(共33张PPT)
在△ABC 中,AB = AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边 BC 和一个底角∠C,请问,有没有办法把原来的等腰三角形画出来?
A
B
C
A
思考:如图,在△ABC 中,如果∠B =∠C,那么AB 与 AC 之间有什么关系吗?
我测量后发现 AB 与 AC 相等.
3.5 cm
3.5 cm
A
B
C
如图,位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警,当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?
情境引入2
已知:如图,在△ABC 中,∠B =∠C,那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型:
C
A
B
做一做:画一个△ABC,其中∠B =∠C = 30°,请你量一量 AB与 AC 的长度,它们之间有什么数量关系?你能得出什么结论?
AB = AC
你能验证你的结论吗?
等腰三角形的判定
在△ABD 与△ACD 中,
∠1 =∠2,
∴ △ABD≌△ACD(AAS).
∠B =∠C,
AD = AD,
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明:
C
A
B
2
1
D
(
(
△ABC 是等腰三角形.
则∠1 =∠2.
∴ AC = AB ( ),
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( ),
知识要点
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称“等角对等边”.
已知
等角对等边
在△ABC 中,
应用格式:
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
A
B
C
D
2
1
∵∠1 =∠2,
∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2,
∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错,因为两角都不是在同一个三角形中.
辨一辨:如图,下列推理正确吗
例1 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
已知:如图,∠CAE 是△ABC 的外角,∠1 =∠2,AD∥BC.
求证:AB = AC.
证明:∵AD∥BC,
∴∠1 =∠B (两直线平行,同位角相等),
∠2 =∠C (两直线平行,内错角相等).
又∵∠1 =∠2,∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边).
A
B
C
E
(
(
1
2
D
例2 已知:如图,AB = DC,BD = CA,BD 与 CA 相交于点 E. 求证:△AED 是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明:
∵AB = DC,BD = CA,AD = DA,
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE = DE (等角对等边).
∴ △AED 是等腰三角形.
例3 已知:如图,AD∥BC,BD 平分∠ABC.
求证:AB = AD.
B
A
D
C
证明:∵ AD∥BC,
∴∠ADB =∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC,
∴∠ABD =∠DBC.
∴∠ABD =∠ADB.
∴ AB = AD.
方法总结:平分角 + 平行 = 等腰三角形.
∴∠EDB =∠EBD.
∴ BE = DE,即△EBD 是等腰三角形.
如图,把一张长方形的纸沿着对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?
B
C
A
D
E
变式训练
解:是的.
由折叠可知,∠EBD =∠CBD.
∵AD∥BC,∴∠EDB =∠CBD.
练一练:1. 在△ABC 中,∠A 和∠B 的度数如下,能判定 △ABC 是等腰三角形的是( )
A. ∠A=50°,∠B=70° B. ∠A=70°,∠B=40°
C. ∠A=30°,∠B=90° D. ∠A=80°,∠B=60°
B
2. 如图,已知 OC 平分∠AOB,CD∥OB,若 OD=3 cm,则CD 的长为______.
3 cm
例4 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线,AE 与 CD 交于点 F,求证:△CEF 是等腰三角形.
证明:在△ABC 中,∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°.
∵ CD 是 AB 边上的高,
∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.
∵ AE 是∠BAC 的平分线,∴∠BAE=∠EAC.
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE.
∴ CE=CF,即△CEF 是等腰三角形.
方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2:有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到:
等腰三角形的判定定理推论
证明推论2:有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明:如图,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC.
由三角形内角和定理得:∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角∠A = 60°,
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC,
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢?
辩一辩:根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不
是
是
是
是
是
不一定
是
(1)
5
5
4
(2)
5
5
5
(3)
60°
60°
(4)
60°
(5)
5
5
60°
(6)
5
5
60°
例5 如图,在等边三角形 ABC 中,DE∥BC.
求证:△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明:
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC,
∴∠ADE =∠B,∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想:本题还有其他证法吗?
典例精析
证明:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°.
∵ DE∥BC,
∴∠ABC =∠ADE,
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
变式1 若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上,且 DE∥BC,结论还成立吗?
A
D
E
B
C
变式2 上题中,若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE,△ADE 还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明:
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A = 60°,AB = AC.
∵ BD = CE,
∴ AB-BD = AC-CE,即 AD = AE.
又∵∠A = 60°,
∴△ADE 是等边三角形.
变式3 已知:如图,△ABC 是等边三角形,点 D,E 分别在边 BA,CA 的延长线上,且 AD = AE.
求证:△ADE 是等边三角形.
证明:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC =∠B =∠C = 60°.
∴∠EAD =∠BAC = 60°.
又 AD = AE,
∴△ADE 是等边三角形.
A
D
E
B
C
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形
例6 等边△ABC 中,点 P 在△ABC 内,点 Q 在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ 是什么形状的三角形?试证明你的结论.
解:△APQ 为等边三角形.证明如下:
∵△ABC 为等边三角形,∴ AB=AC,∠BAC=60°.
∵ BP=CQ,∠ABP=∠ACQ,
∴△ABP≌△ACQ (SAS).
∴ AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°.
∴△APQ 是等边三角形.
B
C
Q
A
P
方法总结:判定一个三角形是等边三角形有以下方法:一是证明三角形三条边相等;
二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°);
三是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角
等于 60°.
证明:∵ △ABC 为等边三角形,且 AD = BE = CF,
∴ AF = BD = CE,∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS).
∴ DF = ED = FE.
∴△DEF 是等边三角形.
针对训练:如图,等边△ABC 中,D、E、F 分别是各边上的点,且 AD = BE = CF.
求证:△DEF 是等边三角形.
A
C
B
D
E
F
1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线,则图中的等腰三角形有( )
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
A
2.一个三角形的一个外角为 130°,且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍.这个三角形是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
C
3. 如图,直线 a、b 相交于点 O,∠1 = 40°,点 A 在直线 a 上,直线 b 上存在点 B,使以点 O、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形,这样的 B 点有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
1
O
a
b
D
A
4.如图,已知∠A = 36°,∠DBC = 36°,∠C = 72°,则∠DBC = _____,∠BDC = _____,图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
5. 在等边△ABC 中,BD 平分∠ABC,BD = BF,则∠CDF 的度数是( )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
B
B
C
D
A
F
6. 如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,已知△ABC 的周长为 18 cm,EC = 2 cm,则△ADE 的周长是 .
A
C
B
D
E
12 cm
7. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E,过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M,交 AC 于 N,若 BM+CN=9,则线段 MN 的长为_____.
9
第 6 题图
第 7 题图
8. 已知:如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B=∠D.
求证:BC=CD.
证明:连接 BD.
∵ AB = AD,
∴∠ABD =∠ADB.
∵∠ABC =∠ADC,
∴∠ABC - ∠ABD =∠ADC -∠ADB,
即∠CBD = ∠CDB.
∴ BC = CD.
证明:∵△ABD 是等边三角形,∴∠DAB=60°.
∵∠CAB=30°,∠ACB=90°,
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°.
∴∠FAE=∠EBC.
∵ E 为 AB 的中点,∴ AE=BE.
又∵∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC (ASA).
9. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,∠CAB = 30°,以 AB 为边在△ABC 外作等边△ABD,E 是 AB 的中点,连接 CE 并延长交 AD 于 F.
求证:△AEF≌△BEC.
B
C
D
A
F
E
10. 在△ABC 中,AB = AC,倘若不留神,它的一部分被墨水涂没了,只留下一条底边 BC 和一个底角∠C,请问:有没有办法把原来的等腰三角形画出来?
A
B
C
解:3 种“补画”方法:
方法1:量出∠C 度数,画出∠B=∠C,
∠B 与∠C 的边相交得到顶点 A.
方法2:作 BC 边上的垂直平分线,与
∠C 的一边相交得到顶点 A.
方法3:对折.
拓展提升
等腰三角形的判定
等角对等边
注意是指同一个三角形中
推论
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.