15.3 角的平分线 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
作已知角的平分线
角的平分线的性质
角的平分线的判定
三角形的角平分线的性质(拓展点)
知1－讲
知识点
作已知角的平分线
1
1. 角的平分线的作法
(1) 折叠法： 将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线 .
(2) 度量法： 用量角器度量已知角的度数，并除以 2，再用量角器画出这个角的平分线 .
(3) 尺规作图法： 保留作图痕迹，并指出结论 .
2. 尺规作图步骤与图示
已知∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线 .
作法：(1)以点 O 为圆心， 适当长为
半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N.
知1－讲
知1－讲
特别解读
1.“适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短；
知1－讲
知1－讲
知1－练
例1
知1－练
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的四分之一角 .
知1－练
方法点拨
将一个角四等分，可先作这个角的平分线，将这个角二等分，再作分成的两个角的平分线，可将原角四等分 .
知1－练
知2－讲
知识点
角的平分线的性质
2
性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 .
角的平分线的性质的两个必要条件：
(1) 点在角平分线上；
(2) 这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度.两者缺一不可 .
知2－讲
特别提醒
◆角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).
◆利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
2. 几何语言
如图 15.4-3，∵ OC 平分∠ AOB，
PD ⊥ OA 于点 D，
PE ⊥OB 于点 E，∴ PD=PE.
知2－讲
知2－练
[ 期末·烟台海阳 ] 如图 15.4-4， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AC，垂足为 E， BF ∥ AC 交 ED 的延长线于点 F，BC 平分∠ ABF， AE=2BF．
例2
知2－练
解题秘方：掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．解题中，通常过角平分线上一点作角两边的垂线段，“角平分线，垂两边”.
知2－练
(1)求证： DE=DF；
证明： 如图 15.4-4，过 D 作 DG ⊥ AB 于 G，
∵ AD 平分∠ CAB， DE ⊥ AC，
∴ DE=DG.
∵ BF ∥ AC，∴∠ F= ∠ CED=90°，
即 DF ⊥ BF.
∵ BD 平分∠ ABF，∴ DF=DG，∴ DE=DF.
知2－练
(2)若 BF=2，求 AB 的长．
方法点拨
运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线性质的模型(即两个必要条件)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题 .
知2－练
知2－练
[ 期末·淄博沂源 ] 如图 15.4-5，在△ ABC 中，∠ C=90°， AD 平分∠ BAC， DE ⊥ AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且BD=DF．
例3
知2－练
解题秘方：根据角平分线的性质得到线段相等，用线段相等去证明三角形全等，再根据全等三角形的性质定理即可得证 .
知2－练
(1)求证： CF=EB；
知2－练
(2)请你判断 AE， AF 与 BE 之间的数量关系，并说明理由．
解： AF+BE=AE．理由如下：
由(1)可知 DC=DE，又∵ AD=AD，
∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL)
∴ AC=AE. ∴ AF+FC=AE，即 AF+BE=AE．
方法点拨
解决线段之间的和差问题，掌握角平分线的性质和三角形全等的判定和性质是解题的关键．
知2－练
知2－练
[ 模拟·济南章丘区 ] 如图 15.4-6， BD 平分∠ ABC 交AC 于点 D， DE ⊥ AB 于 E， DF ⊥ BC 于 F， AB=6， BC=8，若 S △ ABC=28，求 DE 的长．
例4
知2－练
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和，可得出关于 DE 的方程，求出即可．
知2－练
方法点拨
求垂线段的长度，用等积法是首要选择，根据角平分线性质得出DE ＝ DF 是解此题的关键．
知2－练
知3－讲
知识点
角的平分线的判定
3
1.判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 .
2. 几何语言 如图 15.4-7，∵点 P 为∠ AOB 内一点，
PD ⊥OA， PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E，且 PD=PE，
∴点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上 .
知3－讲
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系
(1) 如图 15.4－7，都与距离有关，即条件 PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备；
(2) 点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等 .
知3－讲
特别提醒
1. 使用该定理的前提是这个点必须在角的内部 .
2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).
3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷 .
知3－练
[ 月考·大连 ] 如图 15.4-8，在△ ABC 中， D 是 BC的中点， DE ⊥ AB， DF ⊥ AC，垂足分别是 E， F， BE=CF．
求证： AD 是△ ABC 的角平分线．
例5
知3－练
解题秘方：首先利用三角形全等得出 DE=DF，再根据三角形角平分线的判定定理即可求证．
知3－练
方法点拨
证明角平分线的方法思路:
1. 从数量上证明被角平分线分成的两个角相等 .
2. 从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可 . 这样把证 “某线是角的平分线” 的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想 .
知3－练
知4－讲
知识点
三角形的角平分线的性质（拓展点）
4
1. 性质定理 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 . 这一点叫三角形的内心 .
知4－讲
2. 几何语言
如图 15.4-9，在△ ABC 中，
AD， BM， CN 分别是 ∠ BAC， ∠ ABC，
∠ ACB的平分线，AD， BM， CN交于一点O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
知4－讲
要点解读
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 .
知4－练
[ 月考·滨州 ] 如图 15.4-10，点 P 为∠ ABC 和∠ MAC的平分线的交点．
求证：点 P 在∠ ACN 的平分线上．
例6
知4－练
解题秘方：紧扣到 CA， CN 的距离相等的点在该角的平分线上．
证明： 过 P 作 PE ⊥ BM 于 E，
PF ⊥ AC 于 F， PG ⊥ BN 于 G，
∵ P 为∠ ABC 和∠ MAC 的平分线的交点，
∴ PE=PF， PE=PG. ∴ PF=PG.
∴点 P 在∠ ACN 的平分线上．
方法点拨
角平分线的性质与判定都离不开“点到角两边的距离”，所以过点作角两边的垂线是运用角平分线性质或判定最常见的辅助线 . 因此常将证角平分线转化为证垂线段相等；反之也常将证垂线段相等转化为证角平分线 .
知4－练
角的平分线
作已知角
的平分线
尺规
全等
角的平分线
性质
判定