15.4 等腰三角形 课件(共79张PPT)

(共79张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的性质
等边三角形的性质
等腰三角形的判定
等边三角形的判定
含 30°角的直角三角形的性质
知1－讲
知识点
等腰三角形的性质
1
1.定理 1
等腰三角形的两底角相等 (简称“等边对等角” ).
几何语言： 如图 15.3-1，在△ ABC 中，
∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C.
应用它的前提是在
同一个三角形中 .
知1－讲
特别提醒
1.适用条件：必须在同一个三角形中 .
2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证明角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
知1－讲
2. 定理2 等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 (简称 “三线合一” ) .
如图 15.3-1，在△ ABC 中，
(1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，
∴ AD 平分∠ BAC(或 BD=CD)；
知1－讲
特别解读
1.适用条件：
(1)必须是等腰三角形；
(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才互相重合 .
2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直的重要方法 .
知1－讲
(2)∵ AB=AC， BD=DC，
∴ AD ⊥ BC(或 AD 平分∠ BAC)；
(3)∵ AB=AC， AD 平分∠ BAC，
∴ BD=DC(或 AD ⊥ BC)．
知1－讲
3. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．
知1－练
如图 15.3-2，在△ ABC 中， AB=AC， AD 平分∠ BAC.
(1)求∠ ADB 的度数；
(2)若∠ BAC=100°，求∠ B、∠ C 的度数；
(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长 .
例1
知1－练
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答 .
解：(1)∵ AB=AC， AD 平分∠ BAC，
∴ AD ⊥ BC. ∴∠ ADB=90° .
知1－练
特别提醒
　　在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. 根据等腰三角形的“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及两条直线互相垂直．
知1－练
知1－练
如图 15.3-3， 在 △ ABC 中， AB=AC， BD， CE 分别是 AC， AB 边上的高 . 求证： BD=CE.
例2
知1－练
解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△ BEC 和△ CDB 全等创造条件 .
解法提醒
方法一是利用等腰三角形的定理 1 为三角形全等提供角相等的条件来解决问题 . 由此可得等腰三角形的性质：
1. 等腰三角形两腰上的中线相等 .
2. 等腰三角形两腰上的高相等 .
3. 等腰三角形两底角的平分线也相等 .
方法二是利用面积法，由此方法还可得等腰三角形的性质：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 .
知1－练
知1－练
知1－练
知2－讲
知识点
等边三角形的性质
2
1.定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 .
知2－讲
2. 性质 (1)等边三角形的三条边都相等 .
(2)等边三角形三个内角都相等，每一个内角都等于 60° .
(3)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线 .
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 .
知2－讲
特别解读
等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：
任意两边都可以作为腰；
任意一个角都可以作为顶角 .
知2－练
如图 15.3-4，在等边三角形 ABC 中， BC=8，过 BC 边上一点 P，作∠ DPE=60°，分别与边 AB， AC 相交于点 D 与点 E．
例3
知2－练
解题秘方：掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．
知2－练
(1)在图中找出与∠ EPC 始终相等的角，并说明理由．
解：∠ BDP= ∠ EPC，理由如下：
∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ B=60°.
∵∠ DPE=60°，∴∠ DPE= ∠ B.
∵∠ DPC 是△ BDP 的外角，
∴∠ DPE+ ∠ EPC= ∠ B+ ∠ BDP，
∴∠ EPC= ∠ BDP.
知2－练
(2)若△ PDE 为等边三角形，求 BD+CE 的值．
解法提醒
等边三角形的三个角都为 60 °，根据此转化可得角之间的关系，这是典型的“一线三等角”型 .
知2－练
知2－练
如图 15.3-5，等边三角形 ABC 的边长为 3， D 是 AC的中点，点 E 在 BC 的延长线上 . 若 DE=DB，求 CE 的长 .
例4
知2－练
解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化 .
知2－练
知2－练
方法点拨
等边三角形具有 “三线合一”的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过“三线合一”的性质进行转化，找出要求线段与已知线段的关系，再解答 .
知2－练
知2－练
感悟新知
如图 15.3-6 ①，点 P， Q 分别是等边三角形 ABC 边AB， BC 上的动点(端点除外)，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B同时出发，且它们的运动速度相同，连接 AQ， CP 交于点 M．
例5
知2－练
感悟新知
解题秘方：根据等边三角形边相等、角相等的性质，证明△ ABQ ≌△ CAP 是解题关键 .
知2－练
(1)求证：△ ABQ ≌△ CAP；
知2－练
(2)当点 P， Q 分别在 AB， BC 边上运动时，∠ QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
解： ∠ QMC 的大小不变化．
∵△ ABQ ≌△ CAP，∴∠ BAQ= ∠ ACP.
∵∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ MAC，
∴∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ MAC= ∠ BAC=60°.
知2－练
(3)如图 15.3-6 ②，若点 P， Q 在运动到终点后继续在射线 AB， BC 上运动，直线 AQ， CP 交点为 M，则∠ QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数；
知2－练
解： ∠ QMC 的大小不变化．
易知△ ABQ ≌△ CAP，∴∠ BAQ= ∠ ACP.
∵∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ APM，
∴∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ APM=
180°－∠ PAC=180°－60°=120°．
解法提醒
等边三角形的三条边相等，三个内角都等于 60°，为三角形全等创造了边、角相等的条件 .
知2－练
知3－讲
知识点
等腰三角形的判定
3
1. 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边” ) .
几何语言： 如图 15.3-7，在△ ABC 中，
∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC.
知3－讲
特别提醒
◆“等角对等边”不能叙述为“ 如果一 个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”， 因 为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角” “ 腰”“ 底 边” 这些名词 .
◆“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等 .
2. 等腰三角形的性质与判定的异同
相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” .
不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；
由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定 .
即， 等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等 .
等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等 .
知3－讲
知3－练
[ 模拟· 广东 ] 如图 15.3-8，在△ ABC 中， BD， AE 分别是 AC， BC 边上的高，它们相交于点 F，且 AF=BC．
求证：△ ABD 是等腰三角形．
例6
知3－练
解题秘方：利用三角形全等即可得出 BD=AD，从而利用定义判定△ ABD 是等腰三角形．
知3－练
解法提醒
掌握判定三角形是等腰三角形的两种方法是解题的关键：一是利用定义直接证明两条边相等；二是利用判定定理证明．
知3－练
知3－练
[ 期末·上海松江区 ] 如图 15.3-9，已知在△ ABD 中，AB=BD，∠ ADE= ∠ B.
求证：△ ADE 是等腰三角形 .
例7
知3－练
解题秘方：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ AED= ∠ BAD，利用等腰三角形的判定定理即可．
知3－练
证明： ∵ AB=BD，∴∠ BAD= ∠ BDA.
∵∠ ADE= ∠ B，
∠ ADE+ ∠ BAD+ ∠ AED=180°，
∠ B+ ∠ BDA+ ∠ BAD=180°，
∴∠ AED= ∠ BAD. ∴ ED=AD.
∴△ ADE 是等腰三角形．
方法点拨
根据等腰三角形的判定定理可知，证明一 个三角形是等腰三角形， 就是要证明这个三角形有两个内角相等 ， 所以证 明两 个内角相等是判定等腰三角形的关键所在 .
知3－练
知4－讲
知识点
等边三角形的判定
4
1.推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 .
几何语言： 如图 15.3-10，在△ ABC 中，
∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形 .
知4－讲
2. 推论2 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 .
几何语言： 如图 15.3-10，在△ ABC 中，
∵ AB=AC， ∠ A=60 °(或 ∠ B=60 °或∠ C=60°)，
∴△ ABC 是等边三角形 .
知4－讲
证明等边三角形的思维导图
知4－讲
特别解读
在等腰三角形中，只要有一 个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，推论2 都成立 .
知4－练
[ 期中· 天津和平区 ] 如图 15.3-11，在等腰三角形 ABC中， AB=AC， AF 为 BC 边上的中线， D 为 AF 上的一点且 BD的垂直平分线过点 C 并交 BD 于点 E．
求证：△ BCD 是等边三角形 .
例8
知4－练
解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出 BD=DC=BC，再利用等边三角形的定义得出结论．
知4－练
证明： ∵ AB=AC， AF 为 BC 边上的中线，
∴ AF ⊥ BC， BF=CF，
∴ BD=DC.
∵ CE 是 BD 的垂直平分线，∴ BC=CD.
∴ BD=DC=BC.
∴△ BCD 是等边三角形．
知4－练
解法提醒
掌握等边三角形的三种判定方法是解此题的关键．
知4－练
[ 期末· 西安蓝田 ] 如图 15.3-12，在△ ABC 中， DE 是AC 边的垂直平分线，且分别交 BC， AC 于点 D， E，∠ B=60°，∠ C=30° .
求证：△ ABD 是等边三角形．
例9
知4－练
解题秘方：根据三个角都相等的三角形是等边三角形证明即可．
知4－练
证明： ∵ DE 垂直平分线段 AC，
∴ DA=DC，∴∠ DAC= ∠ C=30°.
∴∠ ADB= ∠ DAC+ ∠ C=60°.
又∵∠ B=60°，∴∠ BAD=60°.
∴∠ B= ∠ ADB= ∠ BAD.
∴△ ABD 是等边三角形．
知4－练
教你一招
从角的角度证明三角形是等边三角形， 两条思路：
一是证明三角形的三个内角相等；
二是求出三角形的三个内角度数都是 60° .
知4－练
[ 期中·成都 ] 已知：如图 15.3-13，△ ABC，△ CDE都是等边三角形， AD， BE 相交于点 O，点 M， N 分别是线段AD， BE 的中点．
例10
知4－练
解法提醒
判定一个三角形是等边三角形的思路：
1. 若已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定 .
2.若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定 .
3. 若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”来判定 .
知4－练
解题秘方：先证明△ ACM ≌△ BCN，推出 CM=CN 和∠ NCM=60°，即可利用推论 2 进行判定．
知4－练
(1)求证： AD=BE；
知4－练
(2)求∠ DOE 的度数；
解： ∵△ ACD ≌△ BCE，∴∠ ADC= ∠ BEC.
∵△ DCE 是等边三角形，∴∠ CED= ∠ CDE=60°，
∴∠ ADE+∠ BED=∠ ADC+∠ CDE+∠ BED=
∠ ADC+60°+∠ BED= ∠ BEC+60°+ ∠ BED=
∠ CED+60°=60°+60°=120°，
∴∠ DOE=180° － (∠ ADE+ ∠ BED)=60°.
知4－练
(3)求证：△ MNC 是等边三角形．
知4－练
∴△ ACM ≌△ BCN，(SAS)
∴ CM=CN，∠ ACM= ∠ BCN.
又∵∠ ACB=60°，
∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60°.
∴∠ MCN=60°，∴△ MNC 是等边三角形．
知5－讲
知识点
含 30°角的直角三角形的性质
5
知5－讲
特别解读
◆应用此性质，必须满足两个条件：
1. 在直角三角形中；
2.有一个锐角为 30° . 二者缺一不可 .
◆含 30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据 .
2. 作用
应用于证线段的倍分关系和计算角度 .
知5－讲
知5－练
[ 期末·汝州 ] 如图 15.3-15，在△ ADC 中， AD=CD，且 AB ∥ DC， CB ⊥ AB 于 B， CE ⊥ AD 交 AD 的延长线于 E，连接 BE．
例11
知5－练
解题秘方：通过证明 三角形全等可得 CE=CB. 在Rt △ AEC 中，根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出 AC 的长 .
教你一招
含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系 .
知5－练
知5－练
(1)求证： CE=CB；
证明： ∵ AD=CD，∴∠ DAC= ∠ DCA.
∵ AB ∥ CD，∴∠ DCA= ∠ CAB，
∴∠ DAC= ∠ CAB. 又∵ CE ⊥ AD， CB ⊥ AB，
∴∠ AEC= ∠ ABC=90°.
又∵ AC=AC，∴△ AEC ≌△ ABC. ∴ CE=CB．
知5－练
(2)若∠ CAE=30°， CE=2，求 AC 的长度．
解： ∵ CE ⊥ AE，∴∠ AEC=90°.
在 Rt △ AEC 中，∵∠ CAE=30°，
∴ AC=2CE=4.
知5－练
[ 期末· 驻马店 ] 如图 15.3-16， 在 △ ABC 中，AB=AC，∠ B=30°，线段 AB 的垂直平分线 MN 交 BC 于 D，求证： CD=2BD．
例12
知5－练
解题秘方：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．
知5－练
证明： 如图 15.3-16，连接 AD，
∵直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，
∴ AD=BD，∴∠ DAB= ∠ B=30°.
又∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C=30°，
∴∠ BAC=120°，∴∠ DAC=90°. ∴ CD=2AD.
又∵ AD=BD，∴ CD=2BD．
方法点拨
在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的 2倍，关键是证明两点：一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于 30° .
知5－练
等腰三角形
定义
等边三角形
等腰三角形
等边对等角
三线合一
等角对等边
性质
判定
特殊