11.1 平面内点的坐标 课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平面直角坐标系
点的坐标
平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
特殊位置的点的坐标特征
知1－讲
知识点
平面直角坐标系
1
1.坐标 数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标 .
2.平面直角坐标系
(1)定义： 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 .
(2)相关概念： 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 O 为原点 . 如图 11.1-1.
知1－讲
知1－讲
特别解读
◆平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直；
◆一般情况下两坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同 .
知1－练
图 11.1－2 所示的图形中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
例1
知1－练
答案：B
解题秘方：根据平面直角坐标系的定义去识别 .
解：A 中两条坐标轴不是互相垂直的；
C 中的横轴的正方向画反了，应取向右为正方向；
D 中横轴的单位长度不一致 .
知1－练
特别提醒
辨识平面直角坐标系的 “三要素”：
1.两条数轴；
2.共原点；
3.互相垂直 .
注意：一般取向上、向右为正方向 .
知2－讲
知识点
点的坐标
2
1.定义
若平面直角坐标系中有一点 A，过点 A 作 横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为 a，过点 A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为 b，则有序实数对叫做点 A 的坐标，其中 a 叫横坐标， b 叫纵坐标 .
知2－讲
特别提醒：(1) 在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来；
(2)点的坐标是有序实数对， ( a， b )和( b， a ) ( a ≠ b )虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同 . 即当 a ≠ b 时，这两个坐标表示的是两个不同的点.
知2－讲
特别解读
◆点的坐标是有序实数对，有序要求：横坐标在前，纵坐标在后 .
◆根据点的坐标的定义，已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置 .
知2－讲
2.平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系
(1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应 ；
(2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应 .
知2－练
如图 11.1－3，写出点A， B， C，D， E， F， G， O 的坐标 .
例2
知2－练
解：由图 11.1-3 可知A(3，4)， B( －6，4 ) ，
C( －5， －2 ) ， D(－5，2 ) ，E(0，3 ) ， F(2，0 ) ， G( －4，0 ) ， O(0，0 ) .
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，用读垂足表示的数的方法求点的坐标 .
知2－练
方法点拨
确定点的坐标的方法
首先确定横坐标，方法是从该点向 x 轴作垂线，垂足在 x 轴上表示的数为该点的横坐标；
再从该点向 y 轴作垂线，垂足在 y 轴上表示的数为该点的纵坐标；
最后用有序实数对将点的坐标表示出来 .
知2－练
请你在如图 11.1－4 所示的平面直角坐标系中，描出以下各点： A(3，2)， B(0，3)， C(－1， －2)， D(2， －1) .
例3
知2－练
解： 描出的点 A， B， C， D如图 11.1－4 所示 .
解题秘方：紧扣点的坐标的意义，过数轴上表示点的坐标的数对应的点作垂线，两垂线的交点即为所求点.
知2－练
方法点拨
根据点的坐标描点的方法：
　　假设点P的坐标为( a， b ) ，先在x轴上找到表示的数为a的点A，在y轴上找到表示的数为b的点B，再过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P.
知2－练
[ 月考·沈阳 ] 在平面直角坐标系中，点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，若过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的负半轴上和 y 轴的正半轴上，则点 P 的坐标为( )
A. ( 2， － 3 ) B. (－ 2 ，3)
C. (3，－ 2 ) D. (－ 3，2 )
例4
知2－练
解题秘方：紧扣点的坐标与点到两坐标轴的距离的意义之间的关系解答．
知2－练
答案：D
解：由点 P 到 x 轴的距离为 2，可知点 P 的纵坐标的绝对值为 2，由点 P 到 y 轴的距离为 3，可知点 P 的横坐标的绝对值为 3.
又因为垂足分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，所以横坐标为－ 3，纵坐标为 2.
故点 P 的坐标是(－ 3 ， 2 ) .
知2－练
特别警示
本例的易错点有三处：
1. 混淆距离与坐标之间的区别；
2. 不知道“ 点 P 到 x 轴 的距离”对应的是纵坐标的 绝 对 值，“ 点 P 到 y轴的距离”对应的是横坐标的绝对值；
3. 忽略坐标的符号 .
知3－讲
知识点
平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
3
1.象限的划分
如图 11.1－5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限 .
知3－讲
特别提醒
◆象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.各象限的名称是一种规定，不能随意更改 .
◆坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点.
知3－讲
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
象限内 的点 点 M 在第一象限 M(正，正)
点 M 在第二象限 M(负，正)
点 M 在第三象限 M(负，负)
点 M 在第四象限 M(正，负)
知3－讲
坐标轴 上的点 点 M 在 x 轴上 在 x 轴正半轴上： M(正，0)
在 x 轴负半轴上： M(负，0)
点 M 在 y 轴上 在 y 轴正半轴上： M(0，正)
在 y 轴负半轴上： M(0，负)
知3－练
已知点 P 的坐标为( a+3， b－1) .
(1)若点 P 在 x 轴上，则 b=_______；
(2)若点 P 在 y 轴上，则 a=_______；
(3)若点 P 在第三象限，则 a 的取值范围为_________， b 的取值范围为_________.
(4)若点 P 在第四象限，则 a 的取值范围为 _______，b 的取值范围为 _________.
例5
知3－练
解题秘方：紧扣 x 轴、 y 轴上及象限内点的坐标特征解答 .
解法提醒
x轴上的点的纵坐标是0，y轴上的点的横坐标是0，第三象限内点的横、纵坐标都是负数 ，第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数 .
知3－练
答案：(1) 1 (2) －3 (3) a<－3； b<1(4) a＞－3； b<1
解： (1)因为点 P 在 x 轴上，所以b － 1=0，解得 b=1.
(2)因为点 P 在 y 轴上，所以a+3=0，解得 a= － 3.
(3)因为点 P 在第三象限，
所以a+3<0， b － 1<0，所以a< － 3， b<1.
(4)因为点 P 在第四象限，所以 a+3 ＞ 0， b － 1 ＜ 0，
所以 a ＞ － 3， b ＜ 1.
知4－讲
知识点
特殊位置的点的坐标特征
4
1. 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
(1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；
(2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 .
知4－讲
2.平行于x 轴、 y 轴的直线上的点的坐标特征
如图 11.1－6，直线 l1 ∥ x 轴，直线 l2 ∥ y 轴，因为由 l1 上的任意一点向 y 轴作垂线，垂足都是同一个点 M(不与原点重合)，所以 l1 上所有点的纵坐标都相等且不为 0；因为由 l2 上的任意一点向 x 轴作垂线，垂足都是同一个点 N (不与原点重合) ，所以 l2 上所有点的横坐标都相等且不为 0 .
知4－讲
3. 若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值 .
知4－讲
特别解读
◆若AB//x 轴，则A( x1，y1)， B ( x2， y2 )的横坐标不相等，纵坐标相等且不为 0，即 x1 ≠ x2， y1=y2 ≠0；反之，若 A ( x1，y1 ) ， B ( x2， y2 ) ，且 x1 ≠ x2， y1=y2 ≠0，则 AB//x 轴 .
知4－讲
◆若 CD//y 轴， 则C ( m1， n1 ) ， D ( m2，n2 ) 的 横坐标相等且不为 0，纵坐标不相等， 即 m1=m2 ≠0， n1 ≠ n2；反之，若 C ( m1， n1 ) ，D ( m2， n2 ) ， 且m1=m2 ≠ 0， n1 ≠n2，则 CD//y 轴 .
知4－练
已知平面直角坐标系内的不同两点 A ( 3， a － 1 ) ，B ( b+1， － 2 ) .
(1)若点 A 在第一、三象限的角平分线上，求 a 的值；
(2) 若点 B 在第二、四象限的角平分线上，求 b 的值；
(3)若直线 AB 平行于 x 轴，求 a， b 的值或取值范围；
(4)若直线 AB 平行于 y 轴，且 AB=5，求 a， b 的值 .
例6
知4－练
解题秘方：分别根据特殊位置的点的坐标特征列出以 a，b 为未知数的方程(或不等式)，求出 a或 b 的值(或取值范围) .
知4－练
解： (1)因为点 A 在第一、三象限的角平分线上，
所以a － 1=3，所以a=4.
(2)因为点 B 在第二、四象限的角平分线上，
所以b+1=2，所以b=1.
知4－练
(3)因为直线 AB 平行于 x 轴，
所以a － 1= － 2， b+1 ≠ 3.
所以a= － 1， b ≠ 2.
(4)因为直线 AB 平行于 y 轴，且 AB=5，
所以b+1=3， | ( a － 1 ) － ( － 2 ) |=5.
所以b=2， a=4 或 a= － 6.
知4－练
特别警示
1. 两点确定的直线平行于坐标轴，既要考虑一个坐标相等，又要考虑另一个坐标不能相等，否则两个点重合不能确定一条直线；
2. 已知两点之间的距离求点的坐标时，要带上绝对值，即求出的点的坐标不止一个 .
知4－练
如图 11.1-7，长方形 ABCD 的长 AB=5，宽 BC=3，请建立适当的平面直角坐标系，写出长方形的顶点 A， B， C，D 的坐标 .
例7
知4－练
解题秘方：建立适当的平面直角坐标系，然后根据长方形的长 AB=5，宽 BC=3，写出四个顶点的坐标 .
解：建立平面直角坐标系如图 11.1-8 所示(建系方法不唯一)， A(0，3)， B(5，3)， C(5，0)， D(0，0).
知4－练
另解 1 ：
建立平面直角坐标系如图 11.1-9 所示，
A(－5，3)，B(0，3)，C(0，0)，D(－5，0)
知4－练
另解 2 ：
建立平面直角坐标系如图 11.1-10 所 示 ，
A(－2.5，3)，B(2.5，3)，C(2.5，0)，D(－2.5，0).
知4－练
方法点拨：几何图形中建立适当的平面直角坐标系的方法
(1)使图形中尽量多的点在坐标轴上；
(2)以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴；
(3)若图形被一条直线分得的两部分形状、大小相同，则可以将此直线作为 x 轴或 y 轴；
(4)以某已知点为原点，使它的坐标为( 0，0 ).
平面内点的坐标
坐标
构成
特殊位置
点的坐标
平面内点的坐标
坐标轴
象限