13.1 第4课时 三角形的外角课件
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文档简介
(共30张PPT)
1.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 52°，则∠C = .
48°
2.如图，在△ABC 中， ∠A = 70°，∠B = 60°，则∠ACB = ，∠ACD = .
50°
130°
A
B
C
D
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
它们的和是 180°.
问题：发现懒洋洋独自在 O 处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从 A 前进到 C 处，然后再折回到 B 处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在 A 处拦截懒洋洋，已知∠BAC = 40°， ∠ABC = 70°.灰太狼从 C 处要转多少度角才能直达 B 处？
B
D
C
A
O
●
40°
70°
？
●
●
●
利用“ 三角形的内角和为180° ”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40°
70°
？
由三角形内角和易得∠BCA = 180°－∠A－∠CBA = 70°，
所以∠BCD = 180°－∠BCA = 110°.
●
●
●
定义
如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD，像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
三角形的外角的概念
问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有 6 个外角．
总结归纳
F
A
B
C
D
E
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角
∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
三角形的外角的性质
问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
验证结论
如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图①
图②
解：∵∠2 = ∠1 +∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
∠B +∠C =∠CAD
∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C
归纳总结
三角形内角和定理的推论
练一练：说出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
∠1 = 40°， ∠2 = 140°
∠1 = 18°， ∠2 = 130°
例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 60°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°，
∴∠BFC = 88°.
F
A
C
D
E
B
典例精析
例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数．
E
解：延长 BP 交 AC 于点 E，
则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A.
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
三角形的外角和
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ，
∠CBF +∠2 = 180°②，
∠ACD +∠3 = 180°③，
又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
①+ ②+ ③得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
+ (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，
所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过 A 作 AM∥BC，
则易得 ∠3＝∠4，
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝∠BAM，
所以 ∠1＋∠2＋∠3＝
∠1＋∠4＋∠BAM ＝360°
M
∠2＋∠ 3＝∠4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于 360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
1.判断下列命题的对错.
(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.( )
(2)三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍. ( )
(3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( )
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( )
(5)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( )
(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( )
2.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于
( )
F
A
B
E
C
D
A. 26°
B. 63°
C. 37°
D. 60°
A
3. (1) 如图，∠BDC 是________
的外角，也是 的外角；
(2)若∠B = 45°，∠BAE = 36°，
∠BCE = 20°，试求∠AEC 的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有∠ADC = ∠B + ∠BCE，∠AEC = ∠ADC + ∠BAE.
所以 ∠AEC = ∠B + ∠BCE + ∠BAE
= 45°+ 20° + 36° = 101°.
解：∵∠ADC 是△ABD 的外角.
4. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点,∠B =∠BAD，
∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求∠B，∠C 的度数.
在△ABC 中，
∠B +∠BAC +∠C = 180°，
∴ ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.
∴∠ADC =∠B +∠BAD = 80°.
又∵∠B = ∠BAD，
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1 是△FBE 的外角，
∴∠1 = ∠B + ∠E，
同理∠2 = ∠A + ∠D.
在△CFG 中，
∠C +∠1 +∠2 = 180°，
∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D
+∠E = 180°.
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数.
拓展提升：
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = .
360°
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
1.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 52°，则∠C = .
48°
2.如图，在△ABC 中， ∠A = 70°，∠B = 60°，则∠ACB = ，∠ACD = .
50°
130°
A
B
C
D
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
它们的和是 180°.
问题：发现懒洋洋独自在 O 处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从 A 前进到 C 处，然后再折回到 B 处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在 A 处拦截懒洋洋，已知∠BAC = 40°， ∠ABC = 70°.灰太狼从 C 处要转多少度角才能直达 B 处？
B
D
C
A
O
●
40°
70°
？
●
●
●
利用“ 三角形的内角和为180° ”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40°
70°
？
由三角形内角和易得∠BCA = 180°－∠A－∠CBA = 70°，
所以∠BCD = 180°－∠BCA = 110°.
●
●
●
定义
如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD，像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
三角形的外角的概念
问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角.
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有 6 个外角．
总结归纳
F
A
B
C
D
E
如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？
∠BEC 是△AEC 的外角；
∠AEC 是△BEC 的外角；
∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角
∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
三角形的外角的性质
问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
验证结论
如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图①
图②
解：∵∠2 = ∠1 +∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
∠B +∠C =∠CAD
∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C
归纳总结
三角形内角和定理的推论
练一练：说出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
∠1 = 40°， ∠2 = 140°
∠1 = 18°， ∠2 = 130°
例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数.
解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE.
∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°，
∴∠BEC = 60°.
∵∠BFC 是△BEF 的一个外角，
∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF.
∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°，
∴∠BFC = 88°.
F
A
C
D
E
B
典例精析
例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数．
解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数．
E
解：延长 BP 交 AC 于点 E，
则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A.
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51° + 20° + 30° = 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE = ∠2 + ∠3，
∠CBF = ∠1 + ∠3，
∠ACD = ∠1 + ∠2.
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°.
例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
三角形的外角和
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ，
∠CBF +∠2 = 180°②，
∠ACD +∠3 = 180°③，
又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
①+ ②+ ③得
∠BAE +∠CBF +∠ACD
+ (∠1 +∠2 +∠3) = 540°，
所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过 A 作 AM∥BC，
则易得 ∠3＝∠4，
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝∠BAM，
所以 ∠1＋∠2＋∠3＝
∠1＋∠4＋∠BAM ＝360°
M
∠2＋∠ 3＝∠4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于 360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
1.判断下列命题的对错.
(1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.( )
(2)三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍. ( )
(3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( )
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( )
(5)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( )
(6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( )
2.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于
( )
F
A
B
E
C
D
A. 26°
B. 63°
C. 37°
D. 60°
A
3. (1) 如图，∠BDC 是________
的外角，也是 的外角；
(2)若∠B = 45°，∠BAE = 36°，
∠BCE = 20°，试求∠AEC 的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有∠ADC = ∠B + ∠BCE，∠AEC = ∠ADC + ∠BAE.
所以 ∠AEC = ∠B + ∠BCE + ∠BAE
= 45°+ 20° + 36° = 101°.
解：∵∠ADC 是△ABD 的外角.
4. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点,∠B =∠BAD，
∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求∠B，∠C 的度数.
在△ABC 中，
∠B +∠BAC +∠C = 180°，
∴ ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.
∴∠ADC =∠B +∠BAD = 80°.
又∵∠B = ∠BAD，
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1 是△FBE 的外角，
∴∠1 = ∠B + ∠E，
同理∠2 = ∠A + ∠D.
在△CFG 中，
∠C +∠1 +∠2 = 180°，
∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D
+∠E = 180°.
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数.
拓展提升：
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = .
360°
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角