15.3 第3课时 直角三角形中30°角的性质定理 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
问题1 如图，将两个含
30° 角的三角尺摆放在
一起，你能借助这个图
形，找到 Rt△ABC 的直
角边 BC 与斜边 AB 之间
的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离)
分离
拼接
A
B
C
D
A'
C'
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°，
从而△ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD = BD = AB.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他方法证明吗？
含 30° 角的直角三角形的性质
证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD，
A
B
C
D
∴ BC = AB．　　
∴ BC = BD．　　
证法1
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB．
证明方法：倍长法
E
A
B
C
证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60°，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
知识要点
含 30° 角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
A
B
C
∴ BC = AB．　　
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半. 4）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍．
√
解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是 (　　)
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
典例精析
注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　)
A．3 B．2
C．1.5 D．1
解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E.
∵ PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.
又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴ PD＝PE＝1.5.
E
C
方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形．
例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵ DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵ DE 是∠ADB 的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°，
∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴ CD＝ AD＝ BD，即 CD＝ DB.
∵ AD 是∠BAC 的平分线，
又∵ DE＝DE，
∴△AED≌△BED (ASA).
方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质．
想一想：　图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例4　如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴ BC = AB，DE = AD.
∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7.
又 AD = AB = 3.7，
∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85.
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
∴ CD = AC = ×20 = 10.
例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求
腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
20
解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D.
∵∠B =∠ACB = 15° (已知)，
∴∠DAC =∠B +∠ACB
= 15° + 15° = 30°.
)
)
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题.
例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上.
（1）画出礁石 C 的位置；
（2）求出 B 处到礁石 C 的距离.
B
C
30°
60°
A
D
解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60°
作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地.
M
(2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB，
∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°，
∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB，
∴ BC = AB ( 等角对等边)，
即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里).
答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里.
B
C
30°
60°
A
D
M
1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为 ( )
A．6 米 B．9 米
C．12 米 D．15 米
B
2. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮需要 ( )
A．300a 元 B．150a 元
C．450a 元 D．225a 元
B
3. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，
∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
A
B
C
D
1
4. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10，
则 BC 的长为 .
5
5. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则
AB =______cm.
A
C
B
8
第5题图
6. 在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长．
解：连接 AE.
∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ BE = AE.
∴∠B = ∠EAB = 15°.
∴∠AEC = 30°.
∵∠C = 90°，
∴ AC = AE = BE = 2.5．
7. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.
证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = 30°.
∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.
∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.
∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.
∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.
8. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD = AE，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q， 求证：BP = 2PQ.
拓展提升
∴△ADC≌△BEA (SAS).
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴ AC = BC = AB，∠C =∠BAC = 60°.
∵ CD = AE，
∴∠CAD =∠ABE.
∵∠BAP +∠CAD = 60°，
∴∠BAP +∠ABE = 60°，即∠BPQ = 60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴ BP = 2PQ.
∴∠PBQ = 30°.
∴∠BQP = 90°.
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中