK是矩形
中，
设，则、
中：
即CG2是关于的二次函数，且二次项系数大于0
在对称轴的左侧，CG2随着的增大而减小
当时，即点F与点D重合时，CG2有最小值，此时
即CG的最小值为5.
【分析】先分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K可得四边形GHBK是矩形，则有BK等于GH、GK等于HB；再由矩形的性质结合等腰直角三角形的性质可证，则由全等的性质可得GH总等于AE等于2，EH总等于AF，此时可设AF为，则GK可用含的代数式表示，CK可利用AB与BK的求得，则利用勾股定理可得CG2是关于的二次函数，再利用二次函数的增减性可求得CG2的最小值，则CG的最小值可求.
8．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；胡不归模型
【解析】【解答】解：∵一次函数. 分别交x轴，y轴于A，B两点，∴A( ，0)，B(0，3)， 如解图，
以点B 为顶点，在y轴左侧作∠CBD=30°，过点 C 作 CD⊥BD 于点 D，过点 A作AE⊥BD 于点 E，直线 BD 交 x 轴于点 F.∴∠ABD=60°，BF=2 ，∴△ABF 是等边三角形(顶角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∵=2(AC+CD)，当A，C，D 三点共线时，AC+CD有最小值，为AE 的长(垂线段最短)，∵AB=2 ，∴AE=3，即2AC+BC 的最小值为2AE，即为6.
故答案为：6.
【分析】求出直线与x轴、y轴的交点坐标，然后以点B 为顶点，在y轴左侧作∠CBD=30°，过点 C 作 CD⊥BD 于点 D，过点 A作AE⊥BD 于点 E，直线 BD 交 x 轴于点 F，即可得到△ABF 是等边三角形，则当A，C，D 三点共线时，AC+CD有最小值，为AE 的长，求出AE长即可解题.
9．【答案】2
【知识点】勾股定理；阿氏圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如解图，连接OP，OB，设⊙O的半径为r，
则 2 ，
取OB的中点I，连接PI，AI，
∴OI=IB= OBP，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI(两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似)， AP+PI(“阿氏圆”模型)，
∴当A，P，I在一条直线上时， 最小，最小值为 AI的长，
过点I作IE⊥AB 于点 E，∵∠ABO=45°，
∴IE= 的最小值为 的最小值是
【分析】连接OP，OB，设⊙O的半径为r，取OB的中点I，连接PI，AI，可以得到，当A，P，I在一条直线上时， 最小，最小值为 AI的长，过点I作IE⊥AB 于点 E，然后根据勾股定理解题即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；阿氏圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以A为圆心，AP长为半径作弧，在AD上截取AE=，连接PE，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴=∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，
连接CE交⊙A 于点 P'，∴当点 P，P'重合时， 取得最小值，CE 即为 最小时的长(点圆最值)，
在 Rt△CDE 中，CD=18，DE=AD-AE=16，
∴ CE= 182+162= 的最小值为 故答案为：.
【分析】以A为圆心，AP长为半径作弧，在AD上截取AE=，连接PE，即可得到△PAE∽△DAP， 进而求出，连接CE交⊙A 于点 P'，当点 P，P'重合时， 取得最小值CE长，然后根据勾股定理解题即可.
11．【答案】（1）解：如解图①，连接AC，BD 交于点 O，过点 E，O 作直线，直线 EO 将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分.
图①
理由：设直线 EO分别交 DC，AB 于点 M，N，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴ ∠MCO=∠NAO，
在△MCO 和△NAO中，
∴ △MCO≌△NAO(ASA)，∴S△MCO=S△NAO，
又∵
（2）解：存在.
如解图②，作 MN∥BC，使得 S矩形ABCD，连接AM，DN 交于点 O，作直线OP 交 CD 于点 E，交 AB 于点 H，此时
图②
形ABCD，
∵AB∥CD，∴∠EMO=∠HAO，在△EOM 和△HOA 中，
∴△EOM≌△HOA(ASA)，
∴AH=EM，设AH=EM=x，
∴△AHP∽△CEP，
解得 即
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；等分面积模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）连接AC，BD 交于点 O，过点 E，O 作直线，直线 EO即为所作；然后根据矩形的性质，利用ASA得到 △MCO≌△NAO即可得到结论；
（2）作 MN∥BC，使得 S矩形ABCD，连接AM，DN 交于点 O，作直线OP 交 CD 于点 E，交 AB 于点 H，证明△EOM≌△HOA，即可得到AH=EM，然后根据平行得到△AHP∽△CEP，根据对应边成比解题即可.
12．【答案】（1）解：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得，
∵t为任意实数，等式恒成立，
∴，，
∴，，
∴这条直线的函数表达式为，
∴随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，
直线l的函数表达式为；
（2）C（-7，3）
（3）解：过Q作QG⊥x轴于G，过Q'作Q'H⊥x轴于H，
∵∠QPQ'=90°，∠QGP=∠Q'HP=90°，
∴∠QPG+∠Q'PH=90°，∠Q'PH+∠HQ'P=90°，
∴∠QPG=∠HQ'P，
在△QPG和△PQ'H中，
，
∴△QPG≌△PQ'H（AAS），
∴PG=Q'H，QG=PH，
∵Q是直线上的一个动点，
设Q（a，），
当a≤1时，
∴QG=PH=，PG= QH=1 - a，
∴点Q'（，1 - a），
∵OQ'=，
∵时，OQ'随a的增大而减小，
当a=1时最小OQ'=，
当1≤a≤4，
∴QG=PH=，PG= QH= a-1，
∴点Q'（，1-a），
∵OQ'=，
∵，a=2时，OQ'最小=，
当a≥4时，
∴QG=PH=，PG= QH= a-1，
∴点Q'（，1-a），
∵OQ'=，
∵，a＞2时，OQ'随a的增大而增大，
a=4时，OQ'最小=，
∵＞3＞，
∴OQ'最小值为．
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；瓜豆原理模型-点在直线上
13．【答案】（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，
∴PA2=AO·AB=4，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△PAQ∽△BAP，
∴
∴PB=2PQ.
（2）解：如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接 AP，PQ，CQ.
∴AP=2，AB=4，AQ=1.
由(1)得PB=2PQ，
∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).
∵PC+PQ≥QC，
∴当点 C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小.
∵，
∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10.
∴2PC+PB的最小值为10.
（3）解：如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P'，过点C作CH垂直AB的延长线于点H，易得AP=2，AB=4，AO=1.
由(1)得PB=2PQ，
∴，
∵PC-PQ≤QC，
∴当点P在CQ交⊙A的点P'时，PC-PQ的值最大.
∵
∴，
∴2PC-PB的最大值为.
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；正方形的性质；阿氏圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
(2)在AB上取一点Q，使得AQ=1，由(1)得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；
(3)作出如图的辅助线，同(2)法推出当点P在CQ交⊙A的点P时，PC-PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC-PB的最大值.
14．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，
延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC=4，FC=4，
∴FO=8，且OP=4，OA=2，
∴，且∠AOP=∠AOP，
∴△AOP∽△POF
∴，
∴PF=2AP
∴2PA+PB=PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，
∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM
∴OM=4，
∴MB=OM+OB=4+3=7
∴
∴2PA+PB 的最小值为.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；阿氏圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)如图，
连结 AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵，要使最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：最小值为AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°，
∴CF=6，
∴DF=CF-CD=6-3=3
∴
∴的最小值为，
(2)如图，
在AB上截取BF=1，连接 PF，PC，
∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴，
∴，
∴，
∴当点F，点P，点C三点共线时，的值最小，
∴，
∴的值最小值为，
【分析】(1)由等边三角形的性质可得CF=6，，由勾股定理可求AD的长；
(2)在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得，即，则当点F，点P，点C三点共线时，的值最小，由勾股定理可求的值最小值；
(3)延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理求2PA+PB的最小值.
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图3，
延长OA到点E，使CE= 6，
∴OE=OC+CE=12
连接PE、OP，
当E、P，、B三点共线时，取得最小值为：
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；相似三角形的判定；阿氏圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1，
连接AD，
，要使最小，
最小，当点A，P，D在同一条直线时，最小，
即：最小值为AD，
在Rt中，，
，
的最小值为，
故答案为：；
（2）如图2，
连接CP，在CA上取点，使，
同（1）的方法得出的最小值为．
故答案为：；
【分析】（1）连接AD，要使最小，则最小，当点A，P，D在同一条直线时，最小，即：最小值为AD，根据勾股定理可得AD长，即可求出答案.
（2）连接CP，在CA上取点，使，根据相似三角形判定定理可得，则，即，同（1）的方法得出的最小值为，即可求出答案.
（3）延长OA到点E，使CE= 6，根据边之间的关系可得OE=OC+CE=12，连接PE、OP，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，当E、P，、B三点共线时，取得最小值为：，即可求出答案.
1 / 1几何压轴（胡不归与阿氏圆等模型）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；瓜豆原理模型-点在直线上
2．如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；胡不归模型
【解析】【解答】解：连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P
∵四边形是菱形
∴AM⊥OB，，，
∵
∴，
∵MH⊥OC，AM⊥OB
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，如下图所示
∵菱形的面积
∴
∴的最小值为4，
故答案为：A .
【分析】连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P，利用菱形的性质可证得AM⊥OB，，，，利用勾股定理求出AM、MC的长，利用三角形的面积公式可求出MH的长，利用锐角三角函数的定义可求出，由此可证得，当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，利用菱形的面积公式可求出AG的长，即可得到的最小值.
3．（专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；瓜豆原理模型-点在直线上
4．（2024·宜宾）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】阿氏圆模型；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由图象可得a<0，c>0，∴b<0.
∵ 抛物线的图象交x轴于点、，
∴x=1时，y=0，即a+b+c=0；故选项①正确；
对称轴为，即，∴b=2a，
∴a+b+c=a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴，故选项②正确；
当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，∵对称轴为x=﹣1， AB=1－(-3)=4，
∴AC=AB=4或AB=CB=4.
点C（0，c），∴，，
当AC=AB时，，解得：（负数舍去）；
当CB=AB时，，解得：（负数舍去）；
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故选项③错误；
当c=3时，C(0，3)，OC=3，
在OA上取点P，使，则点，.
∴，
又∵∠HOP=∠POA，
∴△HOP∽△POA.
∴，
∴.
∴，当C，P，H三点共线，可以取得最小值.
∴，
故的最小值是 ，故选项④正确.
综上，正确的选项是①②④
故答案为：C.
【分析】抛物线过点(1，0)，求得求得a+b+c=0，即可判断①；求得对称轴为直线x=-1，即可求得b=2a，由a+b+c=0，求得c=﹣3a，则a+3b+2c=a<0，即可判断②；分AC=AB=4和AB=BC=4两种情况求得c的值即可判断③；在OA上取点P，使，连接PH，则，于是可证明△HOP∽△POA，即可得，即.则当C、P、H共线时， 的值最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④；
5．（2023·南宁模拟）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念；旋转的性质；瓜豆原理模型-点在圆上
【解析】【解答】解：如图，当在对角线延长线上时，最大，连接，
由旋转得：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在以点A为圆心，半径为2的圆上运动，
在中：，
∴，
∴当三点共线时且穿过圆心时，长度最大；
即长度的最大值为；
故答案为：A．
【分析】
根据瓜豆原理：点的运动路线为以C为圆心，2为半径的圆；因而点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当三点共线时且穿过圆心时，最大；连接，利用SAS证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
二、填空题
6． 如图，在矩形ABCD中， 延长BA 至点 E，使 以AE为边向上作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交 BC，EF于点 H，I，则线段HI的长为 .
【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；等分面积模型
【解析】【解答】解：如解图，连接AC，BD 交于点 J，过点O 作OK⊥EB于点 K，过点 J作 JL⊥EB于点L，过点O 作OM⊥JL 于点 M.
∵点 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心，
∴直线 IH 平分该组合图形的面积，
∵ JL∥BC，且点 J 为AC 的中点，
同理可得
∵OK⊥AE，ML⊥AB，OM⊥JL，
∴四边形OKLM 为矩形，
∴ML=OK=3，
∴ JM=JL-ML=6-3=3，
在 Rt△OMJ中，
故答案为：6.
【分析】连接AC，BD 交于点 J，过点O 作OK⊥EB于点 K，过点 J作 JL⊥EB于点L，过点O 作OM⊥JL 于点 M.则 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心，然后证明OKLM 为矩形，得到JM长，再根据勾股定理解题即可.
7． 如图，在矩形ABCD 中，AB=11，BC=6，E为AB上一点，且AE=2，F 为AD 边上的一个动点，连接EF，若以EF 为边向右侧作等腰Rt△EFG，EF=EG，连接 CG，则 CG 的最小值为 .
【答案】5
【知识点】矩形的判定与性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题；瓜豆原理模型-点在直线上；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K.
四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠B=90°
四边形GHBK是矩形
中，
设，则、
中：
即CG2是关于的二次函数，且二次项系数大于0
在对称轴的左侧，CG2随着的增大而减小
当时，即点F与点D重合时，CG2有最小值，此时
即CG的最小值为5.
【分析】先分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K可得四边形GHBK是矩形，则有BK等于GH、GK等于HB；再由矩形的性质结合等腰直角三角形的性质可证，则由全等的性质可得GH总等于AE等于2，EH总等于AF，此时可设AF为，则GK可用含的代数式表示，CK可利用AB与BK的求得，则利用勾股定理可得CG2是关于的二次函数，再利用二次函数的增减性可求得CG2的最小值，则CG的最小值可求.
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别与x轴，y轴交于A，B两点，若C为y轴上一动点，则2AC+BC的最小值为 .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；胡不归模型
【解析】【解答】解：∵一次函数. 分别交x轴，y轴于A，B两点，∴A( ，0)，B(0，3)， 如解图，
以点B 为顶点，在y轴左侧作∠CBD=30°，过点 C 作 CD⊥BD 于点 D，过点 A作AE⊥BD 于点 E，直线 BD 交 x 轴于点 F.∴∠ABD=60°，BF=2 ，∴△ABF 是等边三角形(顶角是60°的等腰三角形是等边三角形)，∵=2(AC+CD)，当A，C，D 三点共线时，AC+CD有最小值，为AE 的长(垂线段最短)，∵AB=2 ，∴AE=3，即2AC+BC 的最小值为2AE，即为6.
故答案为：6.
【分析】求出直线与x轴、y轴的交点坐标，然后以点B 为顶点，在y轴左侧作∠CBD=30°，过点 C 作 CD⊥BD 于点 D，过点 A作AE⊥BD 于点 E，直线 BD 交 x 轴于点 F，即可得到△ABF 是等边三角形，则当A，C，D 三点共线时，AC+CD有最小值，为AE 的长，求出AE长即可解题.
9．如图，正方形ABCD的边长为4，内切圆记为⊙O，P为⊙O上一动点，则 PB的最小值为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；阿氏圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如解图，连接OP，OB，设⊙O的半径为r，
则 2 ，
取OB的中点I，连接PI，AI，
∴OI=IB= OBP，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI(两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似)， AP+PI(“阿氏圆”模型)，
∴当A，P，I在一条直线上时， 最小，最小值为 AI的长，
过点I作IE⊥AB 于点 E，∵∠ABO=45°，
∴IE= 的最小值为 的最小值是
【分析】连接OP，OB，设⊙O的半径为r，取OB的中点I，连接PI，AI，可以得到，当A，P，I在一条直线上时， 最小，最小值为 AI的长，过点I作IE⊥AB 于点 E，然后根据勾股定理解题即可.
10．如图，在矩形ABCD中， 18， 点P是矩形内部一点，且 15，连接 PC，PD，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；阿氏圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：以A为圆心，AP长为半径作弧，在AD上截取AE=，连接PE，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴=∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，
连接CE交⊙A 于点 P'，∴当点 P，P'重合时， 取得最小值，CE 即为 最小时的长(点圆最值)，
在 Rt△CDE 中，CD=18，DE=AD-AE=16，
∴ CE= 182+162= 的最小值为 故答案为：.
【分析】以A为圆心，AP长为半径作弧，在AD上截取AE=，连接PE，即可得到△PAE∽△DAP， 进而求出，连接CE交⊙A 于点 P'，当点 P，P'重合时， 取得最小值CE长，然后根据勾股定理解题即可.
三、解答题
11．
（1）如图①，点E为矩形ABCD 内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中， P为对角线AC上一点，且 请问在边CD上是否存在一点 E，使得直线 PE将矩形ABCD 的面积分为2：3两部分 若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如解图①，连接AC，BD 交于点 O，过点 E，O 作直线，直线 EO 将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分.
图①
理由：设直线 EO分别交 DC，AB 于点 M，N，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴ ∠MCO=∠NAO，
在△MCO 和△NAO中，
∴ △MCO≌△NAO(ASA)，∴S△MCO=S△NAO，
又∵
（2）解：存在.
如解图②，作 MN∥BC，使得 S矩形ABCD，连接AM，DN 交于点 O，作直线OP 交 CD 于点 E，交 AB 于点 H，此时
图②
形ABCD，
∵AB∥CD，∴∠EMO=∠HAO，在△EOM 和△HOA 中，
∴△EOM≌△HOA(ASA)，
∴AH=EM，设AH=EM=x，
∴△AHP∽△CEP，
解得 即
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；等分面积模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）连接AC，BD 交于点 O，过点 E，O 作直线，直线 EO即为所作；然后根据矩形的性质，利用ASA得到 △MCO≌△NAO即可得到结论；
（2）作 MN∥BC，使得 S矩形ABCD，连接AM，DN 交于点 O，作直线OP 交 CD 于点 E，交 AB 于点 H，证明△EOM≌△HOA，即可得到AH=EM，然后根据平行得到△AHP∽△CEP，根据对应边成比解题即可.
四、实践探究题
12．（专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破）预备知识：
（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，
将点代入得：，整理得
∵t为任意实数，等式恒成立，∴，∴，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
（2）问题探究：如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为 ．
（3）结论应用：如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值．
【答案】（1）解：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得，
∵t为任意实数，等式恒成立，
∴，，
∴，，
∴这条直线的函数表达式为，
∴随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，
直线l的函数表达式为；
（2）C（-7，3）
（3）解：过Q作QG⊥x轴于G，过Q'作Q'H⊥x轴于H，
∵∠QPQ'=90°，∠QGP=∠Q'HP=90°，
∴∠QPG+∠Q'PH=90°，∠Q'PH+∠HQ'P=90°，
∴∠QPG=∠HQ'P，
在△QPG和△PQ'H中，
，
∴△QPG≌△PQ'H（AAS），
∴PG=Q'H，QG=PH，
∵Q是直线上的一个动点，
设Q（a，），
当a≤1时，
∴QG=PH=，PG= QH=1 - a，
∴点Q'（，1 - a），
∵OQ'=，
∵时，OQ'随a的增大而减小，
当a=1时最小OQ'=，
当1≤a≤4，
∴QG=PH=，PG= QH= a-1，
∴点Q'（，1-a），
∵OQ'=，
∵，a=2时，OQ'最小=，
当a≥4时，
∴QG=PH=，PG= QH= a-1，
∴点Q'（，1-a），
∵OQ'=，
∵，a＞2时，OQ'随a的增大而增大，
a=4时，OQ'最小=，
∵＞3＞，
∴OQ'最小值为．
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；瓜豆原理模型-点在直线上
13．
（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；
（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；
（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
【答案】（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，
∴PA2=AO·AB=4，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△PAQ∽△BAP，
∴
∴PB=2PQ.
（2）解：如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接 AP，PQ，CQ.
∴AP=2，AB=4，AQ=1.
由(1)得PB=2PQ，
∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).
∵PC+PQ≥QC，
∴当点 C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小.
∵，
∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10.
∴2PC+PB的最小值为10.
（3）解：如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P'，过点C作CH垂直AB的延长线于点H，易得AP=2，AB=4，AO=1.
由(1)得PB=2PQ，
∴，
∵PC-PQ≤QC，
∴当点P在CQ交⊙A的点P'时，PC-PQ的值最大.
∵
∴，
∴2PC-PB的最大值为.
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；正方形的性质；阿氏圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
(2)在AB上取一点Q，使得AQ=1，由(1)得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；
(3)作出如图的辅助线，同(2)法推出当点P在CQ交⊙A的点P时，PC-PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC-PB的最大值.
14．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为 ．
（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，
延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC=4，FC=4，
∴FO=8，且OP=4，OA=2，
∴，且∠AOP=∠AOP，
∴△AOP∽△POF
∴，
∴PF=2AP
∴2PA+PB=PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，
∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM
∴OM=4，
∴MB=OM+OB=4+3=7
∴
∴2PA+PB 的最小值为.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；阿氏圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)如图，
连结 AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵，要使最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：最小值为AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°，
∴CF=6，
∴DF=CF-CD=6-3=3
∴
∴的最小值为，
(2)如图，
在AB上截取BF=1，连接 PF，PC，
∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，
∴△ABP∽△PBF，
∴，
∴，
∴，
∴当点F，点P，点C三点共线时，的值最小，
∴，
∴的值最小值为，
【分析】(1)由等边三角形的性质可得CF=6，，由勾股定理可求AD的长；
(2)在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得，即，则当点F，点P，点C三点共线时，的值最小，由勾股定理可求的值最小值；
(3)延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理求2PA+PB的最小值.
15．问题提出：如图1，在Rt中，，半径为2，P为圆上一动点，连接AP，~BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点，使，则有，又，．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为
（2）自主探索：在＂问题提出＂的条件不变的情况下，的最小值为 ．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，，点是上一点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图3，
延长OA到点E，使CE= 6，
∴OE=OC+CE=12
连接PE、OP，
当E、P，、B三点共线时，取得最小值为：
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；相似三角形的判定；阿氏圆模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1，
连接AD，
，要使最小，
最小，当点A，P，D在同一条直线时，最小，
即：最小值为AD，
在Rt中，，
，
的最小值为，
故答案为：；
（2）如图2，
连接CP，在CA上取点，使，
同（1）的方法得出的最小值为．
故答案为：；
【分析】（1）连接AD，要使最小，则最小，当点A，P，D在同一条直线时，最小，即：最小值为AD，根据勾股定理可得AD长，即可求出答案.
（2）连接CP，在CA上取点，使，根据相似三角形判定定理可得，则，即，同（1）的方法得出的最小值为，即可求出答案.
（3）延长OA到点E，使CE= 6，根据边之间的关系可得OE=OC+CE=12，连接PE、OP，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，当E、P，、B三点共线时，取得最小值为：，即可求出答案.
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